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EXERCICES MICRO-ECONOMIE L1 ECO-GESTION
Exercice 1: La fonction de demande
On considère un consommateur dont la fonction de demande est donnée par la fonction
𝐷 = 10 − √𝑝
D quantité demandée au prix p
Quel doit être le prix pour que la demande soit égale à 6 unités de bien ?
Si le prix est de 36, quelle est la quantité consommée ?
Que se passe-t-il si le prix augmente / diminue ?
Calculez le prix pour lequel la demande est nulle, puis la quantité demandée pour un prix nul.
Tracez la demande.
A la suite d’un choc positif, la demande change. Elle devient :
𝐷 = 16 − √𝑝
Tracez cette nouvelle courbe de demande
Expliquez comment se caractérise un choc positif de demande.
Rappelez la différence entre une variation de la quantité demandée et une variation de la
demande.
Exercice 2: La demande globale d'un facteur de production
Deux entreprises A et B fabriquent des produits différents en utilisant le même type de main
d'oeuvre. La demande de main d'oeuvre L est fonction du taux de salaire horaire w.
La fonction de demande de l'entreprise A s'exprime par la relation:
w = 500 - LA, (LA = main d'oeuvre utilisée par A)
Pour B, on a:
w = 250 - LB, (LB = main d'oeuvre utilisée par B)
1°) Représenter les demandes individuelles et la demande globale de main d'oeuvre
2°) On suppose que l'offre globale est indépendante du taux de salaire et qu'elle est égale à
550 unités. Déterminer les quantités utilisées à l'équilibre.
Exercice 3: Fonction de demande de revenu et de loisir
Soit un consommateur dont la fonction d’utilité est :
𝑅. 𝐿
𝑈(𝑅, 𝐿) =
𝑅+𝐿
R : revenu du travail R=W.s
s : taux de salaire
W : temps travaillé
L : temps de loisir
d’ou T (temps total) = L+W
Exprimer les fonctions de demande de revenu et de loisir. En déduire l’offre de travail.
Exercice 4: Courbes d’utilité marginale
La fonction de satisfaction U d’un individu consommant des biens x et y est donnée par
l’expression :
𝑈(𝑥, 𝑦) = √𝑥√𝑦
Etudier les fonctions d’utilité marginale
Quelle est la valeur par laquelle le consommateur devra multiplier sa demande de X pour
décupler son utilité totale sans modifier sa demande de y.
Exercice 5: La position optimale du consommateur
Dans le cas d’une fonction d’utilité de la forme :
U(x,y)=2x+4y+xy+8
Et d’une contrainte de budget
50=5x+10y
Interprétez économiquement la contrainte de budget
Donnez les quantités consommées à l’optimum
Déterminez ces quantités en utilisant le Lagrangien
Exercice 6: Optimum du producteur
Soit la fonction de production, à deux facteurs de production « travail » (L) et « capital » (K) :
𝑄 = 2√𝐿√𝐾
Le coût unitaire du travail est de 9 unités monétaires, le coût unitaire du capital est de 4
1) Déterminer la combinaison optimale (K,L) pour une production de 100
2) Vérifier les conditions de second ordre (à faire éventuellement)
3) Supposons que l’entreprise ait des ressources de 504 unités monétaires : quelles est la
combinaison productive retenue, et quel sera le niveau de production
Exercice 7: Coûts de la firme
A et B sont deux firmes concurrentes, offrant un bien x. Le prix du marché est de 6 unités
monétaires.
La fonction de coût total pour A est donnée par :
𝐶𝑇𝐴 = 15𝑥 − 6𝑥 2 + 𝑥 3
et pour la firme B par :
𝐶𝑇𝐵 = 2𝑥 − 2𝑥 2 + 𝑥 3
1) Calculer le profit de chaque firme si elles se comportent de manière rationnelle.
2) Déterminer la valeur du prix de marché pour lequel chaque firme serait exclue du
marché.
SOLUTIONS
Exercice 1 :
𝐷 = 10 − √𝑝
D=6 => p=2
P=36 => D=4
Relation décroissante en prix (insister sur la différence variation de la quantité demandée,
variation de la demande)
D=0 => p=100
P=0 => D=10
𝐷 = 16 − √𝑝
Choc positif de demande : rappels
Variation du coûts de production : coût salarial, coût des matières premières (pétrole, etc.)
→ incidence sur l’offre.
• Progrès technique : capacité à produire plus avec la même quantité de facteur.
→ incidence sur l’offre.
• Choc technologique : par exemple, effet de l’invention de la photo numérique
→ incidence sur la demande (de pellicules).
• Changement du goûts des consommateurs :
→ incidence sur la demande
• Déréglementation d’un marché, facilitant l’entrée d’entreprises :
→ incidence sur l’offre
• Mesure de politique économique (politique budgétaire / monétaire accommodante / restrictive)
→ incidence sur la demande.
• Etc.
• Pour mesurer l’impact des phénomènes précédemment décrits –on parlera par la suite de « chocs » pour
caractériser ces phénomènes – il faut mesurer l’impact qu’on ces phénomènes sur l’offre et/ou sur la demande
pour un prix donné.
• Si, pour un prix donné, la quantité demandée augmente (diminue) suite au choc, on parlera de choc positif
(négatif) de demande.
→ la courbe de demande se déplace vers la droite (gauche)
• Même principe pour l’offre.
