Chapitre 7 Introduction à la théorie de la di usion

Chapitre 7
Introduction à la théorie de la diusion
Ce chapitre est pour le moment très incomplet.
Références : [BC89] chap.13, [CBF] chap.8. Cours de MQ de Richard Fitzpatrick sur le
web.
Ref mathématique : R. Melrose geometric scattering theory [Mel95], sur sa page web.
Remarques
◦
Noter que en anglais la théorie de la diusion se dit scattering
theory. (En
anglais, le terme diusion est réservé pour le phénomène de diusion de la chaleur,
qui est complètement autre chose).
◦
Concernant la diusion d'une onde sur un cristal (potentiel périodique), on parle
aussi de
diraction . Concernant encore plus spéciquement une onde plane dif-
fusée sur un potentiel constant par morceaux (ex : lumière sur une plaque d'indice
diérent), on parle d'onde rééchie et réfractée.
Réexion et réfraction . Ces
phénomènes sont des cas particuliers de la diusion présentée dans ce chapitre.
7.1 Introduction
La théorie de la diusion consiste à étudier la collision entre 2 ou plusieurs particules.
Pour le moment, nous allons étudier le cas le plus simple de
la collision entre 2 parti-
cules sans spin.
On suppose que l'interaction entre les deux particules est décrite par une énergie potentielle qui ne dépend que de la position relative des 2 particules
~x = ~x2 − ~x1
et est donc
notée :
V (~x2 − ~x1 )
où
~x1 , ~x2 ∈ R3
sont les positions des particules 1 et 2. On suppose que le potentiel
courte portée. Ce qui signie qu'il est nul ou faible si
|~x2 − ~x1 |
V
est à
est grand On verra que
l'hypothèse précise est
V (~x) = o
289
1
|~x|
(7.1.1)
290
CHAPITRE 7.
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Dans l'étude du problème à deux corps isolés, exercice 6.1.1 page 237, nous avons vu
qu'il sut de décrire
le mouvement relatif
~x := ~x2 − ~x1
dans le référentiel du centre de masse et que ce mouvement relatif est aecté de la masse
m1 m2
. Le Hamiltonien est alors
réduite m :=
m1 +m2
Ĥ =
p~2
+ V (~x)
2m
Par exemple pour la diusion d'un électron (léger) sur un proton (lourd), on a m1 m2 ,
~ = 1 (m1~x1 + m2~x2 ) ' ~x1 est placé sur le proton ~x1 qui est
donc le centre de masse X
m1 +m2
quasiment immobile en ~
x1 = 0, et le mouvement relatif ~x (t) = ~x2 − ~x1 = ~x2 décrit celui de
−e2
l'électron (m ' m1 ). Dans ce cas le potentiel est V (~
x) = 4πε
(mais ne décroit pas assez
x|
0 |~
vite à l'inni pour satisfaire l'hypothèse (7.1.1)).
En mécanique quantique, les particules sont décrites par des ondes, donc le problème
consiste à décrire la diusion d'une onde incidente par le potentiel
V (~x).
7.2.
AMPLITUDE DE DIFFUSION
F (K, θ, ϕ)
291
L'étude des collisions est très importante, car tout d'abord, historiquement, la découverte du monde quantique et des particules s'est faite en étudiant des processus de collision.
Beaucoup d'expériences de physique sont des expériences de collision, ou plus précisément
de diusion. En cette année 2012 les physiciens des particules ont annoncé la découverte
tant attendue du
Boson de Higgs dans les processus de collision au L.H.C.
La théorie qui suit est valable pour la diusion d'ondes en général. Elle s'adapte donc
pour la diusion de la lumière, ou du son par exemple.
Nous allons nous restreindre à l'étude des solutions stationnaires, appelée
théorie de
la diusion stationnaire. La question essentielle sera d'exprimer la composante onde
diusée, à partir de la donnée onde incidente.
7.2 Amplitude de diusion f (k, θ, ϕ)
La proposition suivante donne une description des ondes stationnaires d'énergie
E . (voir
aussi Melrose [Mel95] Lemme 1.2, )
On va utiliser les coordonnées sphériques
Proposition 7.2.1. Si
vériant
ψ (~x)
~x ≡ (r, θ, ϕ).
est une onde stationnaire d'énergie
E =
~2 k2
, c'est à dire
2m
Ĥψ = Eψ , alors pour r = |~x| 1 (c'est à dire en champ lointain ), ψ
s'écrit
de façon unique :
ψ (~x) =
e−ikr
a− (θ, ϕ)
|
{z r }
Onde sphérique entrante
où
a± (θ, ϕ)
appelées
e+ikr
+ a+ (θ, ϕ)
+o
|
{z r }
r → ∞.
r = |~x| ,
(7.2.1)
Onde sph. sortante
amplitudes sphériques
entrante/sortante sont des fonctions
des variables angulaires seulement, et
pour
1
,
r
o
1
r
décrit un terme qui décroit plus vite que
1/r
292
CHAPITRE 7.
