I Taux de variation

DERIVATION
I TAUX DE VARIATION
f est une fonction définie sur un intervalle I.
a et a + h sont deux réels distincts de I (h 0).
1° Définition :
On a appelle taux de variation de f entre a et a + h le nombre
Error!
On dit aussi accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h.
2° interprétation géométrique.
Soit C f la courbe représentative de f dans le repère (O;
Error!
;
Error!
).
Soit A le point de C f d'abscisse a et M le point de C f d'abscisse a + h
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :
Error!
3° Exemples :
Soit h un réel non nul et f la fonction définie sur I; R par : f (x) = – x2 + 4.
Calculer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
= – h – 2.
h
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15
10–50
Error!
–3
–2,1
–2,0002
– 2,00001
– 2
–2
f (1 + h)
– 3
– 2,79
– 2,99959996
– 3
– 3
– 3
f (x) =
Error!
. Calculer le taux de variation de f entre 2 + h et 2
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
h
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15
10–50
Error!
– 0,1667
– 0,2301
– 0,2499750025
– 0,2499750006
– 0,25
– 0,25
f (2 + h)
1,3333
1,47619
1,499950005
1,4999975
1,5
1,5
II NOMBRE DERIVE DE f EN a
1° Exemples
Soit h un réel non nul et f la fonction définie sur I; R par : f (x) = – x2 + 4.
Error!
= – h – 2.
h
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15
10–50
Error!
–3
–2,1
–2,0002
– 2,00001
– 2
–2
f (1 + h)
– 3
– 2,79
– 2,99959996
– 3
– 3
– 3
f (x) =
Error!
. Calculer le taux de variation de f entre 2 + h et 2
Error!
=
Error!
h
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15
10–50
Error!
– 0,1667
– 0,2301
– 0,2499750025
– 0,2499750006
– 0,25
– 0,25
f (2 + h)
1,3333
1,47619
1,499950005
1,4999975
1,5
1,5

2° Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I
Lorsque le rapport
Error!
tend vers un réel lorsque h tend vers 0 on dit que ce réel est le nombre dérivée en
a. On le note f ' (a).
La fonction f est alors dérivable en a
3° Interprétation géométrique.
Si C f est la courbe représentative de f dans (O;
Error!
;
Error!
)
Soit A le point de C f d'abscisse a et M le point de C f d'abscisse a + h
Lorsque h tend vers 0, la droite (AM) admet une position limite qui est la tangente en A à C f.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :
Error!
donc le coefficient directeur de la tangente à C f
en a est f ' (a)
4° Tangente
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
Si f est dérivable en a alors la courbe C f admet une tangente au point d'abscisse a.
Cette tangente a pour équation : y = f (a) + f ' (a) (x – a)
III. FONCTIONS DERIVEES
1° Fonction dérivée
Si f est dérivable en tout point de l'intervalle I on dit que f est dérivable sur I.
A tout réel x la fonction dérivée associe le nombre dérivée de f en x. On la note f '.
2° Fonctions dérivées des fonctions usuelles
f
Df
Df '
f '
x k où k est une constante.
I; R
I; R
x 0
x x
I; R
I; R
x 1
x x2
I; R
I; R
x 2 x
x xn
I; R
I; R
x n xn+1
x Error!
I; R*
I; R*
x – Error!
x x
I; R+
I; R+;*
x Error!
3° Opérations sur les dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est une constante.
f (x)
f ' (x)
u + v
k u
u  v
Error!
Error!

IV. VARIATIONS DES FONCTIONS
1° Théorème.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
f est croissante sur un intervalle I si et seulement si f ' est positive sur I
f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si f ' est négative sur I
f est constante sur un intervalle I si et seulement si f ' est nulle sur I
Le signe de la fonction dérivée donne donc les variations de la fonction.
2° Exemples