1 Invariance de jauge

M2 Physique Th´eorique
Invariances en physique et th´eorie des groupes
Op´erateurs de translation magn´etique et invariance de jauge
1 Invariance de jauge
rappel:
~
E(~r, t) = −~ ∇U(~r, t)−∂
∂t
~
A(~r, t)
~
B(~r, t) = ~ ∇ ∧ ~ A(~r, t)
(1)
Partant d’une jauge Gdans laquelle les potentiels sont not´es Uet ~ A, les potentiels dans la
nouvelle jauge G′s’´ecrivent
U′(~r, t) = U(~r, t)−∂
∂tχ(~r, t)
~
A′(~r, t) = ~ A(~r, t) + ~ ∇χ(~r, t)
(2)
1.1 M´ecanique classique
On rappelle que le hamiltonien classique d’une particule plong´ee dans un champ ´electromagn´etique
d´erivant des potentiels ~ Aet Us’´ecrit:
H(~r, ~p, t) = 1
2m~p −q~
A(~r, t)2+qU(~r, t),(3)
les variables dynamiques ~r (position) et ~p (impulsion) satisfaisant aux ´equations de Hamilton
d
dt~r(t) = ~
∇pH(~r(t), ~p(t), t)
d
dt~p(t) = −~
∇rH(~r(t), ~p(t), t).
(4)
On rappelle ´egalement que la quantit´e de mouvement s’´ecrit
~π =m~v =~p −q~ A(~r, t).(5)
1

1) Comment se transforment ~r(t) et ~p(t) dans la transformation de jauge G → G′(utiliser
les ´equations de Newton)?
2) Par d´efinition une grandeur physique v´eritable Fne d´epend pas du choix de jauge:
FG(~r(t), ~p(t), t) = FG′~
r′(t),~ p′(t), t.(6)
En d´eduire que toute fonction F(~r, ~π) est une grandeur physique v´eritable. Montrer que
~π(~r, ~p, t), γ(~r, ~p, t) = 1
2m~p −q~
A(~r, t)2(´energie cin´etique), λ(~r, ~p, t) = ~r ∧~p −q~
A(~r, t)
(moment par rapport `a O de la quantit´e de mouvement) sont des grandeurs physiques
v´eritables. Le moment cin´etique L(~r, ~p) = ~r ∧~p est-il une grandeur physique v´eritable?
1.2 M´ecanique quantique
1) En utilisant les r`egles de quantification, ´ecrire la loi de transformation des observables ~ RG
(position) et ~ PG(impulsion) sous la transformation de jauge G → G′.En d´eduire que ~ Lne
d´epend pas de la jauge, et que ~π et Hd´ependent de la jauge choisie.
2) On note |Ψ(t)iet |Ψ′(t)iles vecteurs d’´etat relatifs aux jauges Get G′.
Donner l’analogue quantique des lois de transformation de ~r(t) et ~p(t) en m´ecanique classique
(1.1 1)) pour hΨ(t)|~ R|Ψ(t)iet hΨ(t)|~ P|Ψ(t)i.
3) On pose |Ψ′(t)i=Tχ(t)|Ψ(t)io`u Tχ(t) est une transformation unitaire. D´eterminer Tχ(t)
en fonction de χ(~ R, t).On pourra utiliser la relation
[Px, G(x)] = −i¯hG′(x).(7)
G´en´eraliser au cas o`u le syst`eme est constitu´e par plusieurs particules de positions ~r1, ~r2,...
et de charges q1, q2,...
Quelle est la forme de la transformation de jauge G → G′en repr´esentation |ri?
4) Montrer que l’´equation de Schr¨odinger est invariante de jauge.
5) On associe `a toute observable Ksa transform´ee ˜ Ksous l’effet de Tχ(t):
˜
K=Tχ(t)K Tχ(t)†.(8)
V´erifier explicitement que
(˜
RG=RG′
˜
ΠG= ΠG′
(9)
et que ˜ PG6=PG′.
Montrer plus g´en´eralement qu’`a toute grandeur physique v´eritable est associ´e en m´ecanique
quantique un op´erateur GG(t) qui v´erifie
˜
GG(t) = GG′(t) (10)
2