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Les deux premiers termes de (7.2.1) s'appellent
ondes sphérique entrantes et sor-
tantes, car le courant est radial (voir (7.2.10) page 298). Nous appelerons
a± (θ, ϕ)
les
amplitudes asymptotiques des ondes sphériques entrantes et sortantes.
Démonstration. (Preuve de Eq.(7.2.1)). Pour
supposé
V (~x) → 0,
r = |~x| 1,
loin du lieu de collision, on a
donc le Hamiltonien s'approxime par
Ĥ ' Ĥ0 + o
1
|~x|
,
Ĥ0 =
p~2
~2
=−
∆
2m
2m
qui est celui d'une particule libre. On a
~2
~2 k 2
Ĥψ = Eψ ⇔ −
∆ψ =
ψ+o
2m
2m
1
1
2
ψ ⇔ ∆ψ = −k ψ + o
ψ
r
r
(7.2.2)
~x ≡ (r, θ, ϕ), le Laplacien s'écrit
1
1 ∂
∂ψ
1 ∂ 2ψ
1 ∂ 2 (rψ)
+ 2
sin θ
+
∆ψ =
r ∂r2
r
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
En coordonnées sphériques
(voir cours de mathématiques de M1[Fau10b]). Si on écrit
ψ (r, θ, ϕ) = R (r) a (θ, ϕ), (7.2.2)
donne
1 d2 (rR)
1
∆ψ =
a+o
= −k 2 R a
2
r dr
r
d2 (rR)
⇔
= −k 2 (rR) + o (1)
dr2
7.2.
AMPLITUDE DE DIFFUSION
F (K, θ, ϕ)
293
Cette équation du deuxième ordre est celle de l'oscillateur harmonique et a deux solutions
±ikr
indépendantes rR (r) = e
+ o (1), soit
e±ikr
+o
R (r) =
r
1
r
Remarque : (*)
◦
En coordonnées cartésiennes, le Laplacien s'écrit
∆=
∂2
∂x2
2
2
∂
∂
+ ∂y
2 + ∂z 2 , et il est naturel
de considérer les ondes planes :
ψp~ (~x) = ei
qui sont fonctions propres de
Ĥ0
Ĥ0 ψp~ = Eψp~ ,
p
~.~
x
~
~
= eik~x ,
p~ = ~~k ∈ R3 ,
:
E=
p~2
~2 k 2
=
2m
2m
: énergie
L2 (R3 ) (d'après la théorie de la transformée de Fourier). Le spectre est dégénéré car à une énergie E donnée, correspondent
√
toutes les ondes planes t.q. p
~ ∈ R3 est sur la sphère de rayon |~p| = 2mE . L'espace
propre d'énergie E noté EE est donc de dimension innie et ces ondes planes en
et forment une base de l'espace quantique
forme une base. Mais cette base n'est pas unique. L'écriture (7.2.1) est une écriture
asymptotique générale pour une onde dans l'espace
EE .
An d'illustrer la formule précédente (7.2.1), considérons pour
plane d'énergie
E
se propageant dans la direction de l'axe
ψ , le cas particulier une onde
z.
à une particule libre c'est à dire à une situation sans potentiel
Une onde plane correspond
V.
La proposition suivante
donne sa décomposition en ondes sphériques. Le résultat montre que l'onde entrante vient
uniquement de la direction
part dans la direction
θ = π
θ = 0.
et que l'onde sortante (aussi appelée onde transmise)
Cela n'est pas étonnant.
294
CHAPITRE 7.
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Proposition 7.2.2. Amplitudes sphériques d'une onde plane en champ lointain . Une onde plane selon z peut s'écrire :
ikz
e
avec
où
δ
e+ikr
e−ikr
= a+ (θ)
+ a− (θ)
+o
r
r
(2π)
a− (θ) =
δ (θ − π) ,
k
(−2π)
a+ (θ) =
δ (θ) .
k
V , Ĥ = Ĥ0 ),
les amplitudes asymptotiques
a+ = −P̂a−
la
(7.2.3)
(7.2.4)
(7.2.5)
est la distribution de Dirac. Plus généralement, pour le problème libre (i.e. sans
potentiel
où
1
r
a+
et
a−
sont reliées par la relation :
(7.2.6)
P̂ : C (S 2 ) → C (S 2 ) est l'opérateur de parité déni par P̂a (θ, ϕ) = a (P (θ, ϕ)) avec
transformation de parité, en coordonnées sphériques, P : (θ, ϕ) → (π − θ, ϕ + π).
