TS Physique Quatre satellites terrestres Exercice résolu I. Première

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TS Physique
Quatre satellites terrestres
Exercice
résolu
Enoncé
Passionné d'astronomie, un élève a collecté sur le réseau Internet de nombreuses informations
concernant les satellites artificiels terrestres. Il met en oeuvre ses connaissances de physique
pour les vérifier et les approfondir.
I. Première partie : le premier satellite artificiel
Si la possibilité théorique de mettre un satellite sur orbite autour de la Terre fut signalée en
1687 par Isaac Newton, il a fallu attendre le 4 octobre 1957 pour voir le lancement du premier
satellite artificiel, Spoutnik 1, par les soviétiques.
1. Exprimer vectoriellement la force exercée F par la Terre (de centre d’inertie O, de masse
MT et de rayon RT) sur Spoutnik 1 (de centre d’inertie S et de masse m), supposé ponctuel, et la
représenter sur un schéma (la constante de gravitation universelle sera notée G).
2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen. En appliquant la
deuxième loi de Newton établir l'expression vectorielle aS de l'accélération du centre d’inertie
du satellite.
II. Deuxième partie : les satellites artificiels à orbites circulaires
1. Le télescope spatial Hubble (de centre d’inertie S), qui a permis de nombreuses découvertes
en astronomie depuis son lancement en 1990, est en orbite circulaire à l’altitude h = 600 km et il
effectue un tour complet de la Terre en une durée T = 100 min.
a) En reprenant les résultats de la première partie, établir que le mouvement circulaire du centre
d’inertie de Hubble est uniforme.
b) Établir l’expression littérale de la valeur v du vecteur vitesse du centre d’inertie de Hubble en
fonction des grandeurs MT, RT, h et G.
c) Établir l’expression littérale de la période T de son mouvement en fonction des grandeurs
précédentes puis retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire.
2. Les satellites
géostationnaires
comme
Météosat
sont des appareils
d’observation
géostationnaires. On
propose
ci-contre
trois
trajectoires
hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre.
a) Montrer que seule l’une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
b) Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ?
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III. Troisième partie : les satellites artificiels à orbites elliptiques
Les satellites peuvent être placés sur différentes orbites, en fonction de leur mission. Un
incident lors de leur satellisation peut modifier l'orbite initialement prévue. Hipparcos, un
satellite d'astrométrie lancé par la fusée Ariane le 8 août 1989, n'a jamais atteint l’orbite
prévue : un moteur n'ayant pas fonctionné, il est resté sur une orbite elliptique entre 500 km et
36000 km d'altitude.
1. Les satellites artificiels obéissent aux lois de Kepler. La deuxième loi de Kepler, dite « loi des
aires », précise que « des aires balayées par le rayon reliant le satellite à l' astre attracteur
pendant des durées égales, sont égales ». Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une
orbite elliptique.
2. a) Sans souci d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de
l'orbite du centre d’inertie S du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie O
de la Terre et les points P et A correspondant respectivement aux valeurs 500 km et 36000 km
d’altitude.
b) En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse
d'Hipparcos sur son orbite n'est pas constante.
c) Préciser en quels points de l’orbite la vitesse d’Hipparcos est maximale puis minimale.
IV. Quatrième partie : les missions des satellites artificiels
Aujourd'hui, plus de 2600 satellites gravitent autour de la Terre. Ils interviennent dans de
nombreux domaines : téléphonie, télévision, localisation, géodésie, télédétection, météorologie,
astronomie ... Leur spectre d'observation est vaste : optique, radar, infrarouge, ultraviolet,
écoute de signaux radioélectriques ...
1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les valeurs limites min
et max des longueurs d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.
2. La célérité de la lumière dans le vide est c = 3,0  108 m.s-1. En déduire les valeurs limites min
et max en fréquence de la lumière visible.
3. Pourquoi doit-on préciser « dans le vide » pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?
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Corrigé
I. Première partie : le premier satellite artificiel
1. Exprimer vectoriellement la force exercée F par la Terre (de centre d’inertie O, de masse MT et de rayon RT)
sur Spoutnik 1 (de centre d’inertie S et de masse m), supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma (la
constante de gravitation universelle sera notée G).
S (m)
F
F  G.
MT .m
d
2
.u
O
u
d
(MT)
2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen. En appliquant la deuxième loi de
Newton établir l'expression vectorielle a de l'accélération du centre d’inertie du satellite.
S
2ème loi de Newton : F  m.aS => m.a S  G.
MT .m
d
2
.u et a S  G.
MT
d
2
.u
II. Deuxième partie : les satellites artificiels à orbites circulaires
1. a) En reprenant les résultats de la première partie, établir que le mouvement circulaire du centre d’inertie de
Hubble est uniforme.
u est un vecteur radial centrifuge. L’expression trouvée en I.2 montre que aS et u ont la même
direction et des sens contraires. On en déduit que aS est un vecteur radial centripète et que le
mouvement est circulaire uniforme.
b) Établir l’expression littérale de la valeur v du vecteur vitesse du centre d’inertie de Hubble en fonction des
grandeurs MT, RT, h et G.
dv
Dans une base de Frenet (S, ,n ) : aS =
Or, le mouvement est uniforme :
=> v =
G.
MT
dv
dt
dt
. 
v
2
.n
r
= 0 et aS =
v
2
.n = G.
r
MT
r2
.n
avec r = RT + h
(RT  h)
c) Établir l’expression littérale de la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis
retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire.
T=
2

