INITIATION A LA LOGIQUE 1°) proposition 3 4 2 5 3 5

INITIATION A LA LOGIQUE
K. GUERNOUG
L’exposé suivant est une approche simplifiée de la logique mathématique, mais qui permet,
néanmoins, d’en saisir quelques lignes directrices.
La logique classique aussi bien que la logique dite moderne est fondée sur le principe suivant :
« TOUTE PROPOSITION BIEN CONSTRUITE NE PEUT ETRE DECLAREE QUE SOIT VRAIE SOIT FAUSSE ».
C'est le principe du tiers exclu.
Les recherches actuelles portent sur des systèmes de logique dits « plurivalents » dans lesquels une proposition peut
avoir une valeur autre que « vrai » ou « faux » ( neutre, par exemple )
1°) proposition
C’est tout énoncé pour lequel on peut dire sans ambiguïté s’il est vrai ou bien faux.
La conjonction « ou » utilisée ici a un sens exclusif ( voir § 9 ) et, par conséquent une proposition ne peut être
simultanément vraie et fausse en fonction de tel ou tel paramètre par exemple. Toute autre forme d’énoncé est qualifiée
de prédicat.
Exemples
4
est un nombre décimal
3
5 5
b) <
3 2
a)
( FAUX)
(VRAI)
c) Pour tout réel x, (x-1)(x+1) = x² - 1 (VRAI)
d) Pour tous réels a et b non nuls simultanément,
a² + b² > 0 (VRAI) : c’est une inégalité remarquable !
x−2
est un nombre entier ( VRAI pour certaines valeurs de x ; mais FAUX pour d’autres valeurs de x ; c’est
x+2
donc un prédicat).
e)
2°) Négation d’une proposition
A toute proposition P, correspond une nouvelle proposition qui exprime la négation de la proposition P que l’on note
(non P) et telle que :
Quand la proposition P est vraie , sa négation (non P) est fausse et inversement.
Exemples
P
Non P
x=y
x> y
Il fait chaud
≠y
x£y
Il ne fait pas
chaud
x
A× B = 0
si et seulement si
A = 0 ou B= 0*
Ce triangle est
isocèle ou
rectangle
A ×B ≠ 0
Si et seulement si
A ≠ 0 et B ≠ 0
Ce triangle n’est
ni isocèle ni
rectangle.
* Ici, la conjonction « ou » a un sens inclusif ( voir § 9)
Remarque :
non ( non P ) équivaut à P ( c’est à dire que deux négations valent une affirmation )
1
3°) Implication
a)
Lorsqu’une proposition (A) admet pour conséquence une proposition ( B), on dit que (A) implique ( B)
et on note :
A
⇒
B
L’implication est le plus souvent énoncée sous la forme SI «A » ALORS « B », ce qui signifie que si la
proposition A est vraie alors la proposition B est également vraie. La proposition A est appelée HYPOTHESE et la
proposition B la CONCLUSION
Il est à noter que l’hypothèse peut regrouper plusieurs propositions, selon le schéma :
SI
{ A, B, C }
ALORS
D
Par ailleurs, et d’une manière générale, l’implication est précédée d’une introduction qui nous définit les éléments
« acteurs » de cette implication.
Exemple soit d1, d2 et ∆ trois droites du plan
(introduction)
Si :
d1 ⊥ ∆
et
alors
d1 // d2
d2 ⊥ ∆
L’introduction nous apprend ici que les éléments considérés sont trois droites d’un même plan. Si par exemple, les
droites n’étaient pas dans un même plan, la conclusion serait fausse ( voir le parallélisme dans l’espace).
L’énoncé pris comme exemple pourrait également s’écrire :
« deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles »
Ce type d’énoncé doit être analysé afin qu’il soit conforme au schéma ci –dessus :
- Introduction : quels sont les éléments qui entrent en jeu ?
- Hypothèse : que suppose t-on ?
- Conclusion : que va t-on en déduire ?