7.2.
AMPLITUDE DE DIFFUSION
Remarquer que les amplitudes
par rotation autour de
F (K, θ, ϕ)
295
a± (θ) sont indépendantes de ϕ (en eet eikz
est invariant
z ).
Démonstration. (*) En coordonnées sphériques
z = r cos θ
l'onde plane s'écrit :
eikz = eikr cos θ
On cherche à simplier cette expression en champ lointain, c'est à dire sur une sphère de
iϕ(θ)
rayon r xé et très grand r 1. Il s'agit d'une fonction de la forme e
avec une phase
ϕ (θ) = kr cos θ. On a ϕ0 (θ) = −kr sin θ qui est non nul sauf si θ = 0, π . Cela signie
r 1) sauf en θ = 0, π . D'après le
iϕ(θ)
théorème de la phase non stationnaire (voir formulaire @@), on déduit que e
est
1
pour tout N , aus sens des distributions). Il
négligeable pour θ 6= 0, π (précisément o
rN
ikz
nous reste à calculer la valeur de e
en θ = 0, π . Pour cela on utilise le théorème de la
que cette fonction de phase oscille très vite (pour
phase stationnaire (voir formulaire @@). La petite diculté ici est que ces deux points
θ = 0, π
(θ, ϕ). Près de ces points, on va
(x̃, ỹ) x̃ := x/r = sin θ cos ϕ et ỹ = y/r = sin θ sin ϕ et
point (x̃, ỹ) = (0, 0). On a alors
sont mal décrit par les coordonnées sphériques
plutot utiliser les coordonnées
s'intéresser au voisinage du
eikz ' eiϕ
avec
1/2
1/2
ϕ = kz = k r2 − x2 − y 2
= kr 1 − x̃2 − y˜2
1 2 1 ˜2
2 2
' kr 1 − x̃ − y + o x̃ , ỹ
2
2
Les dérivées sont
∂ϕ
∂ϕ
= −krx̃,
= −krỹ,
∂ x̃
∂ ỹ
∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
=
= −kr.
∂ x̃2
∂ x̃2
On observe en eet que la phase est stationnaire (∂ϕ = 0) en x̃ = ỹ = 0. Si f (x̃, ỹ) est une
fonction test non nulle près de ce point on a au premier ordre dΩ ' dx̃dỹ et on écrit la
formule de la phase stationnaire
Z
eiϕ f dΩ =
1
ZZ
(@@) :
eiϕ(x̃,ỹ) f dx̃dỹ
S2
1/2 
1/2
√
√
−i 2π
−i 2π
= eiϕ(0,0) f (0, 0)  2   2 

∂ ϕ
∂ x̃2
= eikr f (0, 0)
1.
R
eiλϕ(x) u (x) dx =
√
±i 2π
d2 ϕ
(0)
dx2
u (0) + O
1
λ
(−2π)
kr
∂ ϕ
∂ ỹ 2
296
CHAPITRE 7.
Ainsi près du point
θ=0
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
(revenant en coordonnées sphériques)
eikz ≡ eikr δ (θ)
a+ (θ) = (−2π)
δ (θ).
k
a− (θ). (détailler @@).
avec
(−2π)
eikr
=
a+ (θ)
kr
r
On fait le même calcul au voisinage du point
θ=π
pour trouver
Remarque : dans la plupart des livres de physique on trouve l'expansion exacte de
2
eikz
à l'aide des polynomes de Legendre . Il est possible de retrouver (7.2.3) à partir de cette
expansion. On n'a pas eu besoin de cela ici. Il nous semble que l'argument de la phase
staionnaire est plus adapté et plus clair.
Une onde sphérique entrante ne correspond pas à une situation expérimentale habituelle. Dans une situation expérimentale, l'onde entrante est plus souvent modélisée par
une onde plane incidente. Cela amène à la dénition suivante :
Dénition 7.2.3. En théorie de la diusion stationnaire, on cherche une solution de
l'équation
Ĥψ = Eψ ,
d'énergie
E=
~2 k 2
, telle que en champ lointain
2m
ikz
ψ (~x) = |{z}
e + f (k, θ, ϕ)
ψinc
|
{z
ψdif f
formé d'une
eikr
r
r 1,
1
+o
r
}
onde incidente et transmise selon l'axe
sphérique sortante diusée, notée
ψdif f. .
La fonction
z notée ψinc. , et d'une onde
f (k, θ, ϕ) s'appelle amplitude
de diusion et est unique.
2. Dans les livres, on trouve
∞
1X
a+ (θ) = −
(2l + 1) Pl (cos θ) ,
2
l=0
Voir [BC89, (6.86),(6.77)] pour resommer.
(7.2.7)
∞
iX
l
a+ (θ) =
(−1) (2l + 1) Pl (cos θ) .
