1 Rayon de convergence d`une série enti`ere 2 Opérations sur les

Séries entières. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples
1
Rayon de convergence d’une série entière
P
On appelle série entière toute série numérique de la forme an z n , où (an )n≥n0 est une suite donnée de nombres complexes.
P
Théorème 1 (Abel)PSoit
an z n une série entière. S’il existe un scalaire non nul z0 tel que la suite (an z0n )n∈N soit bornée,
n
alors la série entière
an z converge absolument pour tout nombre complexe z tel que |z| < |z0 | .
P
Théorème 2 Soit
an z n une série entière et I l’ensemble de réels défini par :
©
ª
I = r ∈ R+ | (an rn )n∈N est bornée .
Cet ensemble I est un intervalle qui est soit réduit à {0} , soit de la forme [0, R] ou [0, R[ avec R > 0, soit égal à R+ tout
entier.
On peut donc poser :
©
ª
R = sup r ∈ R+ | (an rn )n∈N est bornée
P
Définition 1 Le rayon de convergence de la série entière
an z n est l’élément de R+ défini par :
©
ª
R = sup r ∈ R+ | (an rn )n∈N est bornée .
P
P
an z n et
bn z n de rayons de convergence respectifs R et R0 .
Théorème 3 Soient
1. Si |an | ≤ |bn | pour tout n ∈ N, alors R ≥ R0 .
2. Si an = O (bn ) , alors R ≥ R0 .
3. Si an ∼ bn , alors R = R0 .
P
an z n est une série entière telle qu’il existe deux réels strictement positifs m et M avec :
Corollaire 1 Si
∀n ∈ N, m ≤ |an | ≤ M
alors le rayon de convergence de cette série vaut 1.
Théorème 4 En utilisant les notations qui précèdent :
P
1. dans le cas où R > 0, la série
an z n est absolument convergente pour tout z tel que |z| < R ;
P
P
2. dans le cas où R est fini, les séries
an z n et
|an z n | sont divergentes pour tout z tel que |z| > R.
¯
¯
¯ an+1 ¯
¯
¯=
Théorème 5 (d’Alembert) Soit
an z une série entière telle que an 6= 0 à partir d’un certain rang. Si lim ¯
n→+∞
an ¯
1
1
1
= 0.
` ∈ R+ , alors le rayon de convergence de cette série est R = avec les conventions = +∞ et
`
0
+∞
P
Corollaire 2 Si
an z n est une série entière telle que an soit une fonction rationnelle non nulle de n, alors son rayon de
convergence vaut 1.
p
P
Théorème 6 (Cauchy) Soit
an z n une série entière. Si lim n |an | = ` ∈ R+ , alors le rayon de convergence de cette
P
n
n→+∞
1
série est R = .
`
Théorème 7 (Hadamard) Le rayon de convergence de la série entière
R=
1
lim sup
n→+∞
2
p
n
|an |
P
an z n est :
.
Opérations sur les séries entières
P
P
Théorème 8 Soient
an z n et
bn z n deux sériesPentières de rayons de convergence respectifs R et R0 . On désigne par R00
le rayon de convergence de la série entière somme
(an + bn ) z n .
1. Si R 6= R0 , alors R00 = min (R, R0 ) .
2. Si R = R0 , alors R00 ≥ min (R, R0 ) .
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3. Dans tous les cas, on a pour |z| < min (R, R0 ) :
+∞
X
+∞
X
(an + bn ) z n =
n=0
P
n=0
+∞
X
bn z n
n=0
P
0
00
bn z n deux séries entières
¶ de convergence respectifs R et R . On désigne par R
µ n de rayons
P P
ak bn−k z n . On a R00 ≥ min (R, R0 ) et pour |z| < min (R, R0 ) :
le rayon de convergence de la série entière produit
Théorème 9 Soient
an z n et
an z n +
k=0
à n
+∞ X
X
n=0
!
ak bn−k
n
z =
à +∞
X
an z
n
! Ã +∞
X
n=0
k=0
!
bn z
n
n=0
P
P
Théorème 10 Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R. La série dérivée
nan z n−1 et la série primitive
P an n+1
z
ont le même rayon de convergence R.
n+1
P
Corollaire 3 Une série entière
an z n et ses séries dérivées :
X
n (n − 1) · · · (n − p + 1) an z n−p
ont toutes le même rayon de convergence.
3
Fonctions développables en série entière
Définition 2 On dit qu’une fonction f définie sur un disque ouvert D (0, α) dePcentre 0 et de rayon α > 0 du plan complexe
est développable en série entière au voisinage de 0 s’il existe une série entière
an z n et un réel r ∈ ]0, α] tels que :
∀z ∈ D (0, r) , f (z) =
+∞
X
an z n
n=0
Théorème 11 Si une fonction est développable en série entière au voisinage de 0, alors ce développement est uniquement
déterminé.
