2) Troncature, arrondi, valeur approchée

Chap. 1 – Les
nombres – Seconde
C. Jourdain
I – Les différents ensembles de nombres
 Les entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels est noté N = {0, 1, 2, 3, 4, …}
 Les entiers relatifs : A tout n IN, on peut faire correspondre deux entiers relatifs : n et n
L’ensemble des entiers relatifs est noté Z = {…, 2, 1, 0, 1, 2, … } = (N )  N
 Les décimaux : Un nombre décimal d est le quotient d’un entier relatif par une puissance de 10 :
Il peut s’écrire sous forme décimale comprenant une partie entière, une virgule, et, après la virgule, une partie décimale finie.
L’ensemble des nombres décimaux est noté D = { d = Error! , a  Z, n  N }
 Les rationnels : L’ensemble des nombres rationnels est noté Q = { r = Error! , p  Z, q  N * },
Rappel : N * = N \ {0}= N  {0}
 Les irrationnels : Ce sont les nombres réels qui ne sont pas des rationnels. On sait démontrer que
n est irrationnel lorsque n
est un entier non carré. Ainsi, 2, 3, 5, … sont des irrationnels. Les nombres  et exp(1) = e sont aussi des irrationnels.
 Les réels : L’ensemble des nombres réels est noté IR, c’est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons.
Il est usuellement représenté par une droite graduée orientée.
Chaque nombre réel est représenté par un point de la droite graduée, et tout point de cette droite représente un réel.
En résumé :
R
NZDQR
Représentation :
Q
D
Z
N
« en patates » :
Faire les exercices : n°1 à 5 page 24 et n°12, 14 et 16 page 25.
II – Ecritures des nombres
1
Chap. 1 – Les
nombres – Seconde
C. Jourdain
1) Ecriture scientifique
Théorème :
(admis)
Pour tout nombre décimal n non nul, il existe un entier relatif p et un nombre décimal a vérifiant :
– 10 < a  – 1 ou 1  a <10 tels que n = a  10p
A chaque nombre n sont associés un seul a et un seul p.
Remarque :
a est un nombre avec un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre n’étant pas zéro.
Définition :
L’écriture n = a  10p est appelée écriture de n en notation scientifique.
Exemple :
6 250 000 = 6,25  106
2) Troncature, arrondi, valeur approchée
Définition :
La troncature est une valeur approchée obtenue en supprimant toutes les décimales à partir d’un certain rang.
Exemples :
1] Soit a = 1,278 934
…… est la troncature de a au deuxième rang ; c’est aussi une valeur approchée par défaut de a à 10-2 près.
…….est une valeur approchée par excès à 10-2 près de a ; c’est aussi l’arrondi au rang 2 ou à la précision de 10 -2.
2] Soit b = – 2,732 172
…… est la troncature de b au deuxième rang ; c’est aussi une valeur approchée par excès de b à 10-2 près.
…….est une valeur approchée par défaut à 10-2 près de b ; c’est aussi l’arrondi au rang 2 ou à la précision de 10 -2.
3] Soit c = Error!
…… est la troncature de c au douzième rang ; c’est aussi une valeur approchée par défaut de c à 10-12 près.
…….est une valeur approchée par excès à 10-12 près de c ; c’est aussi l’arrondi au rang 12 ou à la précision de 10 -12.
3) Calcul à la main ou à la calculatrice
Effectuer à la main puis à la calculatrice : A = Error!
(Attention aux parenthèses à ajouter pour le calcul à la calculatrice)
Faire les exercices : 17, 18 page 25 ; 19 à 21, 23, 28, 30, 31 page 26.
III – Nombres premiers
1) Divisibilité, diviseurs, nombres premiers.
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Chap. 1 – Les
nombres – Seconde
C. Jourdain
Définition 1 :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Dire que b est un diviseur de a, signifie que le quotient Error!
est un entier naturel. On appelle nombre premier tout nombre supérieur à 2 qui a exactement deux diviseurs :
1 et lui-même .