2
l=0
7.2.
AMPLITUDE DE DIFFUSION
Remarques :
◦
on note aussi
une fonction
◦
~k 0 := k ~x
r
de ~
k0 :
F (K, θ, ϕ)
297
le vecteur d'onde diusé dans la direction
Le terme
δ (θ)
Alors
f
est
f ~k 0 := f (k, θ, ϕ)
D'après (7.2.3), les amplitudes d'ondes sphériques de
a− (θ) = −
(θ, ϕ).
(2π)
δ (θ − π) ,
k
a+ (θ, ϕ) =
ψ,
equ. (7.2.7) sont
(2π)
δ (θ) + f (k, θ, ϕ) .
k
(7.2.8)
correspond à l'onde transmise vers l'avant.
Rappel sur le courant de probabilité :
Proposition 7.2.4. Pour une onde quantique
ψ (~x, t)
quelconque, la
densité de proba-
bilité (non normalisée) est donnée par
P (~x, t) := |ψ (~x, t)|2
On a
l'équation de conservation de la probabilité
∂P
+ div~j = 0.
∂t
où la
densité de courant de probabilité est déni par
~j (~x, t) := < ψ (~x, t) ~vˆψ (~x, t)
et
~vˆ :=
p
~ˆ
m
i~ ~
∇
= −m
est l'opérateur vitesse.
(7.2.9)
298
CHAPITRE 7.
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Démonstration. En eet, en supposant
V (~x)
est réel,
∂P
−i
−i~
2
= 2< ψ∂t ψ = 2< ψ (~x)
−∇ ψ (~x)
Ĥψ (~x) = 2< ψ (~x)
∂t
~
2m
−i~
~
~
= −∇<
ψ (~x)
∇ψ
(~x) = −div~j
m
Remarques :
◦
~j (~x, t) caractérise donc
ψ . Si d2~s est un élement de
D'après (7.2.9) le champ de vecteur
densité de probabilité de l'onde
le déplacement de la
surface alors
d ~s.~j
2
est la probabilité de traverser cette surface par unité de temps.
◦
3
Pour commenter (7.2.9), on rappelle aussi la formule de transport : si φt : R →
R3 est le ot au temps t engendré par le champ de vecteur ~j , si V0 est un volume
initial (ensemble de points) quelconque qui évolue au temps t en Vt := φt (V0 ) et si
R
Qt := Vt P (~x, t) d3~x est la probabilité de trouver la particule dans le volume Vt à
l'instant t alors (livre de Majda p.6)
dQt
=
dt
Z Vt
∂P
+ div~j d3~x
∂t
dQt
pour tout volume V0 est équivalent à (7.2.9).
dt
Le résultat suivant montre un exemple de calcul de courant de probabilité.
Ainsi
0=
Proposition 7.2.5. Pour les ondes incidentes
f (k, θ, ϕ)
e
ikr
r
ψinc = eikz
et diusées
ψdif f =
intervenant dans (7.2.7), les courants de probabilité sont respectivement :
~jinc. (~x) = ~ ~k,
m
2
~0 f k ~
~jdif f. (~x) =
k~ur ,
m
r2
Remarque 7.2.6. le courant total diusé sur la sphère de rayon


2
 4πr2  jdif f. = 4π ~ f ~k 0 k
|{z}
m
surf ace
est bien indépendant de
r.
r
est
(7.2.10)
7.2.
AMPLITUDE DE DIFFUSION
F (K, θ, ϕ)
299
Démonstration. (*) En coordonnées cartésiennes,
~ inc. =
∇ψ
∂
, ∂, ∂
∂x ∂y ∂z
eikz = (0, 0, ik) eikz
donc
~ inc
~jinc (~x) = < ψ inc. − i~ ∇ψ
m
~
~
(0, 0, k) = ~k
=
m
m
En coordonnées sphériques
(r, θ, ϕ),
(voir cours de math [Fau10b]), le gradient est
~ dif f =
∇ψ
∂ψ 1 ∂ψ
1 ∂ψ
,
,
∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ
donc (en ne gardant que les termes réels)
~ dif f
~jdif f (~x) = < ψ dif f. − i~ ∇ψ
m
2
~0 ~
~ f k 2
k~ur
=
k |ψdif f | , 0, 0 =
m
m
r2
Dénition 7.2.7. La section ecace diérentielle est
2 ~
2
r jdif f dσ ~ 0
k :=
= f ~k 0 dΩ
~jinc. section ecace totale est
(la deuxième égalité vient de (7.2.10)). La
Z
σtot :=
S2
Remarque :
surface
et
σtot
r2 dΩ,
D'après cette dénition,
dσ
dσ
dΩ
dΩ
(7.2.12)
est la probabilité de
vers l'élement de
diuser
~ dσ
jinc. . D'après (7.2.11), dΩ
potentiel V a un eet diuseur
(et de même dσ est la surface
normalisé par le courant de probabilité incident
ont l'unité d'une surface. L'interprétation est que le
comme une objet de
(7.2.11)
surface équivalente eective
équivalente qui ferait diuser dans l'angle solide
dΩ).
