Exercice n°2 : VOYAGE AUTOUR DE SATURNE

Sujet n°1 VOYAGE AUTOUR DE SATURNE
En Juillet 2004, la sonde européenne Cassini-Huygens nous a livré ses premiers clichés des anneaux de
Saturne. Elle a également photographié Titan, le plus gros satellite de Saturne, situé à une distance RT de
Saturne. L’excentricité orbitale des satellites étant très faible, on supposera leurs trajectoires circulaires.
Dans tout l’exercice, on se place dans le référentiel saturno-centrique, centré sur Saturne et dont les trois
axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines supposées fixes.
On considère que la planète Saturne et ses satellites sont des corps dont la répartition des masses est à
symétrie sphérique. Les rayons des orbites des satellites sont supposés grands devant leur taille.
Données : G = 6,6710–11 S.I. : constante de gravitation universelle. Concernant Titan :RT = 1,22106
km (rayon de l’orbite de Titan).Concernant Saturne : RS = 6,0104 km (rayon de la planète Saturne).Ts = 10 h
39 min (période de rotation de Saturne sur elle-même).
MS = 5,691026 kg (masse de Saturne).
1. Quelques caractéristiques de Titan :
1.1. Forces :On considère que la seule force gravitationnelle exercée sur Titan provient de Saturne.
1.1.1. Nommer la (les) force(s) extérieure(s) appliquée(s) au satellite Titan, de masse MT.
1.1.2. Représenter qualitativement sur un schéma, Saturne, Titan, et la (les) force(s) extérieure(s)
appliquée(s) sur Titan.
1.1.3. Donner l’expression vectorielle de cette (ces) force(s).
1.2. Accélération et vitesse : On étudie le mouvement du centre d’inertie T de Titan. S est le centre
d’inertie de Saturne.
Soit
u
le vecteur unitaire porté par la droite ST dirigé de S vers T.
1.2.1. Exprimer son accélération vectorielle
a
en précisant la loi utilisée.
1.2.2. On se place dans la base orthonormée (
t
,
n
) centrée en T dans laquelle
t
est un vecteur
unitaire porté par la tangente à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement et
n
un vecteur
unitaire perpendiculaire à
t
et dirigé vers l’intérieur de la trajectoire (
n
= –
u
).
On donne l’expression de
a
dans la base orthonormée (
t
,
n
) :
a
= at
t
+ an
n
.
Donner les expressions littérales de at et de an en fonction de la vitesse v du satellite.
1.2.3. À quelle composante se réduit l’accélération vectorielle
a
de Titan dans la base orthonormée
(
t
,
n
) ? Compléter alors le schéma précédent, avec la base orthonormée (
t
,
n
) et l’accélération
a
de
Titan.
1.3. Type de mouvement 1.3.1. Montrer que le mouvement de Titan est uniforme.
1.3.2. Retrouver l’expression de la vitesse de Titan sur son orbite autour de Saturne : v =
S
T
GM
R
2. D’autres satellites de Saturne :
Après le survol de Titan, la sonde Cassini a survolé le satellite Encelade en février 2005.
On peut considérer que dans le référentiel saturno-centrique, Encelade à un mouvement de révolution
circulaire uniforme, dont la période (en jour terrestre), est TE = 1,37 et le rayon est RE.
2.1. Loi de Kepler : La relation qui lie la période T de révolution d’un satellite, sa vitesse v et le rayon R de
son orbite est T =
2R
v
. Sa vitesse de révolution autour de Saturne est donnée par : v =
S
GM
R
.
2.1.1. Retrouver la troisième loi de Kepler
22
3S
T4
=
R GM
.
2.1.2. Utiliser la troisième loi de Kepler pour déterminer la valeur du rayon RE de l’orbite
d’Encelade.
3. Sonde saturno-stationnaire :On cherche dans cette partie à déterminer l’altitude h à laquelle devrait se
trouver la sonde Cassini pour être saturno-stationnaire (immobile au-dessus d’un point de l’équateur de
Saturne).
3.1. Quelle condition doit-on avoir sur les périodes Ts (rotation de Saturne sur elle-même) et Tc (révolution
de Cassini autour de Saturne) pour que la sonde soit « saturno-stationnaire »?
3.2. Altitude de la sonde
3.2.1. En utilisant la troisième loi de Kepler donnée à la question 2.1.1. , montrer que l’altitude h de
la sonde peut se calculer avec la relation: h =
2
CS
3S
2
T GM - R
4
3.2.2. Calculer la valeur de h.

