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- Par contraposition, on peut donc affirmer que
« Si un rationnel a un dénominateur qui ne s’écrit pas sous la forme 2 p
5q , alors ce n’est pas un décimal ».
c) Exemple d’application
Lorsqu’il est difficile de démontrer directement que A
B, on peut donc utiliser la contraposée si celle-ci est
facile à mettre en œuvre.
Exemple simple
Considérons la propriété : x et y sont deux nombres positifs ;
Si x > y alors x2 > y2 (1)
Pour démontrer la réciproque, on peut :
Soit prouver que « si x2 > y2 alors x > y »
ou bien sa contraposée qui consiste à prouver que : « si x ≤ y alors x2 ≤ y2 »
Démontrons donc la contaposée :
D’après la propriété (1) on a évidemment « si x < y alors x2 < y2 »
Et, par ailleurs, il est clair que « si x = y alors x2 = y2 »
Par conséquent, « si x
≤ y alors x2 ≤ y2 » ce qui équivaut à « si x2 > y2 alors x > y ».
6°) Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer qu’une proposition est vraie, on peut avoir recours au raisonnement par l’absurde. Pour cela, on
suppose que sa négation est vraie et on démontre que les conséquences qui s’ensuivent sont en contradiction avec
l’hypothèse émise. On en déduit que la proposition est vraie puisque sa négation est fausse.
a) Exemple 1
Démontrons la propriété « Dans le plan, si deux droites sont parallèles, alors toute droite sécante à l’une est sécante à
l’autre »
Dans le plan, soit d1 et d2 les deux droites parallèles et
la sécante à d1 par exemple.
Supposons l’hypothèse que
ne soit pas sécante à la droite d2. Il s’ensuit donc que
est parallèle à d2.
Or d1 et d2 sont parallèles et par conséquent
est parallèle à d1 en vertu du théorème « si deux droites sont
parallèles, toute parallèle à l’une est parallèle à l’autre »
On a donc simultanément
parallèle et sécante à la droite d1 , ce qui est absurde. Par conséquent l’hypothèse émise
est fausse et sa négation est vraie ; à savoir que
est sécante à d2
b) Exemple 2 Soit l’équation x3 + 2x2 +5x + 4 = 0. montrer que cette équation n’admet pas de solution
strictement positive.
Posons f (x) = x3 + 2x2 +5x + 4
Supposons donc l’hypothèse que cette équation admette une solution strictement positive x0.
On aurait donc 3 2
+ + + 4 = 0, soit f (x0) = 0
Or, comme x0 > 0 alors
> 0 , 2 2
0
x > 0 , 5x0 > 0 et par conséquent 0
2
0
3
0x5x2x ++ +4 >0 ; soit
f (x0) > 0 .
On a donc simultanément f (x0) = 0 et f (x0) > 0 ce qui représente une contradiction. Ceci signifie donc que
l’hypothèse initiale est fausse et par conséquent sa négation est vraie : à savoir que l’équation proposée ne peut
avoir une solution positive (trouver alors une solution évidente )
c) Exemple 3
Démontrons par l’absurde que 2 n’est pas un nombre rationnel..
Supposons donc l’hypothèse que 2 est un rationnel et démontrons que cela mène à une contradiction.