devoir de sciences - physiques n°5

D EVOIR DE S CIENCES - P HYSIQUES N °5
L A SONDE VOYAGER 2
A. É TUDE DES SATELLITES DE N EPTUNE ( / 12)
1. Le mouvement des satellites
a. L’orbite de Néréide est décrite dans le référentiel neptunocentrique.
b. 1
ère
loi de Kepler : le satellite Néréide décrit une orbite elliptique dont Neptune occupe l’un des foyers.
2
ème
loi de Kepler : le segment reliant les centres de Neptune et Néréide balaye des aires égales pendant des durées
égales.
c. Demi-longueur a du grand axe de Néréide :
d. D’après la seconde loi de Kepler, l’aire de la surface délimitée par les points N, P
1
et P
2
est égale à l’aire de la surface
formée par les points N, A
1
et A
2
.
e. Le rayon NP est plus court au voisinage du péricentre qu'il ne l'est au voisinage de l'apocentre. Pour que les surfaces
de ces aires balayées soient égales il faut nécessairement que les portions d'orbite vérifient l'inégalité :
1 2 1 2
PP A A
> Or ces portions d’orbite
1 2
PP
et
1 2
A A
sont parcourues pendant la même durée ∆t.
La vitesse de Néréide est donc plus grande au niveau du péricentre et plus faible au voisinage de l'apocentre.
f. 3
ème
loi de Kepler : le carré de la période de révolution T
2
de Néréide autour de Neptune est proportionnel au cube du
demi grand axe a.
22
23N2
T4
k cste
G.Ma π
= = =
g.
( )
( )
2
2
15 2 3
13 3
5 3
1
5,877 86400
T
5,778.10 s .m
R3,547.10 .10
− −
×
= =
h. D'après la 3
ème
loi de Kepler :
2 2
1 2
3 3
1 2
T T
R a
=
d'où :
2 3
2 3 2
1 2
2 2 1
3 3
1 1
T a
T a T
R R
= =
soit :
( )
( )
3
jour jour 6
3
2
2 1 3 3
8
1
5513.10
a
T T 5,877 360,1 jours solaires
R3,547.10
= = × =
ou en utilisant la constante k précédemment calculée :
2
23
2
T
k
a
=
( )
3
3 15 6 7
2 2
T k.a 5,778.10 5513.10 3,112.10 s 360,1 jours
solaires
−
= = × = =
Le texte indique que Néréide met 360 jours pour boucler son orbite, cette valeur est bien cohérente avec la période de
révolution de Néréide calculée.
2. Le mouvement de Triton
a. Force gravitationnelle exercée par Neptune sur Triton :
1 N
2
1
M .M
F G u
R
= −
d'où en norme :
( )
22 26
11 21
1 N
2 2
5 3
1
M .M 2,147.10 1,025.10
F G 6,67.10 1,17.10 N
R3,5470.10 .10
−
×
= = × =
b. Deuxième loi de Newton appliquée à Triton :
ext 1
F M .a
Σ = soit :
1
M
G−
N1
2
1
.M u M
R=
.a
donc :
N
2
1
M
a G u
R
= − et a pour norme :
N
2
1
G.M
aR =
a
Neptune
N
T
Triton
F
u

Or, le mouvement de Triton étant circulaire uniforme :
2
1
1
v
a
R
=
D'où en égalisant les deux expressions :
N
2
1
G.M
R
2
1
1
v
R
= soit :
N
11
G.M
vR =
c.
11 26
3 1 1
8
6,67.10 1,025.10
v 4,39.10 m.s 4,39km.s
3,547.10
−
− −
×
= = =
L’énoncé indique une vitesse orbitale de 4km.s
–1
(1 chiffre significatif), ce qui compte tenu de cette précision est
cohérent.
d. Triton parcourt à la vitesse v
1
son orbite de longueur 2 π R
1
pendant la durée T
1
:
1
11
2 R
v
T
π
=
Donc :
3
1 1 1
1 1
1 N N
2 R R R
T 2 R 2
v G.M G.M
π
= = π = π
e.
( )
3
8
5
111 26
3,547.10
T 2 5,08.10 s 5,87 jours solaires
6,67.10 1,025.10
−
= π = =
× La valeur est cohérente avec celle de l'énoncé.
B. D ÉCOLLAGE DE LA FUSÉE T ITAN IIIE ( / 8)
1. Les premières secondes de vol
a. La masse de la fusée diminue :
m
2
= m
0
– 2×4,00.10
3
= 630.10
3
– 2×4,00.10
3
= 622.10
3
kg ⇒ p
2
= m
2
.v
2
= 622.10
3
× 20,2 = 1,26.10
7
kg.m.s
–1
m
3
= m
0
– 3×4,00.10
3
= 630.10
3
– 3×4,00.10
3
= 618.10
3
kg ⇒ p
3
= m
3
.v
3
= 618.10
3
× 27,8 = 1,72.10
7
kg.m.s
–1
b.
7 7
7 1
3 2
3 2
p p
p 1,72.10 1,26.10
0,460.10 kg.m.s
t t t 1
−
−
∆ −
= = =
∆ −
c. Système : fusée
Référentiel : terrestre galiléen
Bilan des forces :
- poids
P
- force de propulsion
F
2
ème
loi de Newton :
ext
dp p
F
dt t
∆
Σ = ≈
∆
en prenant ∆t = t
3
– t
2
= 1s
p
P F
t
∆
+ =
∆
et en projetant sur un axe Oz vertical ascendant :
z
z z
p
P F
t
∆
+ =
∆
soit :
p
P F
t
∆
− + =
∆
d'où :
p p
F P m.g
t t
∆ ∆
= + = +
∆ ∆
La masse de la fusée est prise égale à : m = 620.10
3
kg (moyenne de m
1
et m
2
)
3 7 7 3
F 9,81 620.10 0,460.10 1,07.10 N 10,7.10 kN
= × + = =
Il y a bon accord avec la valeur du texte (écart relatif : 2%).
2. Après 2 minutes de vol
a. - l'énergie cinétique de la fusée :
2
3 2 9
1 1
2 2
c
E m.v (630 480).10 240 4,32.10 J
= = × − × =
- l'énergie potentielle de pesanteur de la fusée :
(
)
3 3 10
pp
E m.g.z 630 480 .10 9,81 60.10 8,83.10 J
= = − × × =
- l'énergie mécanique totale de la fusée :
9 10 10
M c pp
E E E 4,32.10 8,83.10 9,26.10 J
= + = + =
b. Avec A point à l'altitude 0 et B point sur la verticale passant par A à 60km d'altitude :
(
)
6 3 11
AB
W F F.AB F.AB 10,5.10 60.10 6,3.10 J
= = = × =
c.
(
)
(
)
(
)
10
M M M M
v 0 et z=0
E E 2min E 0s E 2min 9,26.10 J
=
∆ = − = =
donc :
(
)
AB M
W F E
> ∆
La force
F
a permis de propulser la fusée ainsi que les deux propulseurs et le propergol jusqu’à 60km d’altitude. Les
forces de frottement de l’air, opposées au mouvement, dissipent de l’énergie : elles ont un travail résistant qui vient
"réduire" l’énergie gagnée par la fusée.
(
)
(
)
(
)
M
moteur >0 résistant <0
E W forces non conservatives W F W forces de f
rottements
∆ = Σ = +