avec : 
v
R
T
2
2
Il s’ensuit : T = 4 .
 h
R
T
=> T =
 h
G.MT
2.(RT  h)
v
3
=>
T
R
T
2
et T = 2.
4
R
T
 h
3
G.MT
2
 h
3

G.MT
= Cte (troisième loi de Kepler)
2. a) Montrer que seule l’une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
La figure 2 est incompatible avec la 2ème loi de Newton. En effet, le vecteur accélération est
dans le plan orbital. Or, d’après la 2ème loi de Newton, la direction du vecteur accélération doit
être la même que celle de la force de gravitation, c'est-à-dire la droite (OS), ce qui n’est pas le
cas ici (on peut dire aussi que le point O doit être au centre de l’orbite).
b) Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ?
La trajectoire de la figure 1 est la seule qui puisse correspondre au satellite géostationnaire. Le
plan contenant l'orbite du satellite est le plan équatorial. Ainsi, le satellite peut rester à la
verticale d'un même lieu si sa période de révolution est égale à la période de rotation de la
Terre.
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III. Troisième partie : les satellites artificiels à orbites elliptiques
1. Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
1ère loi de Kepler : les satellites décrivent des orbites elliptiques dont l’astre attracteur est l’un
des foyers.
3ème loi de Kepler : le rapport du carré de la période de révolution d’une planète sur son orbite
elliptique et du cube du demi-grand axe de l’ellipse est constant.
2. a) Sans souci d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du centre
d’inertie S du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie O de la Terre et les points P et A
correspondant respectivement aux valeurs 500 km et 36000 km d’altitude.
S
P
A
O
2a
b) En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son
orbite n'est pas constante.
N
M
P
A
O
M’
N’
D’après la loi des aires, les aires des triangles MON et M’ON’ sont égales, et les distances MN et
M’N’, inégales, sont parcourues pendant des durées égales : il n’est donc pas possible que le
satellite se déplace toujours sur son orbite avec la même vitesse.
c) Préciser en quels points de l’orbite la vitesse d’Hipparcos est maximale puis minimale.
La vitesse est maximale au point P (périgée) et minimale au point A (apogée).
IV. Quatrième partie : les missions des satellites artificiels
1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les valeurs limites min et max des
longueurs d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.
min = 400 nm (limite entre le violet et l’ultra-violet).
max = 800 nm (limite entre le rouge et l’infra-rouge).
2. La célérité de la lumière dans le vide est c = 3,0  108 m.s-1. En déduire les valeurs limites min et max en
fréquence de la lumière visible.
 
c

=>  
Soit : min =
c

3, 0  10
800  10
8
9
= 3,8 x 1014 Hz et max =
3, 0  10
400  10
8
9
= 7,5 x 1014 Hz
3. Pourquoi doit on préciser « dans le vide » pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?
Dans le vide, la lumière se déplace à la célérité c = 3,0 x 10 8 m.s-1. Dans les autres milieux, elle se
déplace avec une célérité v < c : la fréquence d’une radiation étant constante, la longueur d’onde
dépend du milieu de propagation.
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