Sujet n°2 : Mise en orbite d'un satellite artificiel par la fusée Ariane
D'après Encyclopedia Universalis (1998) :
(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).
Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de
47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.
Le premier étage qui fonctionne pendant 145 secondes est équipé de 4 moteurs Viking V
alimentés par du peroxyde d'azote N2O4 (masse de peroxyde emportée : 147,5 tonnes).
L'intensité de la force de poussée totale
F
de ces 4 réacteurs est constante pendant leur
fonctionnement: elle vaut F = 2445 kN.
Ce lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de
4850 kg; il peut également placer sur une orbite géostationnaire un satellite de 965
kg; il peut aussi être utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très
utiles pour des applications météorologiques.
1) L'ascension de la fusée Ariane
Le champ de pesanteur
g
est supposé uniforme : son intensité est g0 = 9,8 m.s –2.
On choisit un axe Oz vertical dirigé vers le haut.
On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre qu'on suppose galiléen.
a) Représenter clairement, sur un schéma, en les nommant, les deux forces qui agissent sur la
fusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée
d'Archimède dans l'air.
b) A un instant quelconque, la masse de la fusée est m.
Déterminer en fonction de m et des intensités des 2 forces précédentes la valeur de
l’accélération a.
c) On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m1. Calculer
la valeur numérique de l’accélération a1 à cet instant.
On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne
soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m2. Calculer la valeur numérique de m2 puis
celle de l'accélération a2 à cet instant.
Le mouvement d'ascension de la fusée est-il uniformément accéléré ?
d) La vitesse d'éjection
e
V
des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par
la relation :
e
V
=
t.F
m
où
m
t
est la variation de masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation
des moteurs.
Vérifier l'unité de Ve par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de Ve.
Quel est le signe de
m
t
? En déduire le sens de
e
V
. Qu'en pensez-vous ?
A l'aide d'une loi connue qu'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée
vers le haut.
2) Étude du satellite artificiel situé à basse altitude (h = 200 km)
On s'intéresse au mouvement d'un satellite artificiel S, de masse ms, en orbite circulaire (rayon r)
autour de la Terre de masse MT, de rayon RT et de centre O.
On suppose que la Terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie
sphérique et que le satellite peut être assimilé à un point.

a) Préciser les caractéristiques du vecteur accélération
a
d'un point animé d'un mouvement
circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.
b) Enoncer la loi de la gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation
universelle.
Faire un schéma sur lequel les vecteurs-forces sont représentés.
c) Le satellite S est à l'altitude h : on a donc r = R + h.
On appelle
S
F
la force qu'exerce la Terre sur le satellite. Cette force dépend de la position du
satellite et on pose
S
F
= ms.
g
(h) . On note g(h) l'intensité de la pesanteur
g
(h) à l'endroit où
se trouve le satellite:
g(h)
=g(h).
Exprimer g(h) en fonction de MT, RT, h et G puis g(h) en fonction de RT, h et g0 = g(0).
d) Appliquer la deuxième loi de NEWTON au satellite en orbite circulaire.
En déduire l'expression de la vitesse vs du satellite en fonction de g0 , RT et h puis celle de sa
période de révolution Ts.
e) Application numérique.
Calculer vs et Ts sachant que g0 = 9,8 m.s -2 ; h = 200 km et RT = 6400 km.