Exemples :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,…
Remarques :
 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
 0 est divisible par tous les nombres
 1 n’est divisible que par lui-même.
2) Décomposition en produit de facteurs premiers
(admis) Tout entier naturel non premier, supérieur à 2, peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres
Théorème :
premiers. Cette décomposition est unique.
Exemples :
9 = 3  3 ; 26 = 2  13 ; 30 = 2  3  5
Remarque :
Dire que deux nombres entiers sont premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1.
Exemples :
10 = 1  2  5 et 21 = 1  3  7 donc 10 et 21 sont premiers entre eux.
33 = 1  3  11 et 14 = 1  2  7 donc 33 et 14 sont premiers entre eux.
14 = 2  7 et 28 = 2  2  7, 2 est donc un diviseur commun de 14 et de 28, donc 14 et 28 ne sont pas
premiers entre eux.
On sait depuis Euclide (IIIe siècle av J-C) qu’il y a une infinité de nombres premiers.
Remarque :
3) Deux méthodes bien utiles
a.
Pour simplifier une fraction, et trouver sa forme « irréductible » : Simplifier Error!
Il faut pour cela trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des deux nombres entiers.
Méthode :
1] Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers : 24 = 23  3 et 50 = 2  52
2] Calculer le PGCD : (Plus Grand Diviseur Commun) : PGCD(24,50) = 2
3] On conclut en simplifiant en haut et en bas de la fraction par le PGCD : Error! = Error! = Error!
b.
Pour additionner deux fractions, et trouver le plus petit dénominateur commun : Simplifier Error! + Error!
Il faut pour cela trouver le Plus Petit Multiple Commun (PPCM) des deux nombres entiers.
Méthode :
1] Décomposer chaque nombre en produit de facteurs premiers : 24 = 23  3 et 50 = 2  52
2] Calculer le PGCD : (Plus Petit Multiple Commun) : PPCM(24,50) = 23  3  52 = 24  52 = 22  3  50 = 600
3] On conclut en prenant le PPCM comme plus petit dénominateur commun : Error! + Error! = Error! + Error! =
Error! = Error!
Faire les exercices : 33, 35, 39 page 27 ; 44, 45, 48, 51 page 27 et 55 page 28.
IV – Développer, factoriser
1) Développer un produit, c’est l’écrire sous la forme d’une somme ou d’une différence.(sans parenthèses)
Théorème :
a (b +c) = ab + ac;
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
2) Identités remarquables (pour développer plus rapidement)
Théorème :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ;
(a + b) (a – b) = a2 – b2
3) Identités remarquables et factorisation (cf. fiche méthode 1)
3
Chap. 1 – Les
nombres – Seconde
C. Jourdain
Faire les exercices : 59 à 61, 63 à 65 page 28 ; 72 à 76 page 29, 79 à 82 page 29.
V – Puissances. Radicaux
1) Calculer avec des puissances
Définition 3 : Soit n  N* et a  R, on a : a n = a  a  …  a et a – n = Error! , si a  0.
n fois
Théorème 4 :
a0=1
a1=a
a n a m = a n+m
Error!Error!
= a n
a n b n = (ab) n
(a n )m = a n m
m
2) Calculer avec des radicaux
Définition 4 : Soit a  R+, la racine carrée de a, notée a, est le nombre positif dont le carré est égal à a.
Théorème 5 :
Si a > 0, a2 = a, et ( a)2 = a
Si a < 0, a2 = – a
Si a et b positifs,
ab = a b
et
Error! = Error! , si b  0.
VI – Résoudre une équation, avec A, B et C réels
1) Deux règles importantes :
A+B=C
Error! = C
2) Equations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0 :

A=C–B;

(AB = 0)
(A = BC et B  0)

(A = 0 ou B = 0)
3) Equations de la forme x2 = a :
Théorème 6 :
Si a < 0, l’équation x2 = a n’admet pas de solutions dans R
Si a > 0, l’équation x2 = a admet deux solutions exactement : a et  a
Si a = 0, l’équation x2 = a admet une unique solution: 0
Démonstration : x2 = a

x2 – a = 0

x2 – ( a )2 = 0

(x – a) (x + a) = 0

( x = a ou x =  a )
4