Introduction à la géométrie de Poisson Mohamed Boucetta Ce mini-cours a été donné dans le cadre de la cinqème école de géométrie qui a été organisée par le groupe de géométrie et algèbre de la faculté des sciences de Méknes et le groupe de géométrie et algèbre de l’E.N.S entre le 19 et 23 Novembre 2013. Je tiens à remercier les organisateurs de m’avoir invité à cette manifestation. 1 Introduction Dans l’état actuel de la recherche dans le domaine de la géométrie de Poisson, celle-ci est considérée comme une transition entre les algèbres non commutatives et la géométrie différentielle qui est l’étude d’une algèbre commutative particulière. Du point de vue de la physique, la géométrie de Poisson est considérée comme une transition entre la mécanique classique et la mécanique quantique. Dans ce mini-cours, je vais présenter une introduction à la géométrie de Poisson qui ne tiens pas compte de cet aspect transitoire, c’est-à-dire, je vais la présenter sans montrer ni ses liens avec la physique classique ni ses liens avec la physique quantique. Je présenterai quelques aspects du sujet qui, j’espère, seront une incitation pour les débutants à aller explorer plus profondément ce domaine en plein expansion de la géométrie différentielle. Après avoir rappelé quelques notions et résultats de géométrie différentielles, on donnera la définition d’une variété de Poisson et on explicitera quelques exemples. On donnera ensuite une démonstration du théorème de DarbouxWeinstein qui permettra de décrire l’aspect local d’une structure de Poisson. On utilisera ce théorème pour mettre à jour le feuilletage symplectique associé à une structure de Poisson. Pour finir cette partie descriptive, on décrira la structure d’algébroide associée à une structure de Poisson et on définira la 1 notion de structure de Poisson unimodulaire. Après, on étudiera en détail quelques classes de structures de Poisson, il s’agit des structures de Poisson linéaires et des structures de Poisson invariantes à gauche (ou à droite) sur un groupe de Lie. Pour résumer, ce mini-cours se déroulera selon le plan suivant : 1. Quelques rappels en géométrie différentielle; 2. Définition d’une variété de Poisson; 3. Théorème de Darboux-Weinstein et feuilletage symplectique; 4. Algébroides de Poisson 5. Unimodularité des structures de Poisson 6. Structures de Poisson linéaires; 7. Structures de Poisson invariantes à gauche sur un groupe de Lie. Pour un traitement détaillé de ce thème voir le livre de Dufour-Zung et le livre de Vaisman : [1] Dufour, Jean-Paul, Zung, Nguyen Tien, Poisson Structures and Their Normal Forms, Progress in Mathematics , Vol. 242, Birkhäusser, Berlin, (2005). [2] Vaisman I., Lecture on the geometry of Poisson manifolds, Progress in Mathematics Vol. 118, Birkhäusser, Berlin, (1994). 2 Quelques rappels en géométrie différentielle Dans cette section, je vais préciser les notations et rappeler quelques résultats classiques qui nous seront utiles par la suite. Soit M une variété lisse de dimension d. On adoptera les notations suivantes: 1. C ∞ (M ) désignera l’algèbre commutative des fonctions C ∞ à valeurs réels sur M . 2. X 1 (M ) l’espace des champs de vecteur sur M , c’est-à-dire les sections C ∞ du fibré tangent pM : T M −→ M . Plus généralement, on notera, 2 pour tout entier 2 ≤ q ≤ d, X q (M ) l’espace des champs de multivecteur de degré q, c’est-à-dire, les sections C ∞ du fibré vectoriel pM : ∧q T M −→ M . Dans un système de coordonnées (x1 , . . . , xd ), un champ de multivecteur Q ∈ X q (M ) s’écrit Q= X Qj1 ...jq ∂j1 ∧ . . . ∧ ∂jq . 1≤j1 <...<jq ≤d On pose X (M ) = C ∞ (M ) ⊕ X 1 (M ) ⊕ . . . ⊕ X d (M ). 3. Pour tout entier 1 ≤ q ≤ d, Ωq (M ) désignera l’espace des q-formes différentielles sur M . Dans un système de coordonnées (x1 , . . . , xd ), une forme différentielle α ∈ Ωq (M ) s’écrit α= X αj1 ...jq dxj1 ∧ . . . ∧ dxjq , 1≤j1 <...<jq ≤d et sa différentielle dα = X dαj1 ...jq ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjq . 1≤j1 <...<jq ≤d On pose Ω(M ) = C ∞ (M ) ⊕ Ω1 (M ) ⊕ . . . ⊕ Ωd (M ). Notons les identifications suivantes qui sont très utiles. 1. Pour tout 1 ≤ q ≤ d, X q (M ) s’identifie à l’espace des applications q z }| { Ω1 (M ) × . . . × Ω1 (M ) −→ C ∞ (M ) qui sont C ∞ (M )-multilinéaires alternées. 2. Pour tout 1 ≤ q ≤ d, Ωq (M ) s’identifie à l’espace des applications q z 1 }| 1 { X (M ) × . . . × X (M ) −→ C ∞ (M ) qui sont C ∞ (M )-multilinéaires alternées. 3 Pour tout Q ∈ X q (M ) et tout X ∈ X 1 (M ), la dérivée Lie de Q dans la direction X, noté usuellement LX Q sera noté [X, Q]. Rappelons que, pour tout α1 , . . . , αq ∈ Ω1 (M ), [X, Q](α1 , . . . , αq ) = X.Q(α1 , . . . , αq ) − q X Q(α1 , . . . , LX αj , . . . , αq ). (1) j=1 De même, si α ∈ Ωq (M ), la dérivée de Lie de α dans la direction de X est donnée, pour tout X1 , . . . , Xq ∈ X 1 (M ), par LX α(X1 , . . . , Xq ) = X.α(X1 , . . . , Xq ) − q X α(X1 , . . . , [X, Xj ], . . . , Xq ). (2) j=1 La différentielle d s’exprime à l’aide du crochet de Lie, c’est ainsi que pour tout X1 , . . . , Xq+1 ∈ X 1 (M ) dα(X1 , . . . , Xq+1 ) = q+1 X (−1)j−1 Xj .α(X1 , . . . , X̂j , . . . , Xq+1 ) (3) j=1 + X (−1)i+j α([Xi , Xj ], X1 , . . . , X̂i , . . . , X̂j , . . . , Xq+1 ). 1≤i≤j≤d Noter que si f ∈ C ∞ (M ) considérée comme un champ de multivecteur de degré 0 ou comme une forme différentielle de degré 0, on a [X, f ] = LX f = df (X). (4) L’espace X 1 (M ) s’identifie naturellement à l’espace, noté D1 (M ), des dérivations de l’algèbre C ∞ (M ). Cette identification se généralise sans difficulté pour donner une identfication naturelle de X q (M ) pour q ≥ 2. Pour tout entier 2 ≤ q ≤ d, un crochet de Leibniz d’ordre q ou multidérivation sur M est une application q z }| { C ∞ (M ) × . . . × C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) (f1 , . . . , fq ) 7→ {f1 , . . . , fq }, telle que 4 1. { } est IR-multilinéaire alternée; 2. { } vérifie la règle de Leibniz, c’est-à-dire, pour tout f, g, f2 , . . . , fq ∈ C ∞ (M ), {f g, f2 , . . . , fq } = f {g, f2 , . . . , fq } + g{f, f2 , . . . , fq }. On notera Dq (M ) l’espace des crochets de Leibniz d’ordre q sur M . Proposition 2.1 Pour tout 1 ≤ q ≤ d, l’application qui à un champ de multivecteur Q associe le crochet de Leibniz d’ordre q { } défini par {f1 , . . . , fq } = Q(df1 , . . . , dfq ), (5) pour tout f1 , . . . , fq ∈ C ∞ (M ), réalise une bijection entre X q (M ) et Dq (M ). Preuve. La preuve est identique à celle du cas q = 1.2 Les crochets d’ordre 2 vérifient une propriété remarquable. En effet, pour tout crochet de Leibniz d’ordre 2, on définit le Jacobiateur de { , } comme étant l’application J : C ∞ (M ) × C ∞ (M ) × C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) par J(f, g, h) = {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}}. Proposition 2.2 Le Jacobiateur est un crochet de Leibniz d’ordre 3. Preuve. Il est clair que J est IR-multilinéaire