Introduction `a la géométrie de Poisson

Introduction `a la g´eom´etrie de Poisson
Mohamed Boucetta
Ce mini-cours a ´et´e donn´e dans le cadre de la cinq`eme ´ecole de g´eom´etrie
qui a ´et´e organis´ee par le groupe de g´eom´etrie et alg`ebre de la facult´e des
sciences de M´eknes et le groupe de g´eom´etrie et alg`ebre de l’E.N.S entre le
19 et 23 Novembre 2013. Je tiens `a remercier les organisateurs de m’avoir
invit´e `a cette manifestation.
1 Introduction
Dans l’´etat actuel de la recherche dans le domaine de la g´eom´etrie de Poisson,
celle-ci est consid´er´ee comme une transition entre les alg`ebres non commu-
tatives et la g´eom´etrie diff´erentielle qui est l’´etude d’une alg`ebre commu-
tative particuli`ere. Du point de vue de la physique, la g´eom´etrie de Pois-
son est consid´er´ee comme une transition entre la m´ecanique classique et la
m´ecanique quantique. Dans ce mini-cours, je vais pr´esenter une introduction
`a la g´eom´etrie de Poisson qui ne tiens pas compte de cet aspect transitoire,
c’est-`a-dire, je vais la pr´esenter sans montrer ni ses liens avec la physique
classique ni ses liens avec la physique quantique. Je pr´esenterai quelques
aspects du sujet qui, j’esp`ere, seront une incitation pour les d´ebutants `a aller
explorer plus profond´ement ce domaine en plein expansion de la g´eom´etrie
diff´erentielle.
Apr`es avoir rappel´e quelques notions et r´esultats de g´eom´etrie diff´erentielles,
on donnera la d´efinition d’une vari´et´e de Poisson et on explicitera quelques
exemples. On donnera ensuite une d´emonstration du th´eor`eme de Darboux-
Weinstein qui permettra de d´ecrire l’aspect local d’une structure de Poisson.
On utilisera ce th´eor`eme pour mettre `a jour le feuilletage symplectique associ´e
`a une structure de Poisson. Pour finir cette partie descriptive, on d´ecrira la
structure d’alg´ebroide associ´ee `a une structure de Poisson et on d´efinira la
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notion de structure de Poisson unimodulaire. Apr`es, on ´etudiera en d´etail
quelques classes de structures de Poisson, il s’agit des structures de Poisson
lin´eaires et des structures de Poisson invariantes `a gauche (ou `a droite) sur
un groupe de Lie.
Pour r´esumer, ce mini-cours se d´eroulera selon le plan suivant :
1. Quelques rappels en g´eom´etrie diff´erentielle;
2. D´efinition d’une vari´et´e de Poisson;
3. Th´eor`eme de Darboux-Weinstein et feuilletage symplectique;
4. Alg´ebroides de Poisson
5. Unimodularit´e des structures de Poisson
6. Structures de Poisson lin´eaires;
7. Structures de Poisson invariantes `a gauche sur un groupe de Lie.
Pour un traitement d´etaill´e de ce th`eme voir le livre de Dufour-Zung et le
livre de Vaisman :
[1] Dufour, Jean-Paul, Zung, Nguyen Tien,Poisson Structures and
Their Normal Forms, Progress in Mathematics , Vol. 242, Birkh¨ausser,
Berlin, (2005).
[2] Vaisman I.,Lecture on the geometry of Poisson manifolds, Progress in
Mathematics Vol. 118, Birkh¨ausser, Berlin, (1994).
2 Quelques rappels en g´eom´etrie diff´erentielle
Dans cette section, je vais pr´eciser les notations et rappeler quelques r´esultats
classiques qui nous seront utiles par la suite.
Soit Mune vari´et´e lisse de dimension d. On adoptera les notations suivantes:
1. C∞(M) d´esignera l’alg`ebre commutative des fonctions C∞`a valeurs
r´eels sur M.
2. X1(M) l’espace des champs de vecteur sur M, c’est-`a-dire les sections
C∞du fibr´e tangent pM:T M −→ M. Plus g´en´eralement, on notera,
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pour tout entier 2 ≤q≤d,Xq(M) l’espace des champs de mul-
tivecteur de degr´e q, c’est-`a-dire, les sections C∞du fibr´e vectoriel
pM:∧qT M −→ M. Dans un syst`eme de coordonn´ees (x1, . . . , xd), un
champ de multivecteur Q∈ X q(M) s’´ecrit
Q=X
1≤j1<...<jq≤d
Qj1...jq∂j1∧. . . ∧∂jq.
On pose X(M) = C∞(M)⊕ X 1(M)⊕. . . ⊕ X d(M).
3. Pour tout entier 1 ≤q≤d, Ωq(M) d´esignera l’espace des q-formes
diff´erentielles sur M. Dans un syst`eme de coordonn´ees (x1, . . . , xd),
une forme diff´erentielle α∈Ωq(M) s’´ecrit
α=X
1≤j1<...<jq≤d
αj1...jqdxj1∧. . . ∧dxjq,
et sa diff´erentielle
dα =X
1≤j1<...<jq≤d
dαj1...jq∧dxj1∧. . . ∧dxjq.
