1 Dans un campus universitaire, à l`issue d`une compétition d

1 Dans un campus universitaire, à l’issue d’une compétition d’athlétisme, 1250 athlètes subissent un test antidopage. Le
test n’est pas sûr à 100 %, certains athlètes peuvent être dopés et avoir cependant un test négatif et, de même, des athlètes
non dopés peuvent avoir un test positif. Le tableau ci-dessous donne la répartition des 1250 athlètes en fonction du
résultat du test et de l’état réel de l’athlète :
Test négatif
Test positif
Athlète non dopé
1188
12
Athlète dopé
1
49
Si A et B sont deux événements, on notera A l’événement contraire de A, P (A) la probabilité de l’événement A, PB(A) la
probabilité conditionnelle de A sachant B.
1° On choisit au hasard un athlète. Déterminer la probabilité des événements suivants :
S : « L’athlète est non dopé »
T : « Le test est positif »
S  T : « L’athlète est non dopé et le test est positif ».
2° On choisit au hasard un athlète non dopé. Quelle est la probabilité qu’il ait un test positif ?
3° Les événements « Le test est positif » et « L’athlète est dopé » sont-ils indépendants ?
4° Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que l’athlète soit non dopé ?
2 (Bac L, Clermont Ferrand, 2003, 10 points)
Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée, Amélie ou Béatrice décide du choix de
l'activité. On désigne par A l'événement «Amélie décide» et par B l'événement «Béatrice décide», B est donc l'événement
contraire de A.
On suppose que la probabilité pour qu'Amélie décide est p(A) =
Error!
1° Déterminer p(B), probabilité pour que Béatrice décide.
2° Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma.
Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée,
On désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par R, l'événement «elles font une randonnée»,
a) Déterminer les probabilités conditionnelles PA(C) et PB(C) où PA(C) est la probabilité de C sachant A et PB(C) est la
probabilité de C sachant B.
b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :
R
3° a) Calculer les probabilités p(A  C) et p(B  C).
b) Montrer que p(C) =
Error!
.
c) En déduire p(R).
4° Sachant qu'Amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait
décidé ?
3 Un enquêteur interroge les familles de deux enfants.
Par la porte il voit passer dans le salon une petite fille.
Quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ?
4 On déplace un pion sur une suite de cases numérotées de 1 à 18 de la façon suivante :
On jette un dé équilibré et on avance le pion du nombre indiqué sur le dé.
Par exemple, au début du jeu, on jette le dé et on tire le deux, on pose le pion sur la case 2 ; puis on rejette le dé et on tire
le quatre, on pose le pion sur la case 6 : le pion est donc passé par les cases 2 et 6.
Le joueur lance trois fois le dé et son gain est égal au numéro de la dernière case atteinte, sauf s’il passe par la case 3 :
alors, il est éliminé.
1° Quelle est la probabilité pour que le joueur passe par la case 1 ?
2° a) Ecrire les deux trajets permettant de passer par la case 2.
b) Montrer que la probabilité que le joueur passe par la case 2 est 36
3° a) Ecrire les quatre trajets permettant de passer par la case 3.
b) Calculer la probabilité que le joueur soit éliminé.
c) On a réalisé 10 000 fois la simulation de ce jeu.
Dans 1682 cas le joueur passe par la case 1 et dans 2259 cas, il passe par la case 3.
Ces résultats sont-ils vraisemblables ?
A