Il est à noter enfin que l’implication constitue une nouvelle proposition qui résulte de la combinaison d’autres
propositions et qu’ elle peut être à ce titre, aussi bien vraie que fausse.
Les termes : donc, d’où, par conséquent, il s’ensuit, traduisent l’idée d’implication. On doit utiliser ces termes
uniquement dans un contexte de déduction logique ; c’est à dire quand la proposition que l’on énonce à leur suite
résulte de la proposition ou de l’ensemble des propositions qui les précèdent.
Exemple : le quadrilatère ABCD a trois angles droits , c’est donc un rectangle et par conséquent ses diagonales ont la
même longueur.
b) propriété des implications
Si
« A⇒ B
et
B⇒ C »
alors
A⇒ C
On dit que l’implication est transitive
c) Implication réciproque
On appelle implication réciproque de l’implication « A ⇒ B », l’implication « B ⇒ A ».Celle ci, comme toute
proposition peut être vraie ou fausse
Exemple 1
Soit l’implication « Si un triangle est équilatéral alors il est isocèle ». L’implication réciproque est fausse
Exemple 2
« Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur » . La réciproque est fausse puisque l’on
ne sait pas si les diagonales se coupent en leurs milieux.
2
Exemple 3
→
« Si les vecteurs
vraie
→
AB et CD sont colinéaires alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles » La réciproque est
4°) Equivalence
Si les propositions A et B sont telles que A ⇒ B et réciproquement B
alors on dit que ces deux propositions sont équivalentes et l’on note
B
A ⇔
Exemple 1:
⇒ A,
ABCD est un parallélogramme ⇔ les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Ce qui signifie que :
- d’une part, « si ABCD est un parallélogramme alors les diagonales ont le même milieu » ;
- et réciproquement, « si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu alors c’est un parallélogramme »
Exemple 2 :
→
Les points A, B et C sont alignés
Ce qui signifie :
→
« A, B et C alignés
alignés »
→
⇔ les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
→
→
→
⇒ AB et AC colinéaires » et réciproquement « AB et AC colinéaires ⇒ A, B et C sont
5°) Contraposée
a) introduction
Considérons l’implication suivante « si le quadrilatère ABCD est un rectangle alors ABCD est un parallélogramme »
Notons par « A » la proposition « le quadrilatère ABCD est un rectangle » et par « B » la proposition « le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme »
Les négations de ces deux propositions sont non A : « le quadrilatère ABCD n’est pas un rectangle » et non B : « le
quadrilatère ABCD n’est pas un parallélogramme »
On peut conjecturer que non A n’implique pas non B, c’est-à-dire que l’implication « si le quadrilatère ABCD n’est pas
un rectangle alors ABCD n’est pas un parallélogramme » est fausse. Par contre, l’implication « si ABCD n’est pas un
parallélogramme, alors ABCD n’est pas un rectangle » est vraie ; ce qui signifierait que « non B ⇒ non A »
En fait, ce résultat est général :
Si on a A ⇒ B , il en résulte que
non B ⇒ non A
Démonstration ( pour le type de raisonnement par l’absurde , voir plus loin)
En effet, les propositions non B et A ne peuvent pas être simultanément vraies sinon on aurait
A ⇒ B et A ⇒ non B ; ce qui signifierait que B et non B sont toutes deux vraies, ce qui est absurde.
Puisque non B exclut A , alors non B implique non A
En résumé, les implications « A
sont donc équivalentes
L’implication « non B
⇒ B » et « non B ⇒ non A » sont toutes deux exactes ou toutes deux fausses : elles
⇒ non A » s’appelle la contraposée de la première implication ( et vice versa).
On retiendra :
«A
⇒ B»
équivaut à
« non B
⇒ non A »
b) Exemples
- Supposons un triangle ABC dont le plus grand côté est le côté [BC]
« Si ABC est rectangle en A alors BC2 = AC2 + AB2 »
équivaut à « Si BC2 ≠ AC2 + AB2 alors ABC n’est
pas rectangle en A ».