σtot
300
CHAPITRE 7.
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
7.3 Approximation de Born
La description précédente est très générale et s'applique à tout potentiel
r→∞
pour
V
qui décroit
mais arbitraire près de l'origine. En général il est très dicile (voire impos-
sible) de calculer les solutions de l'équation de Schrödinger stationnaire, et en particulier
l'amplitude de diusion
f
de Eq.(7.2.7). Cependant, dans le cas de l'absence de potentiel,
V = 0, il n'y a pas de diusion, f = 0, donc pour un potentiel très faible, on peut calculer
l'amplitude de diusion, en utilisant la théorie des perturbations stationnaires. Le résultat
obtenu s'appelle l'approximation
de Born.
Proposition 7.3.1. Approximation de Born . Pour un potentiel
V
faible, au premier
ordre dans la théorie des perturbations, l'amplitude de diusion est
Z
1
0
~ ~0
0
ei(k−k ).~x U (~x0 ) d3~x0
f ~k ' −
4π R3
U (~x) =
avec
En fait
rique
2m
V
~2
f ~k 0
(~x)
avec
~k 0 = (k, θ, ϕ)
(7.3.1)
(en coord. sphériques) le vecteur d'onde diusé.
prend une forme encore plus simple pour des potentiel à symétrie sphé-
U (r), appelés potentiels centraux, voir TD. Voir aussi le TD pour le calcul explicite
de sections ecaces diérentielles et totales, pour certains potentiels à symétrie sphérique.
Démonstration. (*) On souhaite résoudre
Ĥψ = Eψ
avec
Ĥ = Ĥ0 + V , Ĥ0 =
p2
. On sait que l'onde plane
2m
ψinc. = eikz
est solution de
Ĥ0 ψinc =
7.3.
301
APPROXIMATION DE BORN
Eψinc .
Alors
Ĥ − E ψ + Ĥ0 − E ψinc = 0
⇔ V ψ + Ĥ0 − E (ψ − ψinc ) = 0
−1
⇔ ψ = ψinc − Ĥ0 − E
Vψ
équation de Lipmann-Schwinger, on a utilisé
Dans cette dernière équation,
appelée
3
l'inverse de l'opérateur Ĥ0 − E
pour
z ∈ (C\R+ ),
qui n'est pourtant pas inversible. En fait il est inversible
z → E ∈ R+ .
et on considère ici la limite
En première approximation (cad en négligeant le potentiel
à l'ordre 1 on a l'expression de
ψ
ψ
(1)
V ), on a ψ (0) = ψinc . Ensuite
l'approximation de Born :
dans
−1
= ψinc − Ĥ0 − E
V ψ (0)
−1
= ψinc − Ĥ0 − E
V ψinc
(7.3.2)
(On peut continuer et obtenir l'approximation de Born à l'ordre
−1
Ĥ0 − E
V ψ (n−1) , mais rien ne garantit que cette suite converge !).
Le noyau de Schwartz
4
de la résolvante, appelée
lim h~x| Ĥ0 − z
−1
z→E
Les signes
±
= (E) > 0
ou
0
|~x i =
ψ
(1)
:
ψ (n) = ψinc −
fonction de Green de
~2
2m
Ĥ0 ,
est
5
0
e±ik|~x −~x|
4π |~x0 − ~x|
dépendent de la limite utilisée pour approcher
= (E) < 0).
n
E ∈ R
(par le demi-plan
Donc avec l'approximation de Born (7.3.2) :
Z
−1
(~x) = ψinc (~x) − h~x| Ĥ0 − E
|~x0 iV (~x0 ) h~x0 |ψinc i d3~x0
Z
0
e±ik|~x −~x|
0
ikz
U (~x0 ) eikz d3~x0
=e −
0
4π |~x − ~x|
En champ lointain,
r = |~x| |~x0 |
alors
2~x~x0 ~x02
|~x − ~x | = ~x − 2~x~x + ~x = r 1 − 2 + 2
r
r
0 2
3.
De façon générale, l'opérateur inverse
4. Pour un opérateur
0
h~x|Â|~x i
appelée
5. Comme
Â,
0
2
02
Ĥ0 − E
−1
2
est appelé
les éléments de matrice dans la base position forment une fonction
noyau
de
Schwartz de l'opérateur.
Ĥ0 =
~2
2m
la résolvante de Ĥ0 .
