T5. Exercices.

¤ PCSI ¤ T5. Exercices.
Machines thermiques.
T5.1. Moteur irréversible. Inégalité de Clausius.
Un moteur de nature irréversible reçoit au cours de son fonctionnement de la chaleur d'une source « chaude »
de capacité thermique = mc, initialement à T1i et en restitue une partie à une source « froide » de capacité
thermique 5 , initialement à T2i < T1i.
Le moteur s'arrête quand T1f = T2f = Tf.
1. Trouver un encadrement de Tf compatible avec les hypothèses.
2. Application numérique : T1i = 373 K et T2i = 273 K.
T5.2. Moteur thermique réversible avec pseudosources.
Soit un moteur thermique réversible fonctionnant entre deux sources de même capacité thermique,
C = 4.105 J K-1, dont les températures initiales respectives sont t2 = 10 °C et t1 = 100 °C. Ces températures
ne sont pas maintenues constantes (on posera T = t + 273).
1. Donner le schéma de principe de ce moteur en indiquant par des flèches le sens des échanges de
chaleur et de travail (on désignera par T la température de la source chaude et par T’ celle de la
source froide; on gardera ces notations jusqu'à la fin du problème).
2. Quelle est la température Tf des deux sources quand le moteur s'arrête de fonctionner?
3. Calculer le travail fourni par ce moteur jusqu'à son arrêt vérifier et interpréter le signe.
4. Calculer le rendement global. Comparer avec le rendement théorique maximal que l'on pourrait
obtenir si les températures initiales des deux sources T1 et T2 restaient constantes.
T5.3. Cycle de Stirling.
Un gaz, supposé parfait (avec CV constant) décrit un cycle moteur composé de deux isothermes (source
chaude de température T1 et source froide de température T2) et de deux isochores.
1. Tracer l'allure du cycle en coordonnées (P, V).
2. Montrer que les quantités de chaleur échangées au cours des évolutions isochores sont opposées.
3. On admet que ces échanges de chaleur se font avec un régénérateur, interne à la machine, et que les
seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. Déterminer le
rendement du cycle. Commenter le résultat.
T5.4. Cycle de Carnot.
Le cycle de Carnot étudié est la succession d'une compression isotherme AB (à T2) suivi d'une compression
adiabatique BC, puis d'une détente isotherme CD (à la température T1) et terminé par une détente adiabatique
DA.
PA = 1 atm et T2 = 20°C
VC = 1 litre et PC = 10 atm, T1 = 250 °C
gaz diatomique  = 1,4
1. Déterminer les coordonnées des points A, B et D du cycle.
2. Tracer le cycle sur papier millimétré dans le diagramme de Clapeyron (échelle : 1 cm pour 1 atm et
2 cm pour 1 litre).
3. Calculer les quantités de chaleur Q1 et Q2 et le travail W reçus par le gaz au cours du cycle. Préciser
leur signe. Le système effectue-t-il un travail moteur ou résistant? Comment doit-on mesurer
l'efficacité du processus? Donner le coefficient d'efficacité (appelé ici rendement en fonction de W,
Q1 et Q2). Le calculer en fonction de T1 et T2.

T5.5. Etude d’un cycle moteur.
On considère une mole de gaz carbonique initialement portée à la température T1=100°C dans un récipient
de volume V1=1 litre sous une pression P1 (état A). On effectue d'abord une détente adiabatique réversible
qui amène le gaz à une température T2 et un volume V2 = 10V1 (état B). On effectue ensuite une compression
isotherme réversible qui amène le gaz à la pression P1 (état C : P1, T2). On réchauffe ensuite le gaz jusqu'à la
température T1 à pression constante. On assimilera le gaz carbonique à un gaz parfait de rapport des chaleurs
spécifiques = 4/3.
1. Tracer le cycle correspondant dans le diagramme de Watt.
2. Calculer la pression initiale P1.
3. Calculer la température T2 de la source froide.
4. Calculer les quantités de chaleur reçues par le gaz au cours des transformations AB, BC et CA
respectivement. Etablir ensuite le bilan entropique : discussion.
5. Calculer le travail mécanique total fourni par les agents extérieurs au cours du cycle ABCA. Calculer
le rendement thermodynamique de ce cycle.
6. Comparer ce rendement à celui du cycle de Carnot fonctionnant entre T1 et T2.
T5.6. Pompe à chaleur.
Une mole d'un gaz parfait décrit, dans le sens direct, un cycle comportant successivement une adiabatique
réversible, une isobare et une isotherme réversibles.
On part de A à la température TA, la mole occupant le volume VA, pour arriver en B où la mole occupe le
volume VB.
On désignera par PA, VA, TA (respectivement PB, VB, TB et PC, VC, TC) les pression, volume et température
du point A (respectivement B et C).
1. Calculer PA, puis TB, PB, TC, VC et PC en fonction des données TA, VA, VB et
.
2. Calculer, pour chacune des trois branches du cycle, le travail et la chaleur reçus par le gaz. Donner
les signes de ces six grandeurs.
3. Le système fonctionnant comme une pompe à chaleur, sur quelle branche du cycle pompe-t-il de la
chaleur ? Où en cède-t-il ?
4. Quel est le travail total reçu par le gaz lors du cycle ? On exprimera le résultat en fonction de CP, TA
et TB.
5. Définir un coefficient de performance pour cette machine et le calculer.