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Quatre satellites terrestres Document : M.Moppert - CPF - Beyrouth
Corrigé
I. Première partie : le premier satellite artificiel
1. Exprimer vectoriellement la force exercée
par la Terre (de centre d’inertie O, de masse MT et de rayon RT)
sur Spoutnik 1 (de centre d’inertie S et de masse m), supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma (la
constante de gravitation universelle sera notée G).
2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen. En appliquant la deuxième loi de
Newton établir l'expression vectorielle
de l'accélération du centre d’inertie du satellite.
2ème loi de Newton :
=>
et
II. Deuxième partie : les satellites artificiels à orbites circulaires
1. a) En reprenant les résultats de la première partie, établir que le mouvement circulaire du centre d’inertie de
Hubble est uniforme.
est un vecteur radial centrifuge. L’expression trouvée en I.2 montre que
et
ont la même
direction et des sens contraires. On en déduit que
est un vecteur radial centripète et que le
mouvement est circulaire uniforme.
b)
É
tablir l’expression littérale de la valeur v du vecteur vitesse du centre d’inertie de Hubble en fonction des
grandeurs MT, RT, h et G.
Dans une base de Frenet (S,
) :
=
Or, le mouvement est uniforme :
= 0 et
=
=
=> v =
avec r = RT + h
c)
É
tablir l’expression littérale de la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis
retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire.
T =
avec :
=> T =
et T = 2.
Il s’ensuit : T2 = 42.
=>
= Cte (troisième loi de Kepler)
2. a) Montrer que seule l’une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
La figure 2 est incompatible avec la 2ème loi de Newton. En effet, le vecteur accélération est
dans le plan orbital. Or, d’après la 2ème loi de Newton, la direction du vecteur accélération doit
être la même que celle de la force de gravitation, c'est-à-dire la droite (OS), ce qui n’est pas le
cas ici (on peut dire aussi que le point O doit être au centre de l’orbite).
b) Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ?
La trajectoire de la figure 1 est la seule qui puisse correspondre au satellite géostationnaire. Le
plan contenant l'orbite du satellite est le plan équatorial. Ainsi, le satellite peut rester à la
verticale d'un même lieu si sa période de révolution est égale à la période de rotation de la
Terre.