(−∆),
il s'agit de la fonction de Green
résultat est standard :
G=
Voir (A.1.3) dans l'appendice.
eik|x−y|
4π |x − y|
G
K (~x, ~x0 ) =
de l'opérateur Laplacien sur
R3 .
Ce
302
CHAPITRE 7.
donc (comme
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
(1 + x)1/2 = 1 + 12 x + o (x))
02 ~x~x0
~x
0
= r + O (1)
|~x − ~x | = r 1 − 2 + O
r
r
Donc
0
e±ik|~x −~x| ' e±ikr e∓ik
Ainsi, comme
0
~
0
ψ
(1)
~
x~
x0
r
~0
0
= e±ikr e∓ik ~x ,
~k 0 = k ~x .
r
eikz = eik~x ,
e±ikr
−
4πr
Z
~0
~
0
0
e∓ik ~x U (~x0 ) eik~x d3~x0
ikr e
ikz
= e + f (k, θ, ϕ)
r
(~x) ' e
ikz
e+ikr et avec
Z
1
~ 0
f (k, θ, ϕ) = −
ei∆~x U (~x0 ) d3~x0 ,
4π
où on a gardé la solution sortante
~ = ~k − ~k 0 .
∆
Remarques :
◦
Le résultat de Born (7.3.1) montre que au premier ordre, l'amplitude de diusion
f ~k 0
est directement reliée à la
Transformée de Fourier du potentiel
U (~x).
D'après la théorie des transformées de Fourier, on peut donc reconstruire le potentiel
par une transformée de Fourier inverse. Cela s'appelle le
◦
problème inverse.
Par exemple si le potentiel est périodique, (ce qui est le cas en cristallographie, où
l'on fait diuser une onde quantique de neutron ou une onde électromagnétique de
type rayon X, sur un cristal) alors l'amplitude de diusion est la T.F. d'une fonction
périodique, et d'après la théorie
des séries de Fourier, c'est un réseau périodique de
distributions de Dirac
δ ~kn
appelé
réseau réciproque. (C'est en eet le réseau
dual du réseau cristallin). On retrouve ainsi la
théorie de la diraction de Bragg
[AM76].
@@ Mettre gure de réseau réciproque pour crital et quasi cristal (= par déf le réseau
réciproque est discret). @@
Exercice 7.3.2. @@ à developper @@ Si le potentiel
de Dirac sur le réseau
LZ3
U (~x) est une somme de distributions
L, ex : or, cuivre, fer austérite,
(cad cristal cubique de période
diamant), montrer que les pics de diusion sont en
~ = ~k − ~k 0 L = 2π m,
L∆
~
m
~ ∈ Z3
appelés condition
de Laue (1914). La résolution graphique de cette équation est la
suivante et utilise la
sphère d'Ewald (1921).
Dans le cas courant d'une poudre de petits monocristaux, on moyenne sur les directions.
7.4.
OPÉRATEUR DE DIFFUSION, LA MATRICE
Ŝ
303
7.4 Opérateur de diusion, la matrice Ŝ
Re-considérons le problème général de la diusion sans faire l'approximation de Born.
Nous rappelons un résultat simple mais fondamental que nous avons obtenu qui est la décomposition (7.2.1) d'une onde stationnaire en amplitudes entrantes et sortantes
en champ lointain
a± (θ, ϕ),
r 1.
Le résultat suivant montre que ces deux amplitudes sont reliées entre elles.
Proposition 7.4.1. A
tir de l'amplitude
ou
k > 0 xé, l'amplitude de l'onde sortante a+ (θ, ϕ) s'exprime à para− (θ, ϕ) par un opérateur unitaire appelé opérateur de diusion
matrice S :
Ŝ (k) :
( 2 2
L (S )
→ L2 (S 2 )
a− (θ, ϕ) → a+ (θ, ϕ) = Ŝ (k) a− (θ, ϕ)
Remarques :
◦
Le produit scalaire sur
L2 (S 2 )
est
RR
S2
a (θ, ϕ) b (θ, ϕ) dΩ,
avec
dΩ = sin θdθdϕ,
l'unitarité de l'opérateur s'écrit donc :
ka+ k = Ŝ (k) a− = ka− k
ZZ
2
|a− (θ, ϕ)|2 dΩ
|a+ (θ, ϕ)| dΩ =
ZZ
⇔
(7.4.1)
S2
S2
La propriété d'unitarité traduit donc
la conservation de la probabilité lors de
la diusion (et cela apparait clairement dans la preuve ci-dessous).