Corollaire 4 Si une fonction paire [resp. impaire] f est développable en série entière au voisinage de 0, alors ce développement
est nécessairement de la forme :
+∞
X
f (z) =
a2n z 2n
n=0
[resp. :
f (z) =
+∞
X
a2n+1 z 2n+1 ]
n=0
P
an xn une série entière réelle de rayon de convergence fini R > 0 telle que la série
+∞
P
soit convergente. En notant f (x) =
an xn pour x ∈ ]−R, R[ , on a :
Théorème 12 (Abel) Soit
P
an Rn
n=0
lim f (x) =
x→R−
+∞
X
an Rn
n=0
et f peut être prolongée par continuité en R en posant f (R) =
+∞
P
n=0
an R n .
Théorème 13 Soit f une fonction de la variable réelle développable en série entière sur un intervalle ]−r, r[ où r > 0 avec :
∀x ∈ ]−r, r[ , f (x) =
+∞
X
an xn
n=0
où (an )n∈N est une suite de nombres complexes. La fonction f est alors indéfiniment dérivable sur ]−r, r[ avec, pour tout
entier p ≥ 1 et tout réel x ∈ ]−r, r[ :
f (p) (x) =
+∞
X
n (n − 1) · · · (n − p + 1) an xn−p =
n=p
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+∞
X
n!
an xn−p .
(n
−
p)!
n=p
Corollaire 5 Soit f une fonction de la variable réelle développable en série entière sur un intervalle ]−r, r[ où r > 0 avec :
∀x ∈ ]−r, r[ , f (x) =
+∞
X
an xn
n=0
où (an )n∈N est une suite de nombres complexes. La primitive de f nulle en 0 est la fonction F définie par :
∀x ∈ ]−r, r[ , F (x) =
+∞
X
an n+1
x
.
n+1
n=0
Théorème 14 Soit f une fonction de classe C ∞ sur un voisinage ouvert I de 0 et à valeurs complexes. Cette fonction est
développable en série entière au voisinage de 0 si, et seulement si, il existe un réel r > 0 tel que ]−r, r[ ⊂ I et pour tout x ∈ I
la suite (Rn (x))n∈N définie par :
n
X
f (k) (0) k
Rn (x) = f (x) −
x
k!
k=0
converge vers 0 sur ]−r, r[ . Dans ce cas, on a f (x) =
+∞
P f (n)
n=0
série entière est supérieur ou égal à r.
(0) n
x pour tout x ∈ ]−r, r[ et le rayon de convergence de cette
n!
Théorème 15 Soit f une fonction de classe C ∞ sur un voisinage ouvert I de 0 et à valeurs complexes. S’il existe un réel
r > 0 tel que ]−r, r[ ⊂ I et pour tout x dans ]−r, r[ on peut trouver une constante Mx avec :
¯
¯
¯
¯
∀n ∈ N, ¯f (n) (x)¯ ≤ Mx ,
alors f est développable en série entière dans ]−r, r[ avec f (x) =
+∞
P f (n)
n=0
(0) n
x .
n!
En utilisant ce résultat, on déduit les développements classiques suivants où le rayon de convergence est indiqué entre
parenthèses.
Théorème 16 (Bernstein) Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C ∞ sur ]−a, a[ avec a > 0. Si f (2k) (x) ≥ 0 pour
tout entier naturel k et tout x ∈ ]−a, a[ alors f est développable en série entière sur ]−a, a[ .
4
Séries entières et équations différentielles
Étant données des fonctions a0 , · · · , ap−1 , b à valeurs réelles ou complexes développables en série entière sur un intervalle
ouvert ]−R, R[ où p ≥ 1 et 0 < R ≤ +∞, on peut montrer que pour y0 , · · · , yp−1 donnés dans R ou C,il existe une unique
fonction y développable en série entière sur ]−R, R[ solution du problème de Cauchy :
½ (p)
y = a0 y + a1 y 0 + · · · + ap−1 y (p−1) + b
y (k) (0) = yk (0 ≤ k ≤ p − 1)
Les séries entières peuvent aussi être utilisées pour déterminer des solutions d’équations différentielle linéaire à coefficients
non constants, développables en série entière au voisinage de 0, de la forme :
ap y (p) = a0 y + a1 y 0 + · · · + ap−1 y (p−1) + b
la fonction ap pouvant s’annuler en 0.
Exercice 1 p désigne un entier naturel et on s’intéresse à l’équation de Bessel d’indice p :
¡
¢
x2 y 00 + xy 0 + x2 − p2 y = 0.
1
xk , où k est un entier naturel, a un rayon de convergence infini et
k! (p + k)!
³ x ´p µ ³ x ´2 ¶
∀x ∈ R, Jp (x) =
Ip −
,
2
2
Montrer que la série entière de terme général
que la fonction Jp définie par :
(22)
où on a noté pour tout réel x :
Ip (x) =
+∞
X
k=0
1
xk ,
k! (p + k)!
est solution sur R de l’équation différentielle (22) .
70
Inversement, on peut trouver le développement en série entière d’une fonction en écrivant cette fonction comme solution
d’une équation différentielle.
α
Exercice 2 Soit f la fonction définie sur ]−1, 1[ par f (x) = (1 + x) où α est un réel non entier naturel.
1. Montrer que f est l’unique solution sur ]−1, 1[ de l’équation différentielle avec condition initiale suivante :
½
(1 + x) y 0 − αy = 0
y (0) = 1
2. Retrouver le développement en série entière de f ainsi que son rayon de convergence.
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