Il s’agit ici du théorème de Pythagore et de sa contraposée.
Considérons le théorème « Si un nombre est décimal, alors son écriture fractionnaire irréductible a un
dénominateur de la forme 2 p × 5q où p et q sont des entiers naturels »
3
- Par contraposition, on peut donc affirmer que
« Si un rationnel a un dénominateur qui ne s’écrit pas sous la forme 2 p × 5q , alors ce n’est pas un décimal ».
c) Exemple d’application
Lorsqu’il est difficile de démontrer directement que A
facile à mettre en œuvre.
⇒ B, on peut donc utiliser la contraposée si celle-ci est
Exemple simple
Considérons la propriété : x et y sont deux nombres positifs ;
Si x > y
alors x2 > y2 (1)
Pour démontrer la réciproque, on peut :
Soit prouver que
« si
ou bien sa contraposée
x2 > y2 alors x > y »
qui consiste à prouver que : « si
x ≤ y alors x2 ≤ y2 »
Démontrons donc la contaposée :
D’après la propriété (1) on a évidemment « si x < y alors
x2 < y2 »
2
2
Et, par ailleurs, il est clair que « si x = y alors x = y »
Par conséquent, « si x ≤ y alors x2 ≤ y2 » ce qui équivaut à « si x2 > y2
alors
x > y ».
6°) Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer qu’une proposition est vraie, on peut avoir recours au raisonnement par l’absurde. Pour cela, on
suppose que sa négation est vraie et on démontre que les conséquences qui s’ensuivent sont en contradiction avec
l’hypothèse émise. On en déduit que la proposition est vraie puisque sa négation est fausse.
a)
Exemple 1
Démontrons la propriété « Dans le plan, si deux droites sont parallèles, alors toute droite sécante à l’une est sécante à
l’autre »
Dans le plan, soit d1 et d2 les deux droites parallèles et ∆ la sécante à d1 par exemple.
Supposons l’hypothèse que ∆ ne soit pas sécante à la droite d2. Il s’ensuit donc que ∆ est parallèle à d2.
Or d1 et d2 sont parallèles et par conséquent ∆ est parallèle à d1 en vertu du théorème « si deux droites sont
parallèles, toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre »
On a donc simultanément ∆ parallèle et sécante à la droite d1 , ce qui est absurde. Par conséquent l’hypothèse émise
est fausse et sa négation est vraie ; à savoir que ∆ est sécante à d2
b) Exemple 2 Soit l’équation x3 + 2x2 +5x + 4 = 0. montrer que cette équation n’admet pas de solution
strictement positive.
Posons f (x) = x3 + 2x2 +5x + 4
Supposons donc l’hypothèse que cette équation admette une solution strictement positive x0.
On aurait donc
x03 + 2 x02 + 5 x0 + 4 = 0, soit f (x0) = 0
3
Or, comme x0 > 0 alors x0 > 0 , 2 x 20 > 0 , 5x0 > 0 et par conséquent x 30 + 2x 02 + 5x 0 +4 >0 ; soit
f (x0) > 0 .
On a donc simultanément f (x0) = 0 et f (x0) > 0 ce qui représente une contradiction. Ceci signifie donc que
l’hypothèse initiale est fausse et par conséquent sa négation est vraie : à savoir que l’équation proposée ne peut
avoir une solution positive (trouver alors une solution évidente )
c) Exemple 3
Démontrons par l’absurde que
Supposons donc l’hypothèse que
2 n’est pas un nombre rationnel..
2 est un rationnel et démontrons que cela mène à une contradiction.
4
Dire que
2 est un nombre rationnel signifie que l’on peut trouver une fraction irréductible telle que
2=
p
q
où p et q sont donc deux nombres entiers premiers entre eux.
p²
= 2.