Exercice 2 :
w = 500 - LA
w = 250 – LB
Rappeler convention d’écriture
prix=f(demande)
1) L= LA + LB
𝐿 = 0 𝑠𝑖 𝑤 ≥ 500
𝐿 = 𝐿𝐴 𝑠𝑖 𝑤 ∈ [250; 500[
𝐿 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 = 750 − 2𝑤 𝑠𝑖 𝑤 ∈ [0; 250[
2) Faire la résolution graphique et algébrique (à l’équilibre, w=100, LA=400, LB=150)
Exercice 3 :
1) Programme de l’agent :
Maximiser U sous la contrainte T = L+W
Poser le Lagrangien
ℒ(𝑅, 𝐿, 𝜆) =
𝑅. 𝐿
+ 𝜆(𝑇 − 𝐿 − 𝑊)
𝑅+𝐿
Insister sur l’expression de W qui dépend de R (R=W.s d’ou W=R/s) à remplacer dans le
Lagrangien
Les conditions de premier ordre donnent :
𝑠. 𝑇
√𝑠𝑇
𝑅=
𝑒𝑡 𝐿 =
1 + √𝑠
1 + √𝑠
on en déduit l’offre de travail W=T/(1 + √𝑠)
Discuter de l’indétermination sur l’expression de W =R/s
En effet, si s augmente, R augmente également, d’ou l’indétermination sur l’évolution de
l’offre de travail
Les études économétriques ont montré la forme très particulière de la fonction d’offre de
travail :
Effet de substitution et effet revenu à
expliquer : le salaire est en fait le prix du
loisir (cf. coût d’opportunité vu en cours)
Effet de substitution positif (si s augmente, le
prix du loisir augmente, donc l’offre de travail
augmente)
Effet de revenu négatif : (si s augmente, on
consomme plus de loisirs, donc l’offre de
travail baisse)
L’effet de substitution l’emporte au début. Mais plus le revenu augmente, plus c’est l’effet de
revenu qui domine.
Exercice 4 :
Utilité totale = U(x,y)
Utilité marginale de X
𝜕𝑈
𝑈(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑈(𝑥, 𝑦)
= lim
𝜕𝑥 ∆𝑥→0
∆𝑥
Utilité marginale de Y
𝜕𝑈
𝑈(𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑈(𝑥, 𝑦)
= lim
𝜕𝑦 ∆𝑦→0
∆𝑦
Dans l’exercice
𝜕𝑈
𝑦
= 0,5√ ,
𝜕𝑥
𝑥
𝜕𝑈
𝑥
= 0,5√
𝜕𝑦
𝑦
L’utilité marginale est définie pour une valeur fixe des quantités des autres biens du panier :
on a donc :
𝜕𝑈
𝑦0
𝐴
= 0,5√ = 0,5
, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴 = √𝑦0 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
𝜕𝑥
𝑥
√𝑥
𝜕𝑈
𝑥0
𝐵
= 0,5√ = 0,5
, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐵 = √𝑥0 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
𝜕𝑦
𝑦
√𝑦
Les dérivées premières des fonctions d’utilité marginale sont négatives
3
𝜕 2𝑈
1
𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒,
= − 𝐴𝑥 −2 ≤ 0 ∀𝑥 ≥ 0
2
𝜕𝑥
4
Les dérivées secondes sont positives
On peut en conclure que les fonctions d’utilité marginales sont décroissantes et convexes par
rapport à l’origine.
Décupler l’utilité à consommation y constante
on veut :
10𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑈(∝ 𝑥, 𝑦)
⟺ 10 = √∝
⟺ 𝛼 = 100
Il faut donc multiplier la consommation de x par 100
Exercice 5 :
50 = revenu du consommateur, 5 = prix de x, 10 = prix de y
ℒ(𝑥, 𝑦, 𝛾) = 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑥𝑦 + 8 + 𝛾(50 − 5𝑥 − 10𝑦)
Conditions de premier ordre :
𝜕ℒ
= 2 + 𝑦 − 5𝛾 = 0
𝜕𝑥
𝜕ℒ
= 4 + 𝑥 − 10𝛾 = 0
𝜕𝑦
𝜕ℒ
= 50 − 5𝑥 − 10𝑦 = 0
{ 𝜕𝛾
La résolution nous donne x=5, y=5/2
Exercice 6
1) on veut :
min 𝐶𝑇 = 9𝐿 + 4𝐾 𝑠. 𝑐. 2√𝐿√𝐾 = 100
K=75 et L=100/3
Montrer qu’on retrouve bien l’égalité entre le prix relatif et le rapport des productivités
marginales
9 𝐿−0,5 𝐾 0,5
=
4 𝐿0,5 𝐾 −0,5
2) Si vu par les étudiants, montrer que le hessien du Lagrangien est négatif. Sinon, question à
abandonner (rappeler peut être la condition de second ordre pour une fonction à une variable,
pour donner l’intuition sur le min ou le max)
3) on veut :
max 𝑄 = 2√𝐿√𝐾 𝑠. 𝑐. 9𝐿 + 4𝐾 = 504
K=63 et L=28
Exercice 7 :
1) On pose le profit de A
Π𝐴 = 𝑅𝑇 − 𝐶𝑇 = 6𝑥 − (15𝑥 − 6𝑥 2 + 𝑥 3 )
Dérivée nulle du profit pour la condition du premier ordre
pour annuler cette dérivée, 2 racines possibles : x=3 ou x=1
Vérification des conditions de second ordre : la dérivée seconde du profit est négative
(maximum) pour x=3 (x=1 est un minimum)
Idem pour la firme B (2 racines, 2 et -2/3 (solution absurde économiquement), condition de
second ordre effectivement vérifiée pour 2
2) Les firmes sont éliminées du marché lorsque Recette moyenne (càd le prix) < minimum du
coût moyen (seuil de rentabilité)
Le minimum du CM pour A en x=3, c’est à dire lorsque le prix est de 6
Le minimum du CM pour B en x=1, c’est à dire lorsque le prix est de 1