et que si f = g ou f = h ou g = h alors J(f, g, h) = 0. Maintenant J(f1 f2 , g, h) = {f1 f2 , {g, h}} + {g, {h, f1 f2 }} + {h, {f1 f2 , g}} = f1 {f2 , {g, h}} + f2 {f1 , {g, h}} + {g, f1 {h, f2 }} +{g, f2 {h, f1 }} + {h, f1 {f2 , g}} + {h, f2 {f1 , g}} = f1 {f2 , {g, h}} + f2 {f1 , {g, h}} + {g, f1 }{h, f2 } + f1 {g, {h, f2 }} {g, f2 }{h, f1 } + f2 {g, {h, f1 }} + {h, f1 }{f2 , g} +f1 {h, {f2 , g}} + {h, f2 }{f1 , g} + f2 {h, {f1 , g}} = f1 J(f2 , g, h) + f2 J(f1 , g, h), 5 et donc J est un crochet de Leibniz d’ordre 3.2 Le crochet de Schouten-Nijenhuis que nous allons introduire maintenant est une extension du crochet de Lie sur X 1 (M ) à toute l’algèbre des champs de multivecteur X (M ). Noter que si X et Y sont deux champs de vecteurs [X, Y ] = −[Y, X] (6) et que les opérateurs LX , LY vérifient L[X,Y ] = LX ◦ LY − LY ◦ LX . Cette formule appliquée pour Q ∈ X q (M ) donne [[X, Y ], Q] = [X, [Y, Q]] − [Y, [X, Q]]. (7) Le crochet entre un champ de vecteur et un champ de multivecteur donné par la dérivée de Lie se prolonge en un crochet sur X (M ) vérifiant des propriétés qui généralisent (6) et (7). Ce crochet est appelé crochet Schouten-Nijenhuis. Nous donnons ici sans le démontrer le théorème qui assure l’existence et l’unicité du crochet de Schouten-Nijenhuis et donne ses propriétés. Pour la preuve de ce théorème voir [1] ou [2] pour deux démonstrations différentes. Théorème 2.1 (Schouten-Nijenhuis) Soit M une variété lisse. Alors il existe sur X (M ) un crochet [ , ] appelé crochet de Schouten-Nijenhuis et vérifiant les propriétés suivantes: 1. Si A ∈ X a (M ) et B ∈ X b (M ) alors [A, B] ∈ X a+b−1 . 2. L’anti-commutativité graduée: si A ∈ X a (M ) et B ∈ X b (M ) alors [A, B] = −(−1)(a−1)(b−1) [B, A]. (8) 3. La régle de Leibniz graduée: si A ∈ X a (M ), B ∈ X b (M ) et C ∈ X b (M ) alors [A, B ∧ C] = [A, B] ∧ C + (−1)(a−1)b B ∧ [A, C], [A ∧ B, C] = A ∧ [B, C] + (−1)(c−1)b [A, C] ∧ B. 6 (9) (10) 4. L’identité de Jacobi graduée: si A ∈ X a (M ), B ∈ X b (M ) et C ∈ X c (M ) alors (−1)(a−1)(c−1) [A, [B, C]] + (−1)(b−1)(a−1) [B, [C, A]] + (−1)(c−1)(b−1) [C, [A, B]] = 0.(11) 5. Si X est un champ de vecteur, A ∈ X a (M ) et f ∈ C ∞ (M ), le crochet de Schouten-Nijenhuis de X et A coincide avec le crochet de Lie et le crochet de Schouten-Nijenhuis de X et f est X(f ). Soit { , } un crochet de Leibniz d’ordre 2 et soit J son Jacobiateur. D’après Proposition 2.1, il existe un champ de bivecteur A et un champ de 3-vecteur AJ déterminés uniquement par les relations {f, g} = A(df, dg) et J(f, g, h) = AJ (df, dg, dh), pour f, g, h ∈ C ∞ . Proposition 2.3 Le champ de 3-veteur AJ est la moitié du crochet de SchoutenNijenhuis de A par lui même, c’est-à-dire, 1 AJ = [A, A]. 2 (12) Preuve. Choisissons un système de coordonnées (x1 , . . . , xd ) et écrivons A= X Aij ∂i ∧ ∂j , i,j avec 2Aij = {xi , xj } et calculons [A, A]. On a [A, A] = XX [Aij ∂i ∧ ∂j , Alk ∂l ∧ ∂k ] . i,j l,k Un calcul direct utilisant le fait que [Aij , Alk ] = 0, que [∂i ∧ ∂j , ∂l ∧ ∂k ] = 0 et les relations (9) et (10) donne [Aij ∂i ∧ ∂j , Alk ∂l ∧ ∂k ] = Aij (∂j Alk ∂i − ∂i Alk ∂j )∧∂l ∧∂k +Alk (∂k Aij ∂l − ∂l Aij ∂k )∧∂i ∧∂j . On obtient donc que [A, A] = Q1 + Q2 + Q3 + Q4 7 avec Q1 = XX Aij ∂j Alk ∂i ∧ ∂l ∧ ∂k , Q2 = − i,j l,k Q3 = XX XX Aij ∂i Alk ∂j ∧ ∂l ∧ ∂k , i,j l,k Alk ∂k Aij ∂l ∧ ∂i ∧ ∂j , Q4 = − i,j l,k XX Alk ∂l Aij ∂k ∧ ∂i ∧ ∂j . i,j l,k Il s’avère que Q1 = Q2 = Q3 = Q4 . En effet, pour tout m, n, p des entiers naturels dans [1, d], On a Q1 (dxm , dxn , dxp ) = XX Aij ∂j Alk ∂i ∧ ∂l ∧ ∂k (dxm , dxn , dxp ) i,j l,k = XX Aσ(m)j ∂j Aσ(n)σ(p) ∂σ(m) ∧ ∂σ(n) ∧ ∂σ(p) (dxm , dxn , dxp ) j σ∈S = XX sgσAσ(m)j ∂j Aσ(n)σ(p) ; j σ∈S Q2 (dxm , dxn , dxp ) = − XX Aij ∂i Alk ∂j ∧ ∂l ∧ ∂k (dxm , dxn , dxp ) i,j l,k = − XX Aiσ(m) ∂i Aσ(n)σ(p) ∂σ(m) ∧ ∂σ(n) ∧ ∂σ(p) (dxm , dxn , dxp ) i σ∈S = XX sgσAσ(m)j ∂j Aσ(n)σ(p) , j σ∈S où S est le groupe des permutations de {m, n, p} et où sgσ désigne la signature de σ. Ceci établit que Q1 = Q2 . On montre les autres relations de la même manière. Maintenant, en utilisant le fait que Aij = −Aji , on peut vérifier facilement que XX Aσ(m)j ∂j Aσ(n)σ(p) sgσ = 2 X (Amj ∂j Anp + Anj ∂j Apm + Apj ∂j Amn ) . j j σ∈S On déduit alors que [A, A](dxm , dxn , dxp ) = 8 X (Amj ∂j Anp + Anj ∂j Apm + Apj ∂j Amn ) . j D’un autre côté, on a {xm , {xn , xp }} = A(dxm , d{xn , xp }) = 2A(dxm , dAnp ) X = 2 Aij ∂i ∧ ∂j (dxm , dAnp ) i,j = 4 X Amj ∂j Anp . j 8 (13) Puisque AJ (dxm , dxn , dxp ) = J(xm , xn , xp ), on déduit que [A, A](dxm , dxn , dxp ) = 2AJ (dxm , dxn , dxp ), ce qui établit la formule souhaitée.2 Remarque 2.1 Dans la preuve de Proposition 2.3 formule (13), nous avons établit que si A est un champ de bivecteur qui s’écrit A= X Aij ∂i ∧ ∂j i<j dans un système de coordonnées (x1 , . . . , xd ), le crochet de Schouten-Nijenhuis [A, A] s’écrit [A, A] = 2 X X m<n<p (Amj ∂j Anp + Anj ∂j Apm + Apj ∂j Amn ) ∂m ∧ ∂n ∧ ∂p . j (14) Exercice 2.1 Pour tout champ de multivecteur Q sur une variété M , on notera { , }Q le crochet de Leibniz associé. Exprimer { , }[Q1 ,Q2 ] en fonction de { , }Q1 et { , }Q2 . 3 Définition d’une structure de Poisson et premières propriétés Dans cette section, nous allons donner deux définitions équivalentes d’une structure de Poisson, fixer certaines notations et donner quelques exemples. Définition 3.1 Une structure de Poisson sur une variété lisse M est la donnée d’un crochet de Leibniz d’ordre 2 sur M dont le Jacobiateur est nul, c’est-à-dire, la donnée de { , } : C ∞ (M ) × C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ) (f, g) 7→ {f, g} tel que 9 1. { , } est IR-bilinéaire alterné; 2. { , } vérifie la règle de Leibniz {f g, h} = f {g, h} + g{f, h}, f, g, h ∈ C ∞ (M ); 3. { , } vérifie l’identité de Jacobi {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0, f, g, h ∈ C ∞ (M ). En combinant les propositions 2.1-2.3, on obtient une autre définition équivalente d’une structure de Poisson. Théorème 3.1 La donnée d’une structure de Poisson sur une variété lisse M est équivalente à la donnée d’un champ de bivecteur π ∈ X 2 (M ) tel que [π, π] = 0. Un tel champ de bivecteur est dit de Poisson. Proposition 3.1 Un champ de bivecteur exprimé dans un système de coordonnées (x1 , . . . , xd ) par X π= πij ∂i ∧ ∂j , i<j où πij = {xi , xj } = π(dxi , dxj ), est de Poisson si et seulement si d X (πmj ∂j πnp + πnj ∂j πpn + πpj ∂j πmn ) = 0 (15) j=1 pour tout 1 ≤ m < n < p ≤ d. Preuve. C’est une conséquence immédiate de (14).2 Exemple 3.1 1. Soit ((aij )1≤i,j≤n une matrice anti-symétrique à coefficients réels. Alors le champ de bivecteur sur IRn donné par π= X i,j est de Poisson en vertu de (15). 