◦
Dans le cas particule libre, c'est à dire avec un potentiel nul
V = 0, on a vu d'après
equ.(7.2.6) que l'opérateur de diusion s'exprime à partir de l'opérateur parité :
Ŝ (k) = −P̂
◦
En général (potentiel
sion
f (k, θ, ϕ)
V
non nul), d'après l'expression (7.2.8), l'amplitude de diu-
peut s'exprimer à partir de l'opérateur de diusion par l'expression
suivante :
f (k, θ, ϕ) = −
◦
Connaissant le potentiel
(2π)
(2π) Ŝ (k) δ (θ − π) −
δ (θ)
k
k
(7.4.2)
V (~x) qui détermine le processus de collision, le problème
général en théorie de la diusion consiste à trouver l'expression de cet opérateur
de diusion
Ŝ (k).
304
CHAPITRE 7.
◦
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
Expérimentalement, on envoit une onde incidente
a−
et on observe l'onde sortante
a+ . Plus précisément on détecte la distribution de probabilité |a+ (θ, ϕ)|2 . On a
donc accès à l'opérateur de diusion
Ŝ (k).
Un problème important est de trouver
les lois des forces d'interaction modélisées par le potentiel
V (~x),
responsables de
cette collision. En d'autres termes, un problème important est de résoudre ce que
l'on appelle le
problème inverse : déterminer le potentiel
connaissance de la matrice
Ŝ (k)
V (~x),
à partir de la
de diusion.
Démonstration. (*) (de la proposition 7.4.1). Par dénition même d'un opérateur unitaire,
il faut montrer la conservation de probabilité, Eq.(7.4.1). Pour cela on utilise la relation
Sr de rayon
r. L'équation de conservation de la probabilité (7.2.9)
∂P
= 0 (en régime stationnaire)
tenant compte du fait que
∂t
Z
Z
~j.d2~s
0=
div ~
(7.4.3)
j =
(7.2.9) qui traduit la conservation de la probabilité. On considère la sphère
r 1. On note Br
la boule de rayon
intégrée sur la boule
Br ,
et
donne
Br
Sr
Or d'après (7.2.1) et (7.2.10) le courant a deux composantes (entrante et sortante)
~j = ~j+ + ~j−
On a
2
a± ~k 0 ~
k~ur
avec ~
j± = ±
m
r2
R
R 0 2
~j± .d2~s = ± ~ k
a ~k dΩ donc la conservation
m
Sr
sr ±
donne
ZZ
ZZ
2
|a− (θ, ϕ)|2 dΩ
|a+ (θ, ϕ)| dΩ =
S2
S2
Montrant que
Ŝ (k)
de la probabilité (7.4.3)
est unitaire. (@@ En fait il reste à montrer que
cation cad que pour toute donnée entrante
a−
Ŝ
est bien une appli-
il y a une solution, et inversement).
7.5 Théorie des ondes partielles pour les potentiels centraux
On va supposer maintenant une hypothèse simplicatrice qui est que le potentiel
est invariant par rotation, donc de la forme
V (r), r = |~x|.
On dit que c'est un
V (~x)
potentiel
central ou potentiel à symétrie sphérique.
Rappels :
D'après la théorie des harmoniques sphériques, voir Théorème 6.3.1 page
2
2
262, sous l'action du groupe des rotations, l'espace L (S ) se décompose en espaces de
représentations irréductibles :
L2 S 2 = ⊕∞
l=0 Dl
7.5. THÉORIE DES ONDES PARTIELLES POUR LES POTENTIELS CENTRAUX305
Yl,m (θ, ϕ), m = −l . . . + l et l xé forment une base de l'espace Dl . Donc les fonctions
Yl,m (θ, ϕ) avec l = 0, 1 . . . ∞, m = −l, −l + 1, . . . + l forment une base de l'espace des
2
2
fonctions a (θ, ϕ) ∈ L (S ). Par conséquent dans cette base on peut exprimer l'opérateur
de diusion Ŝ (k) par une matrice (innie) dont les éléments sont :
et
(S (k))(l0 ,m0 ),(l,m) = hYl0 ,m0 |Ŝ (k) Yl,m i
Nous allons voir que pour les potentiels
V
à symétrie sphérique, cette matrice est très
simple : la diusion sur un potentiel central se fait de façon indépendante pour chaque
Dl . On appelle cela un canal de diusion. De
diusion est caractérisée par une seule phase δl .
moment angulaire l , i.e. dans chaque espace
plus dans chaque canal
l
la matrice de
Plus précisément,
Proposition 7.5.1. Si
V (r)
est un potentiel à
symétrie sphérique alors l'opérateur de
diusion est de la forme très simple :
isl (k) ˆ
Ŝ (k) = ⊕∞
IdDl
l=0 e
c'est à dire qu'il est diagonal dans la base
Yl,m ,
hYl0 ,m0 |Ŝ (k) Yl,m i = eisl (k) δl0 ,l δm0 ,m
avec l'amplitude
eisl (k) qui dépend de l seulement. Dans le cas V = 0, on a eisl (k) = (−1)l+1 .
