Déjà un peu plus loin1… n est un nombre entier naturel non nul. i

Classe de 1ère S1 Corrigé du devoir du 3 avril avril 2014.
Tp2 page 136.
Déjà un peu plus loin1…
voici l'algorithme écrit en langage naturel ...
Déclaration de variables.
n est un nombre entier naturel non nul.
i est un nombre entier naturel //pour représenter les nombres impairs successifs
k est un nombre // pour compter le nombre d'entiers impairs soustraits
Initialisation.
Demander n.
i reçoit 1.
k reçoit 0
Traitement.
Tant que
n⩾0
faire :
afficher n.
k prend la valeur
k+1
// k augmente de 1, il compte le nombre de passages dans la boucle
n reçoit
n−i
// n diminue du nombre impair i
i reçoit
i+2
// nombre impair suivant
finTantQue.
k reçoit le calcul
k−1
// la dernière soustraction pour laquelle
n−i
est négatif ne doit pas être comptée
Sortie.
Afficher « le nombre d'impairs soustraits est : », k.
Sous AlgoBox :
Je vous invite à transcrire vous-même cet algorithme.
Vous pouvez ouvrir le fichier corrigé en suivant ce lien « fichier AlgoBox »
1. Appliqué aux nombres 9, 16, 25, 36, 49 et 100 l'algorithme renvoie respectivement pour k
la suite : 3, 4, 5, 6, 7 et 10 qui sont les racines entières de la liste de carrés parfaits.
Deux extraits :
***Algorithme lancé***
Entrer n : 25
25, 24, 21, 16, 9, 0,
Le nombre d'entiers impairs soustraits pour n = 25 est
k = 5
***Algorithme terminé***
***Algorithme lancé***
Entrer n : 49
49, 48, 45, 40, 33, 24, 13, 0,
Le nombre d'entiers impairs soustraits pour n = 49 est k
= 7
***Algorithme terminé***
Conjecture... Si n est un carré parfait
n=p2
alors le nombre d'entiers impairs soustraits est
exactement p.
2. Appliqué aux nombres 10, 18, 27, 39, 50 et 104 l'algorithme renvoie respectivement pour k
la suite : 3, 4, 5, 6, 7 et 10 qui sont les parties entières de la racine carrée des nombres
initiaux. Autrement dit le plus grand entier dont le carré est inférieur au nombre entier n
choisi.
C'est ma conjecture … Pour un nombre n donné alors le nombre d'entiers impairs soustraits est
exactement le plus grand entier dont le carré (entier) est inférieur au nombre n.
Exemple si n = 96 le plus grand carré entier inférieur à 96 est 81, carré de 9 ainsi pour
n=96
le
nombre d'entiers impairs soustraits est 9 (je vérifie avec AlgoBox)
3. a. les calculs de sommes donnent respectivement 4, 9, 16, 25 …
1 ...et un peu plus technique : voir l'algorithme de Kenny en fin de devoir(page 4)
S. Baudet page 1 sur 4. corrigé dm 2 avril

Classe de 1ère S1 Corrigé du devoir du 3 avril avril 2014.
b . Je reconnais la suite des carrés des entiers naturels. La somme des p premiers entiers
naturels impairs est égale au carré de p .
1+3+5+…+
(
2p−1
)
⏟
p_premiers_impairs_consécutifs
=p2
c. la suite des nombres impairs est une suite arithmétique de premier terme 1 et de raison 2.
Alors je sais que la somme de p termes consécutifs d'une suite arihmétique (cf leçon) est
égale au produit du nombre de termes (ici p) par la demi somme des extrêmes .
Le premier terme est 1, le dernier est
up
soit
up=u1+ ( p−1 ) ×r
soit
up=1+ ( p−1 ) ×2
c'est à dire
up=2p−1
. Je peux donc écrire :
1+3+5+…+ ( 2p−1 ) =p×1+
( 2p−1 )
2=p×2p 2=p×p=p2
d. Soit n un entier naturel et
p=E
(
√
n
)
(partie entière de n).
alors par définition p est entier et
p⩽
√
n<p+1
et puisque la fonction carrée est
strictement croissante sur
ℝ+
on a :
p2⩽n< ( p+1 )
2
ainsi la différence
n−p2
qui peut
aussi s'écrire
n− ( 1+3+5+ …+ ( 2p−1 ) )
est encore positive alors que la différence
n− ( p+1 )
2
égale à
n− ( 1+3+5+ …+ ( 2p+1 ) )
est elle strictement négative.