La relation donnée implique
q²
Cette relation s’écrit p2 = 2 q2 et nous indique que p2 est un nombre pair. Or si le carré d’un nombre est pair,
alors ce nombre est pair* ; et par conséquent p est un nombre pair.
p²
(1). Comme p est pair, on peut l’écrire sous la forme p= 2p’ et la relation (1)
2
devient q2 = 2 (p’)2 et par conséquent q est également un nombre pair.
Or l’hypothèse initiale suppose que p et q sont premiers entre-eux, et notre conclusion est que ces deux nombres
sont pairs, d’où contradiction. Cette hypothèse est donc fausse et par conséquent sa négation est vraie ce qui
Par ailleurs, on a
q2 =
revient à dire que
2 n’est pas un rationnel.
* Démontrer cette propriété par l’absurde ou par contraposée
7°) L’expression
« SI ET SEULEMENT SI »
Considérons la propriété « un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si les diagonales [AC]
et [BD] ont le même milieu ».
Le mot « si » introduit une hypothèse A : « les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu » qui implique
une conclusion B : « le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ».
L’expression « seulement si » signifie que la conclusion B n’est vraie que dans le seul cas où l’hypothèse
A est vraie. Autrement dit, si l’hypothèse A n’est pas vérifiée alors la conclusion B ne l’est pas non plus.
Ce qui se traduit par :
« Si les diagonales [AC] et [ BD] n’ont pas le même milieu alors
parallélogramme »
Soit
« non A ⇒ non B »
Or, non A
le quadrilatère ABCD n’est pas un
⇒ non B équivaut à B ⇒ A d’après la contraposition..
Par conséquent, si et seulement si traduit les deux implications :
A
⇒ B
Soit
et
A
B
⇒ A
⇔ B
8°) L'expression « il faut et il suffit »
Considérons la même propriété que précédemment mais énoncée de la manière suivante :
« Pour qu’un quadrilatère ABCD soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les diagonales [AC] et [BD] aient
le même milieu ».
L’expression « il suffit » comme le mot « si » introduit l’hypothèse A qui implique la conclusion B ; c’est
à dire :
« Il suffit que les diagonales [AC] et [BD] aient le même milieu » pour que soit réalisée la conclusion : le
« quadrilatère ABCD est un parallélogramme »
L’expression « il faut » comme l’expression « seulement si » exprime une condition nécessaire c’est -à-dire
que si l’hypothèse A n’est pas vérifiée, alors la conclusion B ne l’est pas non plus.
En résumé :
« Pour que
Signifie
ABCD soit un parallélogramme ; il suffit que [AC] et [BD] aient le même milieu »
« si [AC] et [BD] ont le même milieu alors ABCD est un parallélogramme »
5
« Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que [AC] et [BD] aient le même milieu. »
Signifie que « si [AC] et [BD] n’ont pas le même milieu alors ABCD n’est pas un parallélogramme »
Ce qui équivaut par contraposition à : « si ABCD est un parallélogramme alors [AC] et [BD] ont le
même milieu »
9°) la conjonction « ou »
La conjonction « ou » a deux sens.
a) Le « ou » exclusif
considérons l’énoncé suivant : « le réel x est un rationnel ou un irrationnel »
La conjonction « ou » marque ici l’exclusion au vu de l’incompatibilité d’appartenance aux deux ensembles de
nombres considérés. On dit que « ou » a un sens exclusif.
b) Le « ou » inclusif
Considérons l’énoncé « ce triangle est rectangle ou isocèle »
Dans ce cas, il n’y a pas une totale incompatibilité entre les deux possibilités, puisqu’un triangle peut être à la
fois rectangle et isocèle. La conjonction « ou » exprime ici que le triangle considéré est soit isocèle, soit
rectangle, soit encore rectangle et isocèle. On dit que « ou » a un sens inclusif
D’une manière générale, et par convention, le « ou » utilisé en mathématique a en sens inclusif ; sauf indication
explicite. Le « ou » exclusif est le plus souvent remplacé par « ou bien ».
Exemple a × b = 0 si et seulement a = 0 ou b = 0
Ce qui signifie que soit a = 0 soit b = 0 ou encore a = b = 0
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