10 aij ∂i ∧ ∂j 2. Soit X1 , . . . , Xn une famille de champs de vecteur sur une variété M qui commute deux à deux et soit ((aij )1≤i,j≤n une matrice anti-symétrique à coefficients réels. Alors le champ de bivecteur sur M donné par π= X aij Xi ∧ Xj i,j est de Poisson. puisque le crochet de Shouten-Nijenhuis [π, π] est nul. Soit (M, π) une variété de Poisson et soit (x1 , . . . , xd ) un système de coordonnées et X π= πij ∂i ∧ ∂j . i<j Le crochet de Poisson de deux fonctions f et g est donné par {f, g} = π(df, dg) soit, localement {f, g} = X πij (∂i f ∂j g − ∂i g∂j f ) . (16) i<j Le champ de vecteur Xf défini par Xf (g) = {f, g} est appelé champ hamiltonien associé à f et, localement, Xf s’écrit Xf = d X d X j=1 i=1 ! πij ∂i f ∂j . (17) Un calcul direct utilisant les propriétés du crochet de Schouten-Nijenhuis donne Xf = −[π, f ] = −[f, π]. (18) Le champ de bivecteur π définit un morphisme fibré, appelé application d’ancrage, π# : T ∗ M −→ T M par β(π# (α)) = −α(π# (β)) = π(α, β), 11 α, β ∈ T ∗ M. Noter que Xf = π# (df ). On a, pour tout 1 ≤ i ≤ d, π# (dxi ) = d X πij ∂j . (19) j=1 Le rang de l’application linéaire π# (p) : Tp∗ M −→ Tp M est appelé rang de π au point p ∈ M . En vertu de (19), c’est le rang de la matrice anti-symétrique (πij (p))1≤i≤j≤d et il est donc pair. Notons U1 l’ouvert de M sur lequel le rang est maximal. La restriction de π à l’ouvert M \ U 1 est un champ de bivecteur de Poisson et soit U2 l’ouvert de M \ U 1 où le rang est maximal. En reitérant ce processus, on construit ainsi une famille fini d’ouverts U1 , U1 , . . . , Ur tels que sur chaque Ui le rang F de π est constant et tel que l’ouvert M reg = ri=1 Ui est un ouvert dense de M . M reg sera appelé l’ouvert régulier de π et c’est l’ensemble des points où le rang est localement constant. Les éléments de M reg sont appelés points réguliers de π. Les points de M \ M reg sont dits points singuliers. Attention, il peut y a voir des points réguliers où π est nul. Exemple 3.2 Soit φ : IR −→ IR vérifiant φ(x) = 0 sur [0, 1] et strictement positif ailleurs. Considérons le champ de bivecteur sur IR2 défini par π = φ(x2 + y 2 ) ∂ ∂ ∧ . ∂x ∂y Le crochet de Schouten-Nijenhuis [π, π] est un champ de multivecteur d’ordre 3 et donc il est identiquement nul. Ainsi π est de Poisson. On a M reg = {(x, y) ∈ IR2 /x2 + y 2 > 1} ∪ {(x, y) ∈ IR2 /x2 + y 2 < 1}. Les points de {(x, y) ∈ IR2 /x2 + y 2 = 1} sont des points réguliers où π est nul. Soient (M1 , { , }1 ) et (M2 , { , }2 ) deux variétés de Poisson et φ : M1 −→ M2 une application. φ est un morphisme de Poisson si φ∗ : C ∞ (M2 ) −→ C ∞ (M1 ) est un morphisme d’algèbres de Lie, c’est-à-dire, {φ∗ f, φ∗ g}1 = φ∗ {f, g}2 12 ∀f, g ∈ C ∞ (M2 ). En notant, π1 et π2 les champs de bivecteur associés, respectivement, à { , }1 et { , }2 , on a {φ∗ f, φ∗ g}1 = π1 (dφ∗ f, dφ∗ g) = π1 (φ∗ (df ), φ∗ (dg)) = (φ∗ π1 )(df, dg). Ainsi, d’une manière équivalente, φ est un morphisme de Poisson si (φ∗ π1 ) = π2 ◦ φ. Un champ de vecteurs X sur une variété de Poisson (M, π) est dit champ de Poisson si son flot présèrve π, c’est-à-dire, [X, π] = 0. Proposition 3.2 Soit (M, π) une variété de Poisson. Alors: 1. Tout champ de vecteurs hamiltonien est un champ de Poisson. 2. Pour tout couple de fonctions f, g et tout champ de Poisson Y , on a [Xf , Xg ] = X{f,g} , [Y, Xf ] = XY (f ) . (20) (21) Preuve. 1. D’après (11), on a −[π, [π, f ]] − [π, [f, π]] − [f, [π, π]] = 0. Puisque [π, f ] = [f, π] et [π, π] = 0, on déduit que 2[π, [π, f ]] = 0. Or d’après (18), on a Xf = −[π, f ] et on déduit donc que [Xf , π] = 0. 13 2. La première relation est équivalente à l’identité de Jacobi pour le crochet de Poisson et la deuxième est une conséquence de l’identité de Jacobi graduée et du fait que [Y, π] = 0. En effet, soit h une fonction. On a Xf (Xg (h)) − Xg (Xf (h)) Xf ({g, h}) − Xg ({f, h}) {f, {g, h}} + {g, {h, f }} {{f, g}, h} = X{f,g} (h). [Xf , Xg ](h) = = = = D’un autre côté, d’après l’identité de Jacobi graduée, [π, [f, Y ]] − [f, [Y, π]] + [Y, [π, f ]] = 0. (18) Or [Y, π] = 0, [π, [f, Y ]] = −[π, Y (f )] = XY (f ) et on déduit donc que [Y, Xf ] = XY (f ) . 2 Nous allons maintenant voir le cas de la dimension 2 où la situation locale est relativement simple. Soit M une surface et soit π un champ de bivecteur sur M . Le crochet de Schouten-Nijenhuis [π, π] qui est un champ de multivecteur d’ordre 3 est identiquement nul. Ainsi tout champ de bivecteur π sur M définit une structure de Poisson. Localement π s’écrit π = π12 ∂ ∂ ∧ . ∂x ∂y Soit p un point dans le domaine de (x, y). On a alors trois cas. 1. Le rang de π en p est 2 et p est nécessairement régulier. On peut alors prendre πij non nul partout. En posant q = x et p(x, y) = Z y 0 on a ∂q ∂x ∂p ∂x ∂q ∂y ∂p ∂y = 1 ∂p ∂x 14 0 1 π12 1 dv, π12 (u, v) = 1 6= 0 π12 et donc (q, p) est un système de coordonnées. D’un autre côté, d’après (16) ! ∂q ∂p ∂q ∂p {q, p} = π12 − = 1. ∂x ∂y ∂y ∂x Donc dans le nouveau système de coordonnées (p, q), π s’écrit π= ∂ ∂ ∧ . ∂q ∂p 2. Le rang de π en p est nul et π est un point régulier. Dans ce cas π est nul au voisinage de p. 3. Le rang de π en p est nul et π est un point singulier. Dans ce cas, au voisinage de p, ∂ ∂ ∧ π = π12 ∂x ∂y avec π12 une fonction non nulle et π12 (p) = 0. En écrivant le développement de Taylor de π12 au voisinage de p, on obtient π12 (x, y) = ax + by + R(x, y) ∂ avec a = ∂π∂x12 (p) et b = ∂y (p). Ainsi π = π1 + R avec π1 linéaire. On peut alors se poser le problème de la linéaraisation de π, c’est-à-dire, existe t-il un système de coordonées (u, v) tel que π = (αu + βv) ∂ ∂ ∧ , ∂u ∂v où α et β sont des constantes réels? La réponse à cette question est oui si dp π12 6= 0. En effet, supposons, par exemple, que ∂π∂x12 (p) 6= 0 et posons f = ∂π∂x12 . Cette fonction ne s’annule pas sur un voisinage de p. Dans un premier temps, on pose u1 = π12 et v1 = y et on obtient un système de coordonnées avec {u1 , v1 } = π12 f . Ainsi, dans (u1 , v1 ), π s’écrit π = u1 f 15 ∂ ∂ ∧ . ∂u1 ∂v1 Dans un deuxième temps, on pose u = u1 et v = f1 dv1 et on obtient un nouveau système de coordonnées et {u, v} = u1 = u et ainsi, dans (u, v), ∂ ∂ π=u ∧ . ∂u ∂v R On va finir cette section par un exemple. Exemple 3.3 Soit f une fonction lisse sur IR3 . On définit le champ de bivecteur πf par πf = ∂f ∂ ∂ ∂f ∂ ∂ ∂f ∂ ∂ ∧ + ∧ + ∧ . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Pour montrer que π est de Poisson, il faut vérifier (15) avec π12 = ∂f , ∂z π13 = − ∂f ∂y et π23 = ∂f . ∂x Désignons par ∂1 la dérivée par rapport à x etc... Dans ces conditions, (15) équivaut , après un petit aménagement, à π12 (∂2 π23 − ∂1 π31 ) + π13 (∂3 π23 − ∂1 π12 ) + π23 (∂3 π31 − ∂2 π12 ) = 0. Or ∂f ∂f − = 0, ∂y∂x ∂x∂y ∂f ∂f = − = 0, ∂z∂x ∂x∂z ∂f ∂f = − = 0. ∂z∂y ∂y∂z ∂2 π23 − ∂1 π31 = ∂3 π23 − ∂1 π12 ∂3 π31 − ∂2 π12 Ainsi πf est de Poisson et l’ouvert régulier de πf est la réunion de deux ouverts U1 et U2 . U1 est l’ensemble des points p ∈ IR3 tel que dp f 6= 0 et U2 est l’ouvert où f localement constante. Exercice 3.1 Montrer que le champ de bivecteur ∂x ∧ (∂y + x∂z ) sur IR3 n’est pas de Poisson. Exercice 3.2 Reprendre le tensor de Poisson défini dans l’exemple 3.3. Montrer que Xf = 0. 