En conclusion si j’ôte successivement à n les p premiers nombres impairs consécutifs le
résultat est encore positif (ou nul ) mais la différence avec le p+1 ième suivant rendra le
résultat strictement négatif. La conjecture (2°) est démontrée.
Exercice 90 page 96.
D'après la leçon sur le second degré les coefficient des termes en
x2
des fonctions f , g et h sont
respectivement positif, positif et négatif alors je sais que leurs tableaux sont :
x
−∞
−b
2a=0
+∞
f
1
x
−∞
−b
2a=−1
+∞
g
0
x
−∞
−b
2a=2
+∞
3
h
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Classe de 1ère S1 Corrigé du devoir du 3 avril avril 2014.
a. Il est clair que
f ( 1 ) =g ( 1 ) =h ( 1 ) =2
, le point
A ( 1; 2 )
est commun aux trois courbes.
b. Pour les trois courbes la tangente en A à pour équation :
y=u' ( 1 ) ( x−1 ) +u ( 1 )
où u est l'une des
fonctions f, g ou h. Comme
u ( 1 ) =2
dans les trois cas, pour que les trois tangentes soient
confondues il suffit que leur coefficient directeur soient égaux
Or
f ' ( x ) =2x
,
g' ( x ) =x+1
et
h' ( x ) =−2x+4
et donc
f ' ( 1 ) =g' ( 1 ) =h' ( 1 ) =2
.
Les trois courbes admettent en
A ( 1; 2 )
la même tangente T ( d'équation
y=2 ( x−1 ) +2=2x
).
Pour étudier la position d'une courbe représentative d'une fonction u par rapport à sa tangente je
dois étudier le signe de la différence
u ( x ) −y
ou y représente l'équation de la tangente.
Dans les trois cas :
f
(
x
)
−y=x2−2x+1=
(
x−1
)
2
Ce polynôme est évidement toujours
positif . La courbe de f est donc
toujours au dessus de T.
g
(
x
)
−y=1
2x2−x+1 2
j'observe :
g
(
x
)
−y=1
2
(
x2−2x+1
)
=1
2
(
x−1
)
2
Le même raisonnement que ci-
contre à gauche permet d'affirmer
que
C
g
est au dessus de T.
h
(
x
)
−y=−x2+2x−1
ici
h
(
x
)
−y=−
(
x−1
)
2
est évidement toujours négatif donc
C
h
est sous la tangente.
Représentation des courbes … (à faire avec le logiciel de votre choix).
Une courbe admet une tangente parallèle à la droite
( y=x )
si les deux droites on le même
coefficient directeur ici 1. Il me faut donc résoudre dans chaque cas l'équation u'(x)=1.
f '
(
x
)
=1⇔2x=1⇔x=1
2
g' ( x ) =1⇔x+1=1⇔x=0
et
h'
(
x
)
=1⇔−2x+4=1⇔x=3
2
f
(
1
2
)
=5
4
g
(
0
)
=1
2
h
(
3
2
)
=11
4
Les trois courbes ont donc une tangente parallèle à
( y=x )
en les points respectifs :
Mf
(
1
2;5 4
)
Mg
(
0 ; 1
2
)
Mh
(
3
2;11 4
)
Les tangentes en ces points ont respectivement pour équation :
tf:y=x+3
4
tg:y=x+1
2
th:y=x+5
4
Vérification à l'aide du fichier de Sylvain D. sous
GeoGebra. (suivre le lien)
vers le fichier.
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Classe de 1ère S1 Corrigé du devoir du 3 avril avril 2014.
Algorithme proposé par Kenny pour le TP2. (beaucoup plus court mais aussi plus technique)
Déclaration de variables.
n est un nombre entier naturel non nul.
p est un nombre entier naturel
Initialisation.
Saisir n.
p reçoit 0
Traitement.
Tant que
n⩾ ( 2p+1 )
faire :
n prend la valeur
n− ( 2p+1 )
p prend la valeur
p+1
// p sert ici de compteur mais est aussi utilisé pour écrire les impairs successifs
finTantQue.
Sortie.
Afficher « le nombre d'impairs soustraits est : », p.
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