On pose Ω(M) = C∞(M)⊕Ω1(M)⊕. . . ⊕Ωd(M).
Notons les identifications suivantes qui sont tr`es utiles.
1. Pour tout 1 ≤q≤d,Xq(M) s’identifie `a l’espace des applications
q
z }| {
Ω1(M)×. . . ×Ω1(M)−→ C∞(M)
qui sont C∞(M)-multilin´eaires altern´ees.
2. Pour tout 1 ≤q≤d, Ωq(M) s’identifie `a l’espace des applications
q
z }| {
X1(M)×. . . × X 1(M)−→ C∞(M)
qui sont C∞(M)-multilin´eaires altern´ees.
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Pour tout Q∈ X q(M) et tout X∈ X 1(M), la d´eriv´ee Lie de Qdans la
direction X, not´e usuellement LXQsera not´e [X, Q]. Rappelons que, pour
tout α1, . . . , αq∈Ω1(M),
[X, Q](α1, . . . , αq) = X.Q(α1, . . . , αq)
−
q
X
j=1
Q(α1, . . . , LXαj, . . . , αq).(1)
De mˆeme, si α∈Ωq(M), la d´eriv´ee de Lie de αdans la direction de Xest
donn´ee, pour tout X1, . . . , Xq∈ X 1(M), par
LXα(X1, . . . , Xq) = X.α(X1, . . . , Xq)
−
q
X
j=1
α(X1,...,[X, Xj], . . . , Xq).(2)
La diff´erentielle ds’exprime `a l’aide du crochet de Lie, c’est ainsi que pour
tout X1, . . . , Xq+1 ∈ X 1(M)
dα(X1, . . . , Xq+1) =
q+1
X
j=1
(−1)j−1Xj.α(X1,..., ˆ Xj, . . . , Xq+1) (3)
+X
1≤i≤j≤d
(−1)i+jα([Xi, Xj], X1,..., ˆ Xi,..., ˆ Xj, . . . , Xq+1).
Noter que si f∈C∞(M) consid´er´ee comme un champ de multivecteur de
degr´e 0 ou comme une forme diff´erentielle de degr´e 0, on a
[X, f] = LXf=df(X).(4)
L’espace X1(M) s’identifie naturellement `a l’espace, not´e D1(M), des d´erivations
de l’alg`ebre C∞(M). Cette identification se g´en´eralise sans difficult´e pour
donner une identfication naturelle de Xq(M) pour q≥2.
Pour tout entier 2 ≤q≤d, un crochet de Leibniz d’ordre qou multi-
d´erivation sur Mest une application
q
z }| {
C∞(M)×. . . ×C∞(M)−→ C∞(M)
(f1, . . . , fq)7→ {f1, . . . , fq},
telle que
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1. { } est IR-multilin´eaire altern´ee;
2. { } v´erifie la r`egle de Leibniz, c’est-`a-dire, pour tout f, g, f2, . . . , fq∈
C∞(M),
{fg, f2, . . . , fq}=f{g, f2, . . . , fq}+g{f, f2, . . . , fq}.
On notera Dq(M) l’espace des crochets de Leibniz d’ordre qsur M.
Proposition 2.1 Pour tout 1≤q≤d, l’application qui `a un champ de
multivecteur Qassocie le crochet de Leibniz d’ordre q{ } d´efini par
{f1, . . . , fq}=Q(df1, . . . , dfq),(5)
pour tout f1, . . . , fq∈C∞(M), r´ealise une bijection entre Xq(M)et Dq(M).
Preuve. La preuve est identique `a celle du cas q= 1.2
Les crochets d’ordre 2 v´erifient une propri´et´e remarquable. En effet, pour
tout crochet de Leibniz d’ordre 2, on d´efinit le Jacobiateur de {,}comme
´etant l’application
J:C∞(M)×C∞(M)×C∞(M)−→ C∞(M)
par
J(f, g, h) = {f, {g, h}} +{g, {h, f}} +{h, {f, g}}.
Proposition 2.2 Le Jacobiateur est un crochet de Leibniz d’ordre 3.
Preuve. Il est clair que Jest IR-multilin´eaire et que si f=gou f=hou
g=halors J(f, g, h) = 0. Maintenant
J(f1f2, g, h) = {f1f2,{g, h}} +{g, {h, f1f2}} +{h, {f1f2, g}}
=f1{f2,{g, h}} +f2{f1,{g, h}} +{g, f1{h, f2}}
+{g, f2{h, f1}} +{h, f1{f2, g}} +{h, f2{f1, g}}
=f1{f2,{g, h}} +f2{f1,{g, h}} +{g, f1}{h, f2}+f1{g, {h, f2}}
{g, f2}{h, f1}+f2{g, {h, f1}} +{h, f1}{f2, g}
+f1{h, {f2, g}} +{h, f2}{f1, g}+f2{h, {f1, g}}
=f1J(f2, g, h) + f2J(f1, g, h),
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