(cette relation est l’analogue quantique de la relation (6)).
6) En m´ecanique classique, l’´energie totale d’une particule se d´epla¸cant dans un champ
´electromagn´etique ind´ependant du temps est une constante du mouvement. Montrer que
dans ce cas Hest v´eritablement physique: en m´ecanique quantique Hpeut ˆetre interpr´et´e
comme l’´energie totale de la particule.
7) Soit GGune observable v´eritablement physique. Montrer que les pr´evisions physiques as-
soci´ees sont ind´ependantes de la jauge (on montrera que les valeurs propres de GGet les
probabilit´es associ´ees ne d´ependent pas de la jauge).
8) Densit´e et courant de probabilit´e:
V´erifier que
ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2(11)
et
~
J(~r, t) = 1
mRe "Ψ∗(~r, t) ¯h i
~
∇ − q~ A(~r, t)!Ψ(~r, t)#(12)
sont invariants de jauge.
9) Op´erateur vitesse:
Justifier le fait que ~ V=~
Π
msoit l’analogue quantique de l’op´erateur vitesse. On utilisera pour
cela le Principe de Correspondance
{f, g} −→ 1
i¯h[f, g]
m´ecanique m´ecanique
analytique quantique
(13)
et on partira des ´equations de Hamilton ´ecrites `a l’aide des crochets de Poisson.
Montrer que
[Vx, Vy] = iq¯h
m2Bz
[Vy, Vz] = iq¯h
m2Bx
[Vz, Vx] = iq¯h
m2By
(14)
2 Op´erateur de translation magn´etique
L’´etude des niveaux d’´energie d’une particule charg´ee plong´ee dans un champ magn´etique
constant est un probl`eme invariant par translation. Cependant cette sym´etrie est bris´ee par
3

le choix de jauge ~ A=1
2~
B∧~r (puisque l’on particularise l’origine O), de sorte que Het
les ´etats propres ne sont plus invariants par translation. Cette sym´etrie est restaur´ee si l’on
accompagne une translation sur ~r d’une transformation de jauge.
1) Soit τla translation d´efinie par le vecteur ~a :
τ(~r) = ~r +~a . (15)
L’´etat de la particule est caract´eris´e par le ket |Ψidans la jauge o`u ~ A=1
2~
B∧~r . Soit ΨT(~r)
d´efini par
|Ψiτ −→|ΨTi= exp −i
¯h
~
P .~a|Ψi.(16)
En utilisant les expressions de |ΨTiet ~ AT(~r),calculer ρT(~r) et ~ JT(~r).En d´eduire que |ΨTi
d´ecrit, dans la nouvelle jauge ~ AT(~r),un ´etat dont les propri´et´es physiques se d´eduisent par
la transformation τde celles correspondant `a |ψidans la jauge ~ A(~r).
Montrer que le translat´e d’un mouvement possible dans la jauge ~ A(~r) est un mouvement pos-
sible dans la jauge ~ AT(~r) (consid´erer pour cela l’´equation de Schr¨odinger en repr´esentation
|ri).
2) On souhaite continuer `a d´ecrire l’´etat physique de la particule, apr`es translation τ, dans
la jauge ~ A(~r).Soit |ψ′
Tile ket correspondant, et U(~a) la transformation unitaire telle que
|Ψ′
Ti=U(~a)|Ψi.(17)
Montrer que
U(~a) = exp −iq
2¯h
~
R.(~a ∧~ B)exp −i
¯h
~
P .~a.(18)
3) Si ~a ∈xOy, v´erifier que
U(~a) = exp iq
¯h(~a ∧~
R0).~ B(19)
avec ~ R0=x0~ex+y0~ey.
4) Calculer [U(ax~ex), H] et [U(ay~ey), H].
5) Montrer que
U(ax~ex)U(ay~ey) = U(ay~ey)U(ax~ex) exp iq
¯haxayB.(20)
4

Pour en savoir plus:
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Lalo¨e, M´ecanique quantique,
compl´ements H-III et E-VI.
L. Landau et E. Lifchitz, M´ecanique quantique,
Ch II §9 et Ch XV §110
E. Brown, Bloch Electrons in a Uniform Magnetic Field,
Physical Review vol 133, 4 A (1964) p1038-1044.
C. Kittel, Quantum Theory of Solids, Ch 11.
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