1 Dans un campus universitaire, à l’issue d’une compétition d’athlétisme, 1250 athlètes subissent un test antidopage. Le test
n’est pas sûr à 100 %, certains athlètes peuvent être dopés et avoir cependant un test négatif et, de même, des athlètes non
dopés peuvent avoir un test positif. Le tableau ci-dessous donne la répartition des 1250 athlètes en fonction du résultat du test
et de l’état réel de l’athlète : Si A et B sont deux événements, on notera A l’événement contraire de A, P (A) la probabilité de
l’événement A, PB(A) la probabilité conditionnelle de A sachant B. 1° On choisit au hasard un athlète. Déterminer la
probabilité des événements suivants :
S : « L’athlète est non dopé »
T : « Le test est positif »
S  T : « L’athlète est non dopé et le test est positif ».
1
Test négatif
Test positif
Athlète non dopé
1188
12
1200
Athlète dopé
1
49
50
1189
61
1250
1200 athlètes sur 1250 ne sont pas dopés : P(S) =
Error!
61 athlètes sur 1250 ont un test positif. p(T) =
Error!
12 athlètes sur 1250 ne sont pas dopé mais ont un test positif. p(S T) =
Error!
2° On choisit au hasard un athlète non dopé. Quelle est la probabilité qu’il ait un test positif ? pS(T) =
Error!
=
Error!
3° Les événements « Le test est positif » et « L’athlète est dopé » sont-ils indépendants ? p(S T) =
Error!
p(S) p(T) =
Error!
Error!
Error!
les événement ne sont pas indépendants.
4° Sachant que le test est positif, quelle est la probabilité que l’athlète soit non dopé ? pT(S) =
Error!
2 Amélie et Béatrice projettent une sortie soit au cinéma soit en randonnée, Amélie ou Béatrice décide du choix de l'activité.
On désigne par A l'événement «Amélie décide» et par B l'événement «Béatrice décide», B est donc l'événement contraire de A.
On suppose que la probabilité pour qu'Amélie décide est p(A) =
Error!
1° Déterminer p(B), probabilité pour que Béatrice
décide.
A et B sont contraires donc : p(B) = 1 – p(A) = 1 –
Error!
=
Error!
2° Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma. Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée,
On désigne par C, l'événement «elles vont au cinéma» et par R, l'événement «elles font une randonnée»,
a) Déterminer les probabilités conditionnelles PA(C) et PB(C) où PA(C) est la probabilité de C sachant A et PB(C) est la
probabilité de C sachant B.
Lorsque Amélie décide, 3 fois sur 10 elle choisit le cinéma donc PA(C) =
Error!
Lorsque Béatrice décide, 4 fois sur 10 elle choisit la randonnée donc PB(R) =
Error!
et PB(C) = 1 –
Error!
=
Error!
b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :
3° a) Calculer les probabilités p(A  C) et p(B  C).
P(A  C) = Error!  Error! = Error! et P(B  C) = Error! 
Error! = Error!
b) Montrer que p(C) =
Error!
.
P(C) = P(A
C) + P(B
C) =
Error!
+
Error!
=
Error!
=
Error!
c) En déduire p(R).
P(R) = 1 – P(C) = 1 –
Error!
=
Error!
=
Error!
3/10
C
A
7/12
7/10
R
5/12
6/10
C
B
4/10
R
4° Sachant qu'Amélie et Béatrice sont allées en randonnée, quelle est la probabilité pour que ce soit Béatrice qui ait décidé ?
P(R B) = PB(R) P(B) =
Error!
Error!
=
Error!
pR(B) =
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!

3 Un enquêteur interroge les familles de deux enfants. Par la porte il voit passer dans le salon une petite fille. Quelle est la
probabilité que l’autre enfant soit un garçon ?
On range les enfants dans l’ordre de leur naissance.
On a quatre possibilités : FF, GG, FG et GF.
Dans le cas étudié on sait qu'il y a une fille dans le lot. Cela élimine le deuxième cas.
Il reste trois cas équiprobables, FF, FG et GF.
Il y a donc une probabilité de
Error!
pour que l’autre enfant soit un garçon.
La probabilité cherchée est la probabilité qu'il y ait un garçon sachant qu'il y a une fille c'est à dire :
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
4 On déplace un pion sur une suite de cases numérotées de 1 à 18 de la façon suivante : On jette un dé équilibré et on avance
le pion du nombre indiqué sur le dé. Par exemple, au début du jeu, on jette le dé et on tire le deux, on pose le pion sur la case 2
; puis on rejette le dé et on tire le quatre, on pose le pion sur la case 6 : le pion est donc passé par les cases 2 et 6.
Le joueur lance trois fois le dé et son gain est égal au numéro de la dernière case atteinte, sauf s’il passe par la case 3 : alors, il
est éliminé. 1° Quelle est la probabilité pour que le joueur passe par la case 1 ?
Il y a 6 triplets (1, a, a) et 63 triplets (a, b, c) P1 =
Error!
=
Error!
2° a) Ecrire les deux trajets permettant de passer par la case 2.
(1, 1, a) ou (2, a, b)
b) Montrer que la probabilité que le joueur passe par la case 2 est
Error!
6 triplets (1, 1, a) et 62 triplets (2, a, b) donc P2 =
Error!
=
Error!
3° a) Ecrire les quatre trajets permettant de passer par la case 3.
(3, a, b) ou (1, 2, a) ou (2, 1, b) ou (1, 1, 1)
b) Calculer la probabilité que le joueur soit éliminé.
Il y a 62 triplets (3, a, b), 6 triplets (1, 2, a), 6 triplets(2, 1, b), 1 triplets(1, 1, 1)
P3 =
Error!
=
Error!
c) On a réalisé 10 000 fois la simulation de ce jeu. Dans 1682 cas le joueur passe par la case 1 et dans 2259 cas, il passe par la
case 3. Ces résultats sont-ils vraisemblables ?
P1 =
Error!
0,1667 et
Error!
= 0,1682. P3 =
Error!
0,2269 et
Error!
= 0,2259
Les résultats sont vraisemblables.