16 4 Théorème de Darboux-Weinstein et feuilletage symplectique Théorème 4.1 Soit (M, π) une variété de Poisson et soit p ∈ M où le rang de π est 2r. Alors il existe un système de coordonnées (q1 , . . . , qr , p1 , . . . , pr , y1 , . . . , yl ) centré en p et tel que π= r X X ∂ ∂ ∂ ∂ ∧ + ∧ , πij (y1 , . . . , yl ) ∂pi i<j ∂yi ∂yj i=1 ∂qi avec πij (p) = 0 pour i, j = 1, . . . , l. Ces coordonnées sont appelées coordonnées de Darboux-Weinstein. Preuve. Nous allons démontrer le théorème par réccurence sur r = 12 rangπ(p). Si r = 0 le théorème est trivialement vérifié. Supposons que le théorème est vrai jusqu’au r − 1 ≥ 0 et démontrons le quand le rang de p égal à 2r. Puisque π(p) n’est pas nul, il existe deux fonctions f et g telles que {f, g}(p) 6= 0. Posons q1 = f. On a Xq1 (g)(p) = {f, g}(p) 6= 0. Ainsi Xq1 (p) 6= 0 et, d’après le théorème du redressement des champs de vecteur, il existe un système de coordonnées (u1 , . . . , ud ) centré en p tel que Xq1 = ∂u∂ 1 . Posons p1 = u1 . On a ∂p1 = 1. ∂u1 Maintenant, les champs de vecteurs Xq1 et Xp1 sont linéairement indépendants au voisinage de p et vérifient [Xq1 , Xp1 ] = 0. Pour la première affirmation, supposons qu’il existe deux fonctions a et b telles que {q1 , p1 } = Xq1 (p1 ) = aXq1 + bXp1 = 0. 17 En appliquant cette relation respectivement aux fonctions q1 et p1 , on obtient b{p1 , q1 } = −b = 0 et a{q1 , p1 } = a = 0 soit a = b = 0. Pour la deuxième affirmation, on a, d’après (20), [Xq1 , Xp1 ] = X{q1 ,p1 } = 0. Ces deux affirmations étant maintenant vérfiées, il existe, d’après le théorème de Frobenius, un système de coordonnées (u, v, x1 , . . . , xn−2 ) sur un ouvert U contenant p et tel que Xq1 = ∂ ∂u et Xp1 = ∂ . ∂v Noter que, pour tout 1 ≤ i ≤ n − 2, Xq1 (xi ) = Xp1 (xi ) = 0 et que (q1 , p1 , x1 , . . . , xn−2 ) est un système de coordonnées sur U . Définissons φ : U −→ IRn−2 par φ = (x1 , . . . , xn−2 ). Puisque dx1 , . . . , dxn−2 sont linéairement indépendants, φ réalise une submersion surjective de U sur un ouvert Ū de IRn−2 et en plus Kerdφ = V ect{Xq1 , Xp1 }. Nous allons maintenant montrer que la structure de Poisson π se projette en une structure de Poisson π̄ sur Ū . Pour cela, nous allons vérifier que si deux fonctions f, g sur U sont constantes sur les fibres de φ, c’est-à-dire, que Xq1 (f ) = Xp1 (f ) = 0 et Xq1 (g) = Xp1 (g) = 0 alors leur crochet {f, g} est constant sur les fibres de φ, c’est-à-dire, Xq1 ({f, g}) = Xp1 ({f, g}) = 0. Or, d’après l’identité de Jacobi, on a Xq1 ({f, g}) = {q1 , {f, g}} = {f, Xq1 (g)} − {g, Xq1 (f )}. Cette relation et la relation analogue avec Xp1 permet de prouver ce qui a été affirmé. Ainsi, la relation {f¯, ḡ}(φ(m)) = {f ◦ φ, g ◦ φ}(m), (∗) où m ∈ M et f¯ et ḡ sont des fonctions sur Ū , permet de définir un crochet de Poisson sur Ū et donc un champ de bivecteur de Poisson π̄. Nous allons 18 montrer maintenant que le rang de π̄ en φ(m) est égale à 2(r−1) pour pouvoir appliquer l’hypothèse de récurrence. En effet, dans (q1 , p1 , x1 , . . . , xn−2 ) la matrice de π# (p) est donnée par 0 1 −1 0 0 ({xi , xj }(p))1≤i≤j≤n−2 0 , alors que, d’après (∗), la matrice de π̄# en φ(p) dans les coordonnées canoniques de Ū est justement ({xi , xj }(p))1≤i≤j≤n−2 . Ceci montre que le rang de π̄ en φ(p) est 2(r − 1). D’après l’hypothèse de récurrence il existe un système de coordonnées (q̄2 , p̄2 , . . . , q̄r−1 , p̄r−1 , ȳ1 , . . . , ȳl ) tel que {q̄i , q̄j } = {p̄i , p̄j } = 0, {q̄i , p̄j } = δij et {ȳi , ȳj }(φ(m)) = 0 et les crochets {ȳi , ȳj } ne dépendant que de (ȳ1 , . . . , ȳl ). En posant qi = q̄i ◦ φ, pi = p̄i ◦ φ pour i = 2, . . . , r − 1 et yi = ȳi ◦ φ pour i = 1, . . . l on obtient le système de coordonnées souhaité.2 Ce théorème admet deux corollaires importants. Corollaire 4.1 Soit (M, π) une variété de Poisson et soit p ∈ M un point régulier où le rang de π est 2r. Alors il existe un système de coordonnées (q1 , . . . , qr , p1 , . . . , pr , y1 , . . . , yl ) centré en p et tel que π= r X ∂ ∂ ∧ . ∂pi i=1 ∂qi Un cas particulier important est le cas où le rang du champ de bivecteur de Poisson est égale à la dimension de la variété. Soit (M, π) une variété de Poisson telle que le rang de π est égale à la dimension de M partout. Alors π# : T ∗ M −→ T M est un isomorphisme fibré et on peut alors définir la 2-forme ω par −1 −1 ω(u, v) = π(π# (u), π# (v)). (22) On obtient ainsi une 2-forme différentielle non dégénérée par construction. D’un autre côté, si p ∈ M , il existe, d’après Corollaire 4.1, un système de 19 coordonnées (q1 , p1 , . . . , qd , pd ) tel que π= d X ∂ ∂ ∧ . ∂pi i=1 ∂qi Ainsi, pour i = 1, . . . , d, π# (dqi ) = ∂ ∂pi et π# (dpi ) = − ∂ . ∂qi (23) On déduit alors que ω= d X dqi ∧ dpi . (24) j=1 Cette relation montre que ω est localement exacte, c’est-à-dire, que c’est une 2-forme fermée. On a donc montré le résultat suivant. Proposition 4.1 Soit (M, π) une structure de Poisson telle que le rang de π est égale à la dimension de M partout. Alors la 2-forme ω définie par (22) est une forme symlectique. Inversement, étant donné une 2-forme symplectique ω sur une variété lisse M . L’application ω [ : T M −→ T ∗ M qui à v 7→ ω(v, .) est un isomorphisme fibré et on peut donc définir le champ de bivecteur π par −1 −1 π(α, β) = ω(ω [ (α), ω [ (β)). (25) Proposition 4.2 Soit (M, ω) une variété symplectique. Alors le champ de bivecteur π défini par (25) est de Poisson. Preuve. Nous allons montrer que l’identité de Jacobi pour le crochet de Poisson { , } associé à π est équivalente à la fermeture de ω. Notons que −1 π# = −ω [ et que le champ hamiltonien associé à une fonction f est donné −1 par Xf = −ω [ (df ). En appliquant la formule (3) à ω et Xf , Xg , Xh , on obtient dω(Xf , Xg , Xh ) = Xf (ω(Xg , Xh )) + Xg (ω(Xh , Xf )) + Xh (ω(Xf , Xg )) −ω([Xf , Xg ], Xh ) − ω([Xg , Xh ], Xf ) − ω([Xh , Xf ], Xg ) = Xf {g, h} + Xg {h, f } + Xh {f, g} 20 +[Xf , Xg ](h) + [Xg , Xh ](f ) + [Xh , Xf ](g) = {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} + Xf (Xg (h)) − Xg (Xf (h)) +Xg (Xh (f )) − Xh (Xg (f )) + Xh (Xf (g)) − Xf (Xh (g)) = 3 ({f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}}) . Ceci permet de conclure.2 Nous retrouvons le théorème classique de Darboux pour les formes symplectiques. Théorème 4.2 (Théorème de Darboux) Soit (M, ω) une variété symplectique de dimension 2r et soit p ∈ M . Alors il existe un système de coordonnées (q1 , p1 , . . . , qr , pr ) centré en p tel que ω= r X dqi ∧ dpi . j=1 Nous allons maintenant définir le feuilletage symplectique associé naturellement à une structure de Poisson. Pour commencer, nous allons rappeler la définition d’un feuilletage singulier sur une variété. Définition 4.1 Un feuilletage singulier au sens de Stefan-Sussmann sur une variété lisse M de dimension d est une partition F = {Fα }(α∈I) de M en sous-variétés immergées et connexes Fα , appelées feuilles, qui vérifie la propriété suivante: 1. pour tout point p ∈ M , si Fp est la feuille contenant p et r sa dimension, alors, il existe un système de coordonnées (y1 , . . . , yd ) sur un ouvert U contenant p tels que la composante connexe de U ∩ Fp contenant p est égale à {yr+1 = 0 . . . = yd = 0} et, pour toute famille de constantes (cr+1 , . . . , cd ), la sous-variété {yr+1 = cr+1 , . . . , yd = cd } est contenue dans une feuille Fα de F. Considérons maintenant une variété de Poisson (M, π). On dira que deux points p, q ∈ M sont en relation s’il existe une famille de fonctions f1 , . . . , fs sur M telle que q = φ1t1 ◦ . . . ◦ φsts (p), où φ1t1 , . . . , φsts sont, respectivement, les flots des champs hamiltoniens Xf1 , . . . , Xfs . On obtient ainsi une relation d’équivalence ∼ sur M et on notera (Sα )(α∈I) 21 la répartition de M en classes d’équivalence de ∼. D’après Proposition 3.1, les flots des champs hamiltoniens présérvent π et donc présérvent le rang de π. On en déduit que, pour tout α ∈ I, le rang de π est constant le long de Sα ; on notera 2rα la valeur commune du rang le long de Sα . Théorème 4.3 Soit (M, π) une variété de Poisson et soit (Sα )(α∈I) la répartition définie ci-dessus. Alors: 1. pour tout α ∈ I, Sα est une sous-variété immergée de M de dimension 2rα et, pour tout p ∈ Sα , Tp Sα = Imπ# (p); 2. pour tout α ∈ I, Sα admet une forme symplectique ωα telle que i : Sα ,→ M est un morphisme de Poisson; 3. (Sα )(α∈I) est un feuilletage singulier au sens de Stefan-Sussmann. Preuve. 1. Soit p ∈ Sα et et soient f1 , . . . , f2rα des fonctions sur M telles que les champs hamiltoniens Xf1 , . . . , Xf2rα soient linéarement indépendants en p et donc sur un ouvert U contenant p. De telles fonctions existent puisque le rang de π en p est 2rα . Notons φ1 , . . . , φ2rα les flots respectifs de Xf1 , . . . , Xf2rα et soit > 0 tel que φ1 , . . . , φ2rα soient définis sur ] − , [. On définit alors 2rα z }| { F :] − , [× . . . ×] − , [−→ M par α F (t1 , . . . , t2rα ) = φ1t1 ◦ . . . ◦ φ2r t2rα (p). Noter que F (0) = p et que, par construction, F prend ses valeurs dans Sα . D’un autre côté, pour tout i = 1, . . . , 2rα , T0 F (∂i ) = d φi (p) = Xfi (p). dt |t=0 t Ceci montre que T0 F est injective et donc, quitte à prendre un plus petit, F réalise est une immersion injective de ] − , [× . . . ×] − , [ vers M . Notons V l’image de F et F −1 : V −→] − , [× . . . ×] − , [ son inverse. On faisant varier p et les fonctions f1 , . . . , f2rα , on obtient 22 un recouvrement (Vµ )(µ∈J) de Sα et une famille d’applications Fµ−1 : Vµ −→ IR2rα . En munissant Sα de la topologie pour laquelle (Vµ )(µ∈J) est un recouvrement ouvert, on obtient un atlas de Sα . En utilisant le théorème du rang, on peut montrer que les changements de cartes sont différentiables et déduire que c’est un atlas différentiable et que l’inclusion i : Sα ,→ M est une immersion. Pour montrer que Tp Sα = π# (p), il suffit de remarquer que π# (p) = {Xf (p); f ∈ C ∞ (M )}. 2. Pour tout p ∈ Sα et pour tout u, v ∈ Tp Sα , posons ωα (u, v) = {f, g}(p), où Xf (p) = u et Xg (p) = v. Il est clair qu’on obtient sans ambiguité une 2-forme ωα ∈ Ω2 (Sα ). Montrons que ωα est non dégénérée, lisse et fermée. La non dégénérescence découle immédiatement de la définition de ωα . D’un autre côté, si X et Y sont deux champs de vecteur locaux tangents à Sα , il existe une famille de fonctions f1 , . . . , f2rα , g1 , . . . , g2rα , h1 , . . . , h2rα lisses sur M telle que 2rα X X=( 2rα X gi Xfi )|Sα et Y = ( hi Xfi )|Sα . i=1 i=1 Ainsi ωα (X, Y ) = ( X gi hj {fi , fj })|Sα , i,j ce qui montre que ωα est différentiable. La fermeture de ωα s’obtient par un calcul analogue à celui de la preuve de Proposition 4.2. 3. Soit p ∈ M et soit S la feuille passant par p. D’après le théorème de Darboux-Weinstein, il existe un système de coordonnées (q1 , . . . , qr , p1 , . . . , pr , y1 , . . . , yl ) centré en p et tel que π= r X X ∂ ∂ ∂ ∂ ∧ + πij ∧ , ∂pi i<j ∂yi ∂yj i=1 ∂qi 23 avec πij (0) = 0 et ∂πij ∂πij = = 0, ∂qk ∂pk pour k = 1, . . . , r et i, j = 1, . . . , l. Les champs de vecteurs ∂q∂1 , . . . , ∂q∂r , ∂p∂ 1 , . . . , ∂p∂ r sont tangents au feuilletage ({y1 = c1 , . . . , yl = cl })(c1 ,...,cl )∈IRl et ils sont tous hamiltoniens d’après (23). Donc chacune des feuilles du feuilletage est contenue dans une feuille symplectique. La feuille {y1 = 0, . . . , yl = 0} passe par p et elle est dimension 2r donc elle est égale à la trace de la feuille symplectique passant p sur le domaine des coordonnées. 2 Exemple 4.1 Reprenons le champ de bivecteur πf défini dans Exemple 3.3. πf = ∂ ∂f ∂ ∂ ∂f ∂ ∂ ∂f ∂ ∧ + ∧ + ∧ . ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y Nous avons vu que πf est de Poisson. Remarquons que Xf = 0 et donc pour toute fonction g sur IR3 Xg (f ) = 0. Ainsi, pour toute valeur régulière c de f , les composantes connexes de f −1 (c) sont des feuilles symplectiques pour πf . 5 Algébroides de Poisson Soit (M, π) une variété de Poisson. Le crochet de Koszul associé à π est le crochet [ , ]π défini sur Ω1 (M ) par [α, β]π = Lπ# (α) β − Lπ# (β) α − dπ(α, β), α, β ∈ Ω1 (M ). (26) Proposition 5.1 Soit (M, π) une variété de Poisson. Alors le crochet de Koszul vérifie les propriétés suivantes: 1. [ , ]π est IR-bilinéaire anti-symétrique et [df, dg]π = d{f, g} pour tout f, g ∈ C ∞ (M ). 2. [α, f β]π = π# (α)(f )β + f [α, β]π , α, β ∈ Ω1 (M ) et f ∈ C ∞ (M ). 3. π# ([α, β]π ) = [π# (α), π# (β)]. 24 4. [ , ]π vérifie l’identité de Jacobi, c’est-à-dire, [[α, β]π , γ]π + [[β, γ]π , α]π + [[γ, α]π , β]π = 0. Preuve. 1. La première assertion est évidente, pour la deuxième, on a [df, dg]π = Lπ# (df ) dg − Lπ# (dg) df − dπ(df, dg) = dπ# (df )(g) − dπ# (dg)(f ) − d{f, g} = d{f, g} − d{g, f } − d{f, g} = d{f, g}. 2. Un calcul simple montre que Lπ# (f β) α = f Lπ# (β) α − π(α, β)df. On a alors [α, f β]π = Lπ# (α) f β − Lπ# (f β) α − dπ(α, f β) = π# (α)(f )β + f Lπ# (α) β − f Lπ# (β) α + π(α, β)df − f dπ(α, β) − π(α, β)df = π# (α)(f )β + f [α, β]π . 3. Commençons par remarquer que, en vertu de Proposition 3.1, pour toute fonction f , [Xf , π] = 0. Ainsi 0 = [Xf , π](α, β) = Xf .π(α, β) − π(LXf α, β) − π(α, LXf β) = Xf .π(α, β) + LXf α(π# (β)) − LXf β(π# (α)) = Xf .π(α, β) − Xf .π(α, β) − α([Xf , π# (β)]) −Xf .π(α, β) + β([Xf , π# (α)]) = −α([Xf , π# (β)]) − Xf .π(α, β) + β([Xf , π# (α)]). On en déduit que Xf .π(α, β) + α([Xf , π# (β)]) − β([Xf , π# (α)]) = 0. (∗) Maintenant π# ([α, β]π ) (f ) = = = = π([α, β]π , df ) π(Lπ# (α) β, df ) − π(Lπ# (β) α, df ) − π(dπ(α, β), df ) −Lπ# (α) β(Xf ) + Lπ# (β) α(Xf ) + Xf .π(α, β) −π# (α).β(Xf ) − β([Xf , π# (α)]) + π# (β).α(Xf ) + α([Xf , π# (β)]) +Xf .π(α, β) (∗) = π# (α).π# (β)(f ) − π# (β).π# (α)(f ) = [π# (α), π# (β)](f ), 25 ce qui établie la relation souhaitée. 4. On a π([α, β]π , γ) = π(Lπ# (α) β, γ) − π(Lπ# (β) α, γ) − π(dπ(α, β), γ) = −Lπ# (α) β(π# (γ)) + Lπ# (β) α(π# (γ)) + π# (γ).π(α, β) = π# (α).π(β, γ) − β([π# (γ), π# (α)]) + π# (β).π(γ, α) −α([π# (β), π# (γ)] + π# (γ).