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Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue
principale, qui est jalonnée de feux tricolores.
Pour tout entier naturel n 1, on note En l'événement : «Amélie est arrêtée par le nième feu rouge ou orange », et
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l'événement contraire.
Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit pn la probabilité de En et qn celle de
Error!
. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange
vaut
Error!
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- la probabilité que le (n + 1)ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut
Error!
,
- la probabilité que le (n + 1)ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à
Error!
.
1° On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores.
a) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
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vert
rouge
ou orange
Error!
rouge
ou orange
Error!
1ier feu
2ième feu
b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux premiers feux tricolores.
Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance mathématique de X.
2° On se place maintenant dans le cas général.
a) Donner les probabilités conditionnelles pEn (En+1)et p
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(En+1).
b) En remarquant que En+1 = (En+1 En) (En+1
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), montrer que, pour tout n 1,
pn+1 =
Error!
pn +
Error!
qn .
c) En déduire l'expression de pn+1 en fonction de pn.
3° Soit la suite (Un) de nombres réels définie pour tout entier naturel n 1 par Un = 28 pn – 9.
a) Montrer que (Un)est une suite géométrique et déterminer sa raison k.
b) Exprimer Un , puis pn, en fonction de n.
c) Déterminer la limite, si elle existe, de pn quand n tend vers + . Donner une interprétation de ce résultat.
Error!  Error!

Asie 2002
Error!
vert
X = 2
Error!
Error!
vert
rouge
ou orange
Error!  Error!
X = 1
Error!
Error!
Error!
Error!
X = 1
rouge
ou orange
vert
Error!
rouge
ou orange
Error!  Error!
X = 0
1ier feu
2ième feu
1° b) P(X = 0) =
Error!
Error!
=
Error!
, P(X = 1) =
Error!
Error!
+
Error!
Error!
=
Error!
, P(X =
2) =
Error!
Error!
=
Error!
c) E(X) = 0
Error!
+ 1
Error!
+ 2
Error!
=
Error!
=
Error!
1,475.
2° a) PEn(En+1) =
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et P
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(En+1) =
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b) En+1 = (En+1 En) (E n+1
Error!
) donc
pn+1 = P(En+1) =
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P(En) +
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P(
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) =
Error!
pn +
Error!
(1 – pn) =
Error!
pn +
Error!
qn
c) pn+1 =
Error!
pn +
Error!
(1 – pn) =
Error!
pn +
Error!
–
Error!
pn =
Error!
–
Error!
pn =
Error!
–
Error!
pn
3° Un = 28 pn – 9 28 pn = 9 + Un
Un+1 = 28 pn+1 – 9 = 28
Error!
– 9 =
Error!
– 28
Error!
pn – 9 =
Error!
–
Error!
(Un + 9) –
Error!
=
Error!
–
Error!
Un –
Error!
= –
Error!
Un
Un est géométrique de raison –
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.
b) Un =
Error!Error!
U1 = (28 p1 – 9)
Error!Error!
=
Error!
Error!Error!
=
Error!
Error!Error!
pn =
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!Error!
+
Error!
c)
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< 1 donc
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Un = 0 donc
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pn =
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.