Modèle mathématique.

C. JOURDAIN
MATHEMATIQUES – T E.S.
CHAP. 5 : PROBABILITES
PARTIE 1 : CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE
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CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE
I – Conditionnement
1) Probabilité d’un événement B sachant un événement A.
Exemple : Dans un lycée de 1000 élèves, 45% des élèves sont des filles, 55% des garçons. Parmi les filles, 30% sont
internes, et 70% externes. Parmi les garçons, 60% sont internes et 40% externes.
On interroge un élève au hasard de ce lycée. On note F l’événement : « l’élève est une fille », G l’événement : « l’élève est un
garçon », I l’événement : « l’élève est interne » et E l’événement : « l’élève est externe ».
On constate que la personne interrogée est une fille, et on se demande quelle est la probabilité qu’elle soit interne.
Parmi les élèves de l’école, il y a :…....... % de Filles, soit …………….filles en tout, et parmi elles, ……% sont internes, soit
………. Filles internes dans l’école. La probabilité cherchée est donc : ………………….
 On dit que c’est la probabilité de l’événement I sachant que l’événement F est réalisé » et on la note PF ( I ).
On constate que : P(F) = …………... et P(F  I) = …………, donc que : PF ( I ) = ……………………….
Définition : Un loi de probabilité P est définie sur l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire. A et B sont deux
évènements et P(A)  0. La probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé, notée PA (B), est définie
par : PA (B) =
Error!
Conséquences :  Si P(A)  0, P(AB) = P(A)  PA (B).
 Si P(B)  0, P(AB) = P(B)  PB (A).
2) Représentation à l’aide d’un arbre de probabilités.
On représente la situation de l’exemple précédent par l’arbre pondéré ci-dessous :
I
F
E
I
G
E
Révisions de 1ère : Faire les exercices : n°4 à 7 p 190 – n°10 p 191 – n°13 et 16 p 192 – n°23, 24 p 194
Pour le paragraphe : Faire les exercices : n°28, 31, 33 p 194 – n°53 p 201
II – Indépendance. Formule des probabilités totales.
Au 1er niveau de
branches, on inscrit
les probabilités des
évènements
correspondants.
Au 2ème niveau de
branches, on
inscrit les
probabilités
conditionnelles
correspondantes.
La succession de deux branches
représente l’événement G  E. Sa
probabilité est le produit des probabilités
inscrites sur les deux branches
précédentes.
La somme des probabilités
inscrites sur des branches
issues d’un même nœud est
égale à 1.

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PARTIE 1 : CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE
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1) Indépendance de deux évènements
Définition : Dire que deux évènements A et B sont indépendants signifie que : P(AB) = P(A)  P(B)
Exemple : On jette successivement deux pièces de monnaie non truquées. Les évènements A : « la première pièce donne
FACE » et B : « les deux pièces donnent le même résultat » sont-ils indépendants ?
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Remarques : Si A et B sont indépendants, alors PB (A) =
Error!
=
Error!
= P(A).
Ce qui signifie que la probabilité de réalisation de A n’est pas influencée par la réalisation ou non de B.
Faire les exercices : n°34, 36, 39 p 196 – n°60 p 202
2) Formule des probabilités totales
Définition : Dire que des évènements forment une partition de l’ensemble E des issues signifie qu’ils sont deux à deux
disjoints et que leur réunion est E.
Exemple :
A et
Error!
forment une partition de E si :
A 
Error!
=  et A 
Error!
= E
Dessin illustratif :
Théorème : Formule des probabilités totales.
Soient A1, A2, …, An des évènements de probabilité non nulle, réalisant une partition de . Alors la
probabilité d’un évènement quelconque B est donnée par : P(B) = P(BA1) + P(BA2) + …+ P(BAn),
c'est-à-dire : lorsque P(Ai)  0 pour tout i :
P(B) = P(A1)  PA1(B) + P(A2)  PA2(B) + …+ P(An)  PAn(B)
Dessin illustratif :
Exemple : Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires. On effectue deux tirages successifs sans remise.
Calculer la probabilité d’obtenir une boule noire au deuxième tirage.
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Faire les exercices : n°42 p 197 – n°43, 44 p 198 – n°65 p 203
III – Modélisation d’expériences indépendantes
1) Expériences aléatoires indépendantes

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PARTIE 1 : CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE
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Des expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque le résultat obtenu à l’une de ces expériences ne dépend pas
des résultats obtenus aux expériences précédentes.
Modélisation : Dans le cas d’une succession d’expériences indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats est le produit
des probabilités de chaque résultat de cette liste.
Exemple : On considère les trois expériences aléatoires décrites ci-dessous.
E1 : on lance un pièce de monnaie équilibrée et on note si elle retombe sur Pile (P) ou sur face (F).
E2 : on lance un dé équilibrée où figurent 1, 1, 2, 2, 3, 3 et on note le nombre de la face supérieure.
E3 : on tire au hasard un jeton dans un sac contenant 2 jetons où est inscrit a et 3 jetons où est inscrit b.
On effectue successivement ces 3 expériences indépendantes E1, E2 et E3. Ceci constitue une nouvelle expérience aléatoire,
dont les issues sont des listes de résultats comme : (F, 3, a). Il y a ici ………… issues.
On note P la loi de probabilité sur l’ensemble E des 12 listes de résultats. Montrer que la probabilité de P(F, 3, a) est
Error!
.
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2) Répétition d’expériences identiques et indépendantes
Exemple :
 On tire au hasard une boule dans une urne contenant 4 boules
rouges (R), 3 boules vertes (V), et 2 boules noires (N).
Etablir la loi de probabilité ci-contre :
Issue
R
V
N
Probabilité
 On répète deux fois l’expérience précédente. La première boule tirée est remise dans l’urne avant le deuxième tirage, ainsi les
deux expériences sont identiques et indépendantes.
 On note P la loi de probabilité sur l’ensemble E des 9 listes de résultats. L’événement S : « Obtenir deux boules de la même
couleur » est réalisé par les listes (R, R), (V, V), (N, N). Avec le modèle retenu au 1), montrer que la probabilité de S est de
Error!
.
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DM : n°76 p 207 – n°80 p 208 – n°81 p 209