π(α, β) 1 = π# (α).π(β, γ) + π# (β).π(γ, α) + π# (γ).π(α, β) −β(π# ([γ, α]π )) − α(π# ([β, γ]π )) = π# (α).π(β, γ) + π# (β).π(γ, α) + π# (γ).π(α, β) −π([γ, α]π , β) − π([β, γ]π , α). On en déduit que I où H π([α, β]π , γ) = I π# (α).π(β, γ), (27) désigne la somme circulaire. Maintenant [[α, β]π , γ]π = Lπ# ([α,β]π ) γ − Lπ# (γ) Lπ# (α) β − Lπ# (β) α − dπ(α, β) −dπ([α, β]π , γ) = Lπ# (α) Lπ# (β) γ − Lπ# (β) Lπ# (α) γ − Lπ# (γ) Lπ# (α) β + Lπ# (γ) Lπ# (β) α −d (π([α, β]π , γ) − π# (γ).π(α, β)) . Un calcul simple utilisant (27) permettra de montrer que I 2 [[α, β]π , γ]π = 0. Soit (M, π) une variété de Poisson. Le crochet de Koszul et l’application d’ancrage permettent de définir, pour tout 0 ≤ q ≤ d, une différentielle dπ : X q (M ) −→ X q+1 (M ), et ce en copiant la formule (3) donnant la différentielle usuelles sur les formes, c’est-à-dire, pour Q ∈ X q (M ) et α1 , . . . , αq+1 ∈ Ω1 (M ), dπ Q(α1 , . . . , αq+1 ) = q+1 X (−1)j−1 π# (αj ).Q(α1 , . . . , α̂j , . . . , αq+1 ) (28) j=1 + X (−1)i+j Q([αi , αj ]π , α1 , . . . , α̂i , . . . , α̂j , . . . , αq+1 ). i<j 26 Proposition 5.2 1. Pour tout Q ∈ X (M ), dπ Q = −[π, Q]. (29) 2. dπ ◦ dπ = 0. Preuve. 1. De la même manière que dans le cas de la différentielle usuelle, on vérifie que dπ (Q ∧ R) = dπ Q ∧ R + (−1)degQ Q ∧ dπ Q. (30) D’un autre côté, si f est une fonction sur M , on a, pour tout α ∈ Ω1 (M ), dπ f (α) = π# (α)(f ) = π(α, df ) = −α(Xf ). Ainsi dπ f = −Xf . (31) En plus, dπ est uniquement déterminée par les relations (30) et (31), c’est-à-dire, que si une autre application de X (M ) vers X (M ) vérifie ces deux relations elle coincide avec dπ . Nous allons vérfier que l’application X (M ) −→ X (M ) qui à Q 7→ −[π, Q] vérifie les relations (30) et (31). En effet, d’après Théorème 2.1 3, on a [π, Q∧R] = [π, Q]∧R+(−1)(2−1)degQ Q∧[π, R] = [π, Q]∧R+(−1)degQ Q∧[π, R]. La formule (31) est vérifiée par −[π, .] en vertu de (18). On déduit donc dπ Q = −[π, Q]. 2. En utilisant l’identité de Jacobi graduée (cf. Théorème 2.1) et le fait que [π, π] = 0, on peut montrer aisément que dπ ◦ dπ = 0. 2 27 Les espaces de cohomologie Hπq (M ) = Kerdπ Imdπ sont appelés espaces de cohomologie de Poisson. Noter que Hπ0 (M ) est l’espace des fonctions f telles que Xf = 0, ce sont les fonctions qui sont constantes sur le feuilles appelées fonctions de Casimir. Hπ0 (M ) c’est aussi le centre de l’algèbre de Lie C ∞ (M ) munie du crochet de Poisson. L’espace Hπ1 (M ) est le quotient de l’espace des champs de Poisson par les champs hamiltoniens. Noter aussi que dπ π = 0 en vertu de (27) ou en vertu du fait que [π, π] = 0. D’une façon analogue à la manière dont a été défini le crochet de SchoutenNijenhuis, le corchet de Koszul se prolonge en un crochet sur Ω(M ). D’un autre côté, l’application d’ancrage s’étend en une application π# : Ω(M ) −→ X (M ) qui est un morphisme d’algèbres de Lie graduée et qui commute avec les différentielles d et dπ . C’est la structure d’algèbroide de Poisson. 6 Unimodularité des structures de Poisson Soit (M, π) une variété différentiable orientable et µ une forme volume sur M . Rappelons que la divergence d’un champ de vecteur X par rapport à µ est la fonction divµ X définie par LX µ = (divµ X)µ. De la formule L[X,Y ] µ = LX ◦ LY µ − LY ◦ LX µ, on déduit aisément que divµ ([X, Y ]) = X(divµ Y ) − Y (divµ X), (32) et de la formule Lf X µ = X(f )µ + f LX µ, on déduit que divµ (f X) = X(f ) + f divµ X. D’un autre côté, si f > 0, on a LX (f µ) = X(f )µ + f LX µ X(f ) f µ + f divµ Xµ = f = (X(ln f ) + divµ X) f µ. 28 (33) On déduit alors que divf µ X = X(ln f ) + divµ X. (34) Pour toute fonction f sur M , posons Xµ (f ) = divµ Xf . Proposition 6.1 1. Xµ est un champ de Poisson sur M . 2. Pour toute fonction f > 0, on a Xf µ = −Xln f + Xµ . (35) Preuve. 1. Nous allons montrer que Xµ est une dérivation. En effet, pour f, g ∈ C ∞ (M ), Xµ (f g) = (33) = = = divµ (Xf g ) = divµ (f Xg + gXf ) Xg (f ) + f Xµ (g) + Xf (g) + gXµ (f ) {g, f } + {f, g} + f Xµ (g) + gXµ (f ) f Xµ (g) + gXµ (f ). D’un autre côté, Xµ ({f, g}) = (20) = (32) = = divµ (X{f,g} ) divµ ([Xf , Xg ]) Xf (Xµ (g)) − Xg (Xµ (f )) {f, Xµ (g)} + {Xµ (f ), g}, ce qui montre que Xµ est un champ de Poisson. 2. On a Xf µ (g) = (34) = = divf µ (Xg ) Xg (ln f ) + Xµ (g) −Xln f (g) + Xµ (g), ce qui permet de conclure.2 29 En vertu de (35), dans la cohomologie de Poisson, la classe de cohomologie de Xµ ne dépend pas du volume choisi et définit donc une classe M ∈ Hπ1 (M ) appelée classe modulaire de π. La structure de Poisson est dite unimodulaire si M = 0. Proposition 6.2 Soit (M, π) une variété de Poisson orientable. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes. 1. (M, π) est unimodulaire. 2. Il existe une forme volume µ sur M telle que, pour tout f ∈ C ∞ (M ), LXf µ = 0. Preuve. Il est clair que 2 entraı̂ne 1. Supposons maintenant que M = 0 et soit µ une forme volume quelconque. Il existe donc une fonction f telle que Xµ = Xf . D’après (35), on a Xef µ = −Xf + Xµ = 0 et donc la forme volume ef µ vérifie la propriété requise.2 Noter que toute variété symlectique (M, ω) est unimodulaire puisque la forme dim M volume ∧ 2 ω est invariante par les champs hamiltoniens. Proposition 6.3 Une structure de Poisson non nulle sur une variété de dimension 2 est unimodulaire si et seulement si elle est symplectique. Preuve. Supposons que π est une structure de Poisson unimodulaire sur une variété de Poisson de dimension 2 et soit µ une forme volume invariante par les champs hamiltoniens. µ est symplectique et soit µ∗ le tenseur de Poisson associé. Il existe donc une fonction f telle que π = f µ∗ . On a alors, pour toute fonction g ∈ C ∞ (M ), on a 0 = LXg π = LXg (f µ∗ ) = Xg (f ). Ainsi, f est une fonction de Casimir. Pour tout point régulier p de π, on a dp f = 0 et donc df = 0 partout. Ainsi f est constante et puisque π est non nul alors π est symplectique.2 30 Proposition 6.4 Soient M une variété de dimension 3, µ une forme volume sur M et α une 1-forme fermée sur M . Alors la relation iπ µ = α définit un champ de bivecteur de Poisson unimodulaire sur M . Preuve. On se place dans un ouvert domaine d’un système de coordonnées (x, y, z). On a alors µ = φdx ∧ dy ∧ dz, α = αx dx + αy dy + αz dy. Un calcul direct utilisant la relation iπ µ = α donne π = φ−1 (αz ∂x ∧ ∂y + αy ∂z ∧ ∂x + αx ∂y ∧ ∂z ) . Pour montrer que π est de Poisson, il suffit de vérifier (15) avec π12 = φ−1 αz , π13 = −φ−1 αy et π23 = φ−1 αx . Or (15) équivaut à π12 (∂y π23 − ∂x π31 ) + π13 (∂z π23 − ∂x π12 ) + π23 (∂z π31 − ∂y π12 ) = 0. Maintenant π12 (∂y π23 − ∂x π31 ) = φ−2 αz (∂y αx − ∂x αy ) + φ−1 αz αx ∂y φ−1 − αy ∂x φ−1 π13 (∂z π23 − ∂x π12 ) = φ−2 αy (∂x αz − ∂z αx ) + φ−1 αy αz ∂x φ−1 − αx ∂z φ−1 π23 (∂z π31 − ∂y π12 ) = φ−2 αx (∂z αy − ∂y αz ) + φ−1 αx αy ∂z φ−1 − αz ∂y φ−1 La somme de ces trois termes est nulle puisque dα = 0 équivaut à ∂y αx − ∂x αy = ∂x αz − ∂z αx = ∂z αy − ∂y αz = 0. Donc π est un champ de bivecteur de Poisson. Nous allons maintenant montrer que pour toute fonction f , LXf µ = 0. On a, d’après (17), Xf = φ−1 ((αy ∂z f − αz ∂y f )∂x + (αz ∂x f − αx ∂z f )∂y + (αx ∂y f − αy ∂x f )∂z ) . 31 On a φdivµ Xf = LXf µ(∂x , ∂y , ∂z ) = Xf .φ − µ([Xf , ∂x ], ∂y , ∂z ) − µ(∂x , [Xf , ∂y ], ∂z ) − µ(∂x , ∂y , [Xf , ∂z ]) = Xf .φ + φ(∂x (Xfx ) + ∂y (Xfy ) + ∂z (Xfz )), où Xfx , Xfy , Xfz sont les composantes de Xf . On a φ∂x (Xfx ) = (αy ∂z f − αz ∂y f )φ∂x φ−1 + ∂x αy ∂z f − ∂x αz ∂y f + αy ∂xz f − αz ∂xy f, φ∂y (Xfy ) = (αz ∂x f − αx ∂z f )φ∂y φ−1 + ∂y αz ∂x f − ∂y αx ∂z f + αz ∂xy f − αx ∂yz f, φ∂z (Xfz ) = (αx ∂y f − αy ∂x f )φ∂z φ−1 + ∂z αx ∂y f − ∂z αy ∂x f + αx ∂yz f − αy ∂xz f. On obtient donc φdivµ Xf = (αy ∂z f − αz ∂y f )∂x (φφ−1 ) + (αz ∂x f − αx ∂z f )∂y (φφ−1 ) + (αx ∂y f − αy ∂x f )∂z (φφ−1 +(∂x αy − ∂y αx )∂z f + (∂y αz − ∂z αy )∂x f + (∂z αx − ∂x αy )∂y f = 0.2 7 Structures de Poisson linéaires Soit V un IR-espace vectoriel de dimension finie n. Une structure de Poisson sur V est dite linéaire si le crochet de deux formes linéaires sur V est une forme linéaire sur V . Ainsi V ∗ munie du crochet de Poisson devient une algèbre de Lie de dimension finie. Inversement, soit (G, [ , ]) une algèbre de Lie réelle de dimension finie n. L’espace G ∗∗ bidual de G s’identifie naturellement à G et hérite donc d’une structure d’algèbre de Lie dont le crochet sera noté de la même manière que celui de G. On obtient ainsi un crochet sur les formes linéaires de G ∗ qui se prolonge à tout C ∞ (G ∗ ) de la manière suivante. Pour tout couple f, g ∈ C ∞ (G ∗ ) le crochet {f, g} est définie par {f, g}(α) =< α, [dα f , dα g] >, α ∈ G ∗. Proposition 7.1 Le crochet définit ci-dessus munit G ∗ d’une structure de Poisson linéaire appelée structure de Lie-Poisson associée à (G, [ , ]). 32 Preuve. Si f et g sont deux fonctions linéaires sur G ∗ , c’est-à-dire, deux éléments de G ∗∗ , alors, pour tout α ∈ G ∗ , dα f = f et dα g = g et donc {f, g}(α) =< α, [f, g] > et il est claire alors que {f, g} ∈ G ∗∗ . D’un autre côté, le crochet { , } est anti-symétrique et IR-bilinéaire et vérifie la règle de Leibniz. Nous allons montrer maintenant qu’il vérifie l’identité de Jacobi. L’identité de Jacobi pour un crochet de Leibniz étant une propriété locale, nous allons la vérifier pour un système de coordonnées. Choisissons une base (e1 , . . . , en ) de G ∗ . Sa base duale (e∗1 , . . . , e∗n ) définit un système de coordonnées globale sur G ∗ et pour tout i, j = 1, . . . , n, on a vu que {e∗i , e∗j } ∈ G ∗∗ . D’un autre côté, par définition, {e∗i , e∗j } = [e∗i , e∗j ] et l’identité de Jacobi pour { , } est l’identié de Jacobi de [ , ].2 Nous allons maintenant étudier plus en détail la structure de Lie-Poisson sur le dual d’une algèbre de Lie. Soit G un groupe de Lie connexe et G = Te G son algèbre de Lie. La représentation adjointe de G dans G est l’endomorphisme de goupes Ad : G −→ GL(G) défini par Adg u = d gexp(tu)g −1 , dt |t=0 g ∈ G, u ∈ G. Sa différentielle à l’élement neutre définit une répresentation ad : G −→ Gl(G) donnée par adu v = [u, v], u, v ∈ G. Par dualité, on obtient les reprséntations coadjointes respectivement de G et de G à savoir Ad∗ : G −→ GL(G ∗ ) 33 définie par Ad∗g α = Adg−1 α, g ∈ G, α ∈ G ∗ ; et ad∗ : G −→ Gl(G ∗ ) définie par ad∗u α(v) = α([u, v]), u, v ∈ G, α ∈ G ∗ . Pour tout α ∈ G ∗ , l’algèbre d’isotropie en α est la sous-algèbre de G définie par Gα = {u ∈ G, ad∗u α = 0}. Considèrons la structure de Lie-Poisson définie sur G ∗ . On notera π l le champ de bivecteur associé. Proposition 7.2 1. Pour tout u ∈ G, le champ hamiltonien de la fonction de G ∗ −→ IR qui à α 7→ α(u), noté Xu , est donnée par Xu (α) = ad∗u α, α ∈ G ∗; (36) l (α) = {Xu (α), u ∈ G}. et Imπ# l 2. π# : T ∗ G ∗ = G ∗ × G −→ T G ∗ = G ∗ × G ∗ est donné par l π# (α, u) = (α, ad∗u α). 3. Le rang de π l en un point α ∈ G ∗ est égale à dimG − dimGα , en particulier, le rang de π l à l’origine est nul. Preuve. Evidente. 2 Théorème 7.1 Soit G un groupe de Lie connexe et soit G son algèbre de Lie. Alors les feuilles symplectiques de la structure de Lie-Poisson sur G ∗ coincident avec les orbites de la représentation coadjointe de G. Preuve. Puisque G est connexe les orbites de l’action coadjointe de G sur G ∗ sont engendrées par les flots des champs fondamentaux de cette action. Or, pour tout u ∈ G, si le champ fondamentale associé à u est X u , on a d Ad∗exp(tu) α = −ad∗u α = −Xu (α). X u (α) = dt |t=0 Ainsi les champs fondamentaux de l’action coadjointe de G coincident avec les champs hamiltoniens des formes linéaires sur G ∗ et, comme ces derniers engendrent les feuilles symplectiques, on peut conclure.2 34 8 Structures de Poisson invariantes à gauche sur un groupe de Lie Soit G un groupe de Lie connexe d’élément neutre e et de dimension n et soit G = Te G son algèbre de Lie. Notons X l (G) l’espace des champs de multivecteur invariant à gauche, c’est-à-dire, l’ensemble des champs de multivecteur Q tels que, pour tout a ∈ G, La∗ Q = Q, où La : G −→ G est la translation à gauche définie par La (b) = ab. D’une manière équivalente, Q ∈ X l (G) si et seulement si, pour tout champ de vecteur invariant à droite, [X, Q] = 0. Puisque [X, [Q1 , Q2 ]] + [Q1 , [Q2 , X]] + (−1)(degQ1 −1)(degQ2 −1) [Q2 , [X, Q1 ]] = 0, on déduit que le crochet de Shouten-Nijenhuis de deux champs de multivecteur invariants à gauche est invariant à gauche. D’un autre côté, l’application de X l (G) −→ ∧∗ G = ⊕nk=0 ∧k G qui à Q 7→ Q(e) est un isomorphisme. L’image réciproque d’un élément q ∈ ∧∗ G sera noté q l et est défini par q l (a) = (La )∗ q. Le crochet de Shouten-Nijenhuis sur X l (G) définit donc un crochet sur ∧∗ G dont les proriétés sont résumées dans le lemme suivant. Lemme 8.1 Etant donné une algèbre de Lie G sur IR, il existe un unique crochet sur ∧∗ G qui étend le crochet d’algèbre de Lie sur G et qui vérifie les propriétés suivantes: 1. Si A ∈ ∧a G et B ∈ ∧b G alors [A, B] ∈ ∧a+b−1 G. 2. L’anti-commutativité graduée: si A ∈ ∧a G et B ∈ ∧b G alors [A, B] = −(−1)(a−1)(b−1) [B, A]. 35 (37) 3. La régle de Leibniz graduée: si A ∈ ∧a G, B ∈ ∧b G et C ∈ ∧c G alors [A, B ∧ C] = [A, B] ∧ C + (−1)(a−1)b B ∧ [A, C], [A ∧ B, C] = A ∧ [B, C] + (−1)(c−1)b [A, C] ∧ B. (38) (39) 4. L’identité de Jacobi graduée: si A ∈ ∧a G, B ∈ ∧b G et C ∈ ∧c G alors (−1)(a−1)(c−1) [A, [B, C]] + (−1)(b−1)(a−1) [B, [C, A]] + (−1)(c−1)(b−1) [C, [A, B]] = 0.(40) 5. Le crochet d’un élément de ∧∗ G avec un élément de ∧0 G = IR est nul. Une structure de Poisson invariante à gauche sur G est la donnée d’un champ de bivecteur π sur G invariant à gauche et tel que [π, π] = 0. En vertu de ce qui prècède, ceci équivaut à la donnée d’un r ∈ ∧2 G tel que [r, r] = 0. (41) Les éléments de ∧2 G vérifiant (39) sont appelés solutions de l’équation de Yang-Baxter classique. Dans tout ce qui suit, pour tout r ∈ ∧2 G, on notera r : G ∗ −→ G l’application définie par β(r(α)) = −α(r(β)) = r(α, β), α, β ∈ G ∗ et Sr le sous-espace vectoriel de G image de r. Lemme 8.2 Soit G une algèbre de Lie et r ∈ ∧2 G. Alors, pour tout α, β, γ ∈ G ∗, I [r, r](α, β, γ) = −2 α ([r(β), r(γ)]) . (42) Preuve. Soit G un groupe de Lie connexe d’algèbre de Lie G et soient αl , β l , γ l les formes invariantes à gauche sur G associées respectivement à α, β, γ. On a [r, r](α, β, γ) = [rl , rl ](αl , β l , γ l )(e). 