On considère la suite de nombres (an) définie de la manière suivante :

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Vendredi 23 novembre 2007
1 7 points
On considère la suite de nombres (an) définie de la manière suivante :
a1 = 0, 42 et, pour tout n de I; N*, an+1 = 10– 2 an.
a) Déterminer la nature de la suite (an).
b) Calculer a1 + a2 + a3.
c) On pose Sn = a1 + a2 + · · · + an, pour tout entier naturel non nul n.
Montrer que Sn = Error! (1 – (10– 2)n).
d) En déduire la limite de la somme Sn lorsque n tend vers l’infini.
c) On pose S = 0, 424242….
Déterminer deux entiers p et q tels que S = Error!
2 13 points
Le service commercial d’un journal a constaté que chaque année, il enregistre 1 000 nouveaux abonnés mais 50 %
des anciens abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement.
L’objet de cet exercice est d'étudier l'évolution du nombre d’abonnés si cette situation perdure sachant qu'au cours
de l’année écoulée, le journal comptait 4 000 abonnés.
Dans ce but, on considère la suite (Un) définie par : U0 = 4 et, pour tout entier naturel n, Un + 1 = 0,5 Un + 1
1° Expliquer pourquoi, pour tout entier n > 0, Un est une approximation du nombre de milliers d’abonnés au bout
de n années.
2° On considère l'algorithme suivant :
Entrée
:n un entier naturel.
:
Initialisation
:
:L Liste vide
Affecter la valeur 4 à u.
Affecter la valeur 0 à i.
Traitement
:
Tant que i  n ;
Affecter la valeur i + 1 à i
Affecter la valeur 0,5 * u + 1 à u
Mettre la valeur de u à la fin de la liste L
Sortie
Afficher les éléments de la liste L.
:
Faire fonctionner cet algorithme pour n = 4.
On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera :
n
i
u
L
Initialisation
vide
Fin étape 1
Fin étape 2
...
…
3° Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
n
0
1
2
3
4
Un
5
4° A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que :
Pour tout entier naturel n, Un > 2
5° Soit (Vn) la suite définie sur I; N par Vn = Un – 2.
a) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser la valeur de V0 .
b) En déduire l’expression de Vn en fonction de n.
6° a) En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que :
Pour tout entier naturel n, Un = 2 (1+0,5n)
b) Quelle est la limite de la suite (Un) ?
c) Donner une interprétation de cette limite.
1 On considère la suite de nombres (an) définie de la manière suivante : a1 = 0, 42 et, pour tout n de I; N*, an+1 = 10– 2 an. a)
Déterminer la nature de la suite (an).
La suite (an) est une suite géométrique de raison 10– 2
b) Calculer a1 + a2 + a3.
a1 + a2 + a3 = 0,42 + 0,0042 + 0,000042 = 0,424242
c) On pose Sn = a1 + a2 + · · · + an, pour tout entier naturel non nul n. Montrer que Sn = Error! (1 – (10– 2)n).
Sn = a1 + a2 + · · · + an = 0,42 + 0,42  10–2 + 0,42  (10– 2)2 + … + 0,42  (10– 2)n – 1
= 0,42  Error! = Error! (1 – (10– 2)n) = Error! (1 – (10– 2)n)
d) En déduire la limite S de la somme Sn lorsque n tend vers l’infini.
Error! (10– 2)n = 0 car 0  10– 2 < 1 donc Error! Sn = Error!
c) On pose S = 0, 424242…. Déterminer deux entiers p et q tels que S = Error!
S = Error! Sn = Error!
2 Le service commercial d’un journal a constaté que chaque année, il enregistre 1 000 nouveaux abonnés mais 50 % des anciens
abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement. L’objet de cet exercice est d'étudier l'évolution du nombre d’abonnés si
cette situation perdure sachant qu'au cours de l’année écoulée, le journal comptait 4 000 abonnés. Dans ce but, on considère la
suite (Un) définie par : U0 = 4 et, pour tout entier naturel n, Un + 1 = 0,5 Un + 1 1° Expliquer pourquoi, pour tout entier n > 0, Un est
une approximation du nombre de milliers d’abonnés au bout de n années.
Si Un est le nombre d'abonnés au bout de n années
L'année suivante 50 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement donc 0,5 Un milliers d'abonnés le
renouvellent.
De plus il y a un millier de nouveaux abonnés. On a donc Un + 1 = 0,5  Un + 1.
2° On considère l'algorithme suivant :
Entrée
:
:n un entier naturel.
Initialisation
:
:L Liste vide
Affecter la valeur 4 à u.
Affecter la valeur 0 à i.
Traitement
:
Tant que i  n ;
Affecter la valeur i + 1 à i
Affecter la valeur 0,5 * u + 1 à u
Mettre la valeur de u à la fin de la liste L
Sortie
:
Afficher les éléments de la liste L.
Faire fonctionner cet algorithme pour n = 4.
On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera :
Initialisation
Fin étape 1
Fin étape 2
...
...
n
5
5
5
…
i
0
1
2
3
4
u
4
3
2,5
2,25
2,125
L
vide
{3}
3° Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.
n
Un
0
4
1
3
2
2,5
3
2,25
4
2,125
5
2,0625
4° A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que : Pour tout entier naturel n, Un > 2
Initialisation : Si n = 0 alors U0 = 4 > 2
hérédité : Si Un > 2 alors 0,5  Un > 0,5  2 alors 0,5 Un > 1 alors 0,5 Un + 1 > 1 + 1 alors Un + 1 < 2
Conclusion : Pour tout entier naturel n Un < 2.
5° Soit (Vn) la suite définie sur I; N par Vn = Un – 2. a) Démontrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser
la valeur de V0 .
Vn + 1 = Un + 1 – 2 = 0,5 Un + 1 – 2 = 0,5 Un – 1 = 0,5 (Un – 2) = 0,5 Vn et V0 = U0 – 2 = 2.
b) En déduire l’expression de Vn en fonction de n.
Vn = V0 (0,5)n = 2  (0,5)n
6° a) En utilisant le résultat de la question précédente, démontrer que : Pour tout entier naturel n, Un = 2 (1+0,5n)
Un = Vn + 2 = 2  (0,5)n + 2 = 2 (1 + (0,5)n)
b) Quelle est la limite de la suite (Un) ?
Error! (0,5)n = 0 donc Error! Un = 2
c) Donner une interprétation de cette limite.
Il y aura environ à peu près 2000 abonnés après un certain temps.