Pour cette raison, on décide d'écrire en général :
eisl (k) = (−1)l+1 ei2δl
où
δl
est appelé le
déphasage.
Argument heuristique
utilisant principe d'incertitude :
si
l k.a
(ou
~ L k~p.ak).
en particulier à basse énergie,
signicatif. C'est la diusion
isotrope ou diusion s.
δl ' 0
l = 0 est
(voir TD) On a
k → 0,
seul le mode
306
CHAPITRE 7.
Exemple :
en TD, on calcule les déphasages
INTRODUCTION À LA THÉORIE DE LA DIFFUSION
δl
pour un potentiel central constant par
morceaux.
Démonstration. La symétrie sphérique se traduit par la relation
R̂Ŝ (k) R̂−1 = Ŝ (k) ,
h
i
⇔ Ŝ (k) , R̂ = 0
∀R̂
opérateur de rotation.
2
2
∞
et d'après le Lemme de Schur page 266, sur l'espace L (S ) = ⊕l=0 Dl (formé de repres.
∞
irreduc. non équivalentes) on déduit que Ŝ (k) = ⊕l=0 λk IˆDl avec λk ∈ C. Finalement le
−1 ˆ
+
−1
ˆ
fait que Ŝ (k) est unitaire s'écrit Ŝ
= Ŝ −1 . Or Ŝ + = ⊕∞
= ⊕∞
IDl
l=0 λk IDl et Ŝ
l=0 (λk )
2
−1
donc λk = λk ⇔ |λk | = 1. Donc λk est de module 1, et on peut choisir de l'écrire sous la
is (k)
forme λk = e l
.
V = 0 (pas de potentiel), on a vu en (7.2.6) que l'opérateur de diusion
Ŝ = −P̂ . Or P̂Ylm = (−1)l Ylm donc P̂|Dl = (−1)l Iˆ et Ŝ|Dl = (−1)l+1 Iˆ. On déduit que
= (−1)l+1 .
Dans le cas
est
eisl
Proposition 7.5.2. Si
V (r)
est un potentiel à symétrie sphérique, la section ecace
totale déni en (7.2.12) s'écrit :
σtot =
∞
X
σl
l=0
avec la section
ecace partielle des ondes l donnée par :
σl =
4π (2l + 1) 2
sin (δl )
k2
Démonstration. (*) On a vu en (7.4.2) que l'amplitude de diusion est donnée par
(2π)
(2π) f (k, θ) = −
Ŝ (k) δ (θ − π) −
δ (θ)
k
k
ϕ en symétrie sphérique). Notons P̂l : L2 (S 2 ) → Dl le projecteur orthogonal sur l'espace Dl (des harmoniques sphériques à l xé). La relation de fermeture s'écrit
IˆL2 (S 2 ) = ⊕l P̂l . Dans le cas de la symétrie sphérique on a P̂l Ŝ (k) = eisl (k) P̂l donc
(indépendante de
(2π) X P̂l Ŝ (k) δθ=π + δθ=0
k
l
(2π) X isl
e P̂l δθ=π + P̂l δθ=0
=−
k
l
f (k, θ) = −
7.5. THÉORIE DES ONDES PARTIELLES POUR LES POTENTIELS CENTRAUX307
Par parité,
se projette
P̂l δθ=π (θ) = (−1)l P̂l δθ=0 (θ). Par ailleurs δθ=0 est indépendant
seulement sur m = 0 :
P̂l δθ=0 (θ) = hθ, ϕ|Yl0 ihYl0 |0, 0i = Yl0 (θ, ϕ) Yl0 (0, 0)
de
ϕ
donc
Donc
(2π) X isl
l
e (−1) + 1 Yl0 (θ, ϕ) Yl0 (0, 0)
f (k, θ) = −
k
l
Finalement d'après (7.2.11) la section ecace totale est
Z
σtot =
|f (k, θ)|2 dΩ =
S2
2
(2π)2 X isl
2
l
(−1)
+
1
e
|Yl0 (0, 0)|
k2
l
Pour éliminer les termes non diagonaux
des harmoniques sphériques
2l+1 1/2
et que
4π
P
l0 6=l , on a utilisé la relation d'orthogonalité
On utilise maintenant que |Yl0 (0)| =
hYl0 m0 |Ylm i = δl0 ,l δm0 ,m .
2 2 2
isl
l
e (−1) + 1 = −ei2δl + 1 = e−iδl − eiδl = 4 sin2 δl
Alors
σtot
2l + 1
(2π)2 X
2
4 sin δl
=
k2
4π
l
4π X
= 2
(2l + 1) sin2 δl
k l