36 D’un autre côté, d’après (28) et (29), on a [rl , rl ](αl , β l , γ l ) = −drl rl (αl , β l , γ l ) = − I l r# (αl ).rl (β l , γ l ) + I rl ([αl , β l ]rl , γ l ). Puisque rl est invariant à gauche, on a I l (αl ).rl (β l , γ l ) = 0 r# l l l et r# (αl ), r# (β l ), r# (γ l ) sont des champs invariants à gauche. D’un autre côté, pour tout champ de vecteur X invariant à gauche, on a [αl , β l ]rl (X) = Lr#l (αl ) β l (X) − Lr#l (β l ) αl (X) l l = −β l ([r# (αl ), X]) + αl ([r# (β l ), X]), ce qui entraine [αl , β l ]rl (e) = ad∗r(β) α − ad∗r(α) β. (43) Ainsi rl ([αl , β l ]rl , γ l )(e) = −[αl , β l ]rl (e)(r(γ)) = ad∗r(α) β(r(γ)) − ad∗r(β) α(r(γ)) = −β([r(γ), r(α)]) − α([r(β), r(γ)]), et finalement I l l l l r ([α , β ]rl , γ )(e) = −2 I α([r(β), r(γ)]). 2 Nous allons maintenant donner une caractérisation des solutions de l’équation de Yang-Baxter classique qui peut être très utile. Soit G une algèbre de Lie et r ∈ ∧2 G. Définissons sur Sr la 2-forme ωr par ωr (u, v) = r(α, β), où u = r(α) et v = r(β). Il est clair que ωr est bien définie et non dégénérée. C’est une forme symplectique sur Sr . 37 Inversement, étant donné un sous-espace vectoriel symplectique (S, ω) de G. La forme symplectique ω définit un isomorphisme ω [ : S ∗ −→ S. L’application i∗ ω[ i r : G ∗ −→ S ∗ −→ S −→ G définit un élément r ∈ ∧2 G tel que (Sr , ωr ) = (S, ω). Il y a donc une correspondance biunivoque entre les éléments de ∧2 G et les sous-espaces vectoriels symplectiques de G. D’un autre côté, tout élément r ∈ ∧2 G définit un crochet [ , ]r sur G ∗ par [α, β]r = ad∗r(β) α − ad∗r(α) β, α, β ∈ G ∗ . Proposition 8.1 Soit G une algèbre de Lie et soit r ∈ ∧2 G. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes: 1. r vérifie l’équation de Yang-Baxter classique. 2. Sr est une sous-algèbre de Lie de G et, pour tout u, v, w ∈ Sr , ωr ([u, v], w) + ω([v, w], u) + ω([w, u], v) = 0. (44) En plus, si l’une des conditions est vérifiée alors (G ∗ , [ , ]r ) est une algèbre de Lie et r : G ∗ −→ G est un morphisme d’algèbre de Lie. Preuve. 1 ⇒ 2. Supposons que r est une solution de l’équation de YangBaxter classique. Pour tout α, β, γ, on a γ(r([α, β]r )) = = = (42) = −[α, β]r (r(γ)) ad∗r(α) β(r(γ)) − ad∗r(β) α(r(γ)) −β([r(γ), r(α)]) − α([r(β), r(γ)]) γ([r(α), r(β)]). On déduit alors que r([α, β]r ) = [r(α), r(β)]. (45) Ainsi Sr est une sous-algèbre. D’un autre côté, si u = r(α), v = r(β)) et w = r(γ) alors ωr ([u, v], w) = γ([r(α), r(β)]) 38 et donc I ωr ([u, v], w) = I (42) γ([r(α), r(β)]) = 0. 2 ⇒ 1. Ce fait de la même manière. Supposons que r est une solution de l’équation de Yang-Baxter classique. Pour tout α, β, γ ∈ G ∗ , on a [[α, β]r , γ]r = (45) = ad∗r(γ) [α, β]r − ad∗r([α,β]r ) γ ad∗r(γ) ad∗r(β) α − ad∗r(γ) ad∗r(α) β + ad∗r(α) ad∗r(β) γ − ad∗r(β) ad∗r(α) γ, et on obtient aisément alors I [[α, β]r , γ]r = 0 et ainsi (G ∗ , [ , ]r ) est une algèbre de Lie et r est un morphisme d’algèbre de Lie en vertu de (45).2 La proposition suivante donne une description des structures de Poisson invariantes à gauche sur un groupe de Lie. Proposition 8.2 Soit G un groupe de Lie connexe, soit G son algèbre de Lie et r ∈ ∧2 G une solution de l’équation de Yang-Baxter classique. Notons Sr le sous-groupe connexe de G d’algèbre de Lie Sr . Alors: 1. Le rang de rl est constant égale à dimSr et Sr est la feuille symplectique de rl passant par l’élément neutre. 2. L’adhérence S¯r hérite d’une structure de Poisson invariante à gauche tel que i : S¯r −→ G est un morphisme de Poisson et dont toutes les feuilles symplectiques sont denses. 3. Les fibres de la fibration G −→ G/S¯r sont des sous-variétés de Poisson de G dont les feuilles symplectiques sont denses. 4. Hr0l (M ) ' C ∞ (G/S¯r ). Preuve. Evidente.2 Les structures de Poisson invariante à gauche sur un groupe compactes possèdent des propriétés remarquable que nous allons décrire maintenant. 39 Rappelons qu’un produit scalaire < , > sur une algèbre de Lie réelle (G, [ , ]) est dit bi-invariant si, pour tout u ∈ G, l’endomorphisme adu : G −→ G est anti-symétrique par rapport à < , >, c’est-à-dire, pour tout v, w ∈ G, < [u, v], w > + < [u, w], v >= 0. Il est claire que si < , > est bi-invariant alors l’orthogonal de l’idéal dérivée [G, G] est le centre Z(G) de G et donc G = [G, G] ⊕ Z(G). (46) D’un autre côté, l’othogonal d’un idéal pour un produit scalaire bi-invariant est encore un idéal. Proposition 8.3 Une algèbre de Lie résoluble munie d’un produit scalaire bi-invariant est nécessairement abélienne. Preuve. L’idéal dérivée de G étant nilpotent, on a pour tout u ∈ [G, G] la restriction de adu à [G, G] est nilpotent et donc nul puisqu’il est antisymétrique. On en déduit que [G, G] est abélien et d’après (46), G est ellemême abélienne.2 Lemme 8.3 Soit (G, < , >, ω) une algèbre de Lie munie d’un produit scalaire bi-invariant et d’une forme symplectique telle que ω([u, v], w) + ω([v, w], u) + ω([w, u], v) = 0. Alors G est abélienne. Preuve. Notons J l’isomorphisme de G défini par ω(u, v) =< Ju, v >= − < u, Jv >, pour tout u, v ∈ G. Il est facile de voir que la bi-invariance du produit scalaire et la condition du cocycle sur la forme symplectique vont entrainer que J est une dérivation, c’est-à-dire, pour tout u, v ∈ G, J[u, v] = [Ju, v] + [v, Ju], où encore [J, adu ] = adJu . 40 (47) Considèrons la décomposition (46) et supposons que [G, G] est non réduit à zéro. Nous allons d’abord montrer que [G, G] est semi-simple. En effet le radical nilpotent R de [G, G] est abélien, d’après Proposition 8.3. Son orthogonal dans [G, G] est aussi un idéal qui commute avec R et donc R est contenu dans le centre de [G, G] qui est trivial d’après (46) et donc R = 0, ce qui montre que [G, G] est semi-simple. L’isomorphisme J laisse invariant [G, G], notons encore J sa restriction à [G, G]. La forme de Killing de [G, G] étant non dégénérée, il existe un u ∈ [G, G] tel que, pour tout v ∈ [G, G] T r(J ◦ adv ) = T r(adu ◦ adv ). Nous allons montrer que J = adu ce qui constitue une contradiction puisque J est inversible et adu u = 0. En effet, pour tout v, w ∈ [G, G], on a T r(adJv ◦ adw ) (47) = = = = T r([J, adv ] ◦ adw ) T r(J ◦ ad[v,w] ) T r(adu ◦ ad[v,w] ) T r(ad[u,v] ◦ adw ), ce qui permet de conclure.2 Corollaire 8.1 Soit G un groupe de Lie compact et G son algèbre de Lie. Alors il y a une correspondance biunivoque entre les solutions de l’équation de Yang-Baxter classique sur G et les sous-algèbres abéliennes de dimension paire de G. 41