1 Rayon de convergence d`une série enti`ere 2 Opérations sur les

S´eries enti`eres. Rayon de convergence. Propri´et´es de la somme. Exemples
1 Rayon de convergence d’une s´erie enti`ere
On appelle s´erie enti`ere toute s´erie num´erique de la forme Panzn,o`u (an)n≥n0est une suite donn´ee de nombres complexes.
Th´eor`eme 1 (Abel) Soit Panznune s´erie enti`ere. S’il existe un scalaire non nul z0tel que la suite (anzn
0)n∈Nsoit born´ee,
alors la s´erie enti`ere Panznconverge absolument pour tout nombre complexe ztel que |z|<|z0|.
Th´eor`eme 2 Soit Panznune s´erie enti`ere et Il’ensemble de r´eels d´efini par :
I=©r∈R+|(anrn)n∈Nest born´eeª.
Cet ensemble Iest un intervalle qui est soit r´eduit `a {0},soit de la forme [0, R]ou [0, R[avec R > 0,soit ´egal `a R+tout
entier.
On peut donc poser :
R= sup ©r∈R+|(anrn)n∈Nest born´eeª
D´efinition 1 Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere Panznest l’´el´ement de R+d´efini par :
R= sup ©r∈R+|(anrn)n∈Nest born´eeª.
Th´eor`eme 3 Soient Panznet Pbnznde rayons de convergence respectifs Ret R0.
1. Si |an| ≤ |bn|pour tout n∈N,alors R≥R0.
2. Si an=O(bn),alors R≥R0.
3. Si an∼bn,alors R=R0.
Corollaire 1 Si Panznest une s´erie enti`ere telle qu’il existe deux r´eels strictement positifs met Mavec :
∀n∈N, m ≤ |an| ≤ M
alors le rayon de convergence de cette s´erie vaut 1.
Th´eor`eme 4 En utilisant les notations qui pr´ec`edent :
1. dans le cas o`u R > 0,la s´erie Panznest absolument convergente pour tout ztel que |z|< R ;
2. dans le cas o`u Rest fini, les s´eries Panznet P|anzn|sont divergentes pour tout ztel que |z|> R.
Th´eor`eme 5 (d’Alembert) Soit Panznune s´erie enti`ere telle que an6= 0 `a partir d’un certain rang. Si lim
n→+∞¯¯¯¯
an+1
an¯¯¯¯
=
`∈R+,alors le rayon de convergence de cette s´erie est R=1
`avec les conventions 1 0= +∞et 1 +∞= 0.
Corollaire 2 Si Panznest une s´erie enti`ere telle que ansoit une fonction rationnelle non nulle de n, alors son rayon de
convergence vaut 1.
Th´eor`eme 6 (Cauchy) Soit Panznune s´erie enti`ere. Si lim
n→+∞
n
p|an|=`∈R+,alors le rayon de convergence de cette
s´erie est R=1
`.
Th´eor`eme 7 (Hadamard) Le rayon de convergence de la s´erie enti`ere Panznest :
R=1
lim sup
n→+∞
n
p|an|.
2 Op´erations sur les s´eries enti`eres
Th´eor`eme 8 Soient Panznet Pbnzndeux s´eries enti`eres de rayons de convergence respectifs Ret R0.On d´esigne par R00
le rayon de convergence de la s´erie enti`ere somme P(an+bn)zn.
1. Si R6=R0,alors R00 = min (R, R0).
2. Si R=R0,alors R00 ≥min (R, R0).
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3. Dans tous les cas, on a pour |z|<min (R, R0):
+∞
X
n=0
(an+bn)zn=
+∞
X
n=0
anzn+
+∞
X
n=0
bnzn
Th´eor`eme 9 Soient Panznet Pbnzndeux s´eries enti`eres de rayons de convergence respectifs Ret R0.On d´esigne par R00
le rayon de convergence de la s´erie enti`ere produit Pµn
P
k=0
akbn−k¶zn.On a R00 ≥min (R, R0)et pour |z|<min (R, R0):
+∞
X
n=0 Ãn
X
k=0
akbn−k!zn=Ã+∞
X
n=0
anzn!Ã+∞
X
n=0
bnzn!
Th´eor`eme 10 Soit Panznune s´erie enti`ere de rayon de convergence R. La s´erie d´eriv´ee Pnanzn−1et la s´erie primitive
Pan
n+ 1zn+1 ont le mˆeme rayon de convergence R.
Corollaire 3 Une s´erie enti`ere Panznet ses s´eries d´eriv´ees :
Xn(n−1) ···(n−p+ 1) anzn−p
ont toutes le mˆeme rayon de convergence.
3 Fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere
D´efinition 2 On dit qu’une fonction fd´efinie sur un disque ouvert D(0, α)de centre 0et de rayon α > 0du plan complexe
est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0s’il existe une s´erie enti`ere Panznet un r´eel r∈]0, α]tels que :
∀z∈D(0, r), f (z) =
+∞
X
n=0
anzn
Th´eor`eme 11 Si une fonction est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0,alors ce d´eveloppement est uniquement
d´etermin´e.
Corollaire 4 Si une fonction paire [resp. impaire] fest d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0,alors ce d´eveloppement
est n´ecessairement de la forme :
f(z) =
+∞
X
n=0
a2nz2n
[resp. :
f(z) =
+∞
X
n=0
a2n+1z2n+1 ]
Th´eor`eme 12 (Abel) Soit Panxnune s´erie enti`ere r´eelle de rayon de convergence fini R > 0telle que la s´erie PanRn
soit convergente. En notant f(x) =
+∞
P
n=0
anxnpour x∈]−R, R[,on a :
lim
x→R−f(x) =
+∞
X
n=0
anRn
et fpeut ˆetre prolong´ee par continuit´e en Ren posant f(R) =
+∞
P
n=0
anRn.
Th´eor`eme 13 Soit fune fonction de la variable r´eelle d´eveloppable en s´erie enti`ere sur un intervalle ]−r, r[o`u r > 0avec :
∀x∈]−r, r[, f (x) =
+∞
X
n=0
anxn
o`u (an)n∈Nest une suite de nombres complexes. La fonction fest alors ind´efiniment d´erivable sur ]−r, r[avec, pour tout
entier p≥1et tout r´eel x∈]−r, r[:
f(p)(x) =
+∞
X
n=p
n(n−1) ···(n−p+ 1) anxn−p=
+∞
X
n=p
n!
(n−p)!anxn−p.
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Corollaire 5 Soit fune fonction de la variable r´eelle d´eveloppable en s´erie enti`ere sur un intervalle ]−r, r[o`u r > 0avec :
∀x∈]−r, r[, f (x) =
+∞
X
n=0
anxn
o`u (an)n∈Nest une suite de nombres complexes. La primitive de fnulle en 0est la fonction Fd´efinie par :
∀x∈]−r, r[, F (x) =
+∞
X
n=0
an
n+ 1xn+1.
Th´eor`eme 14 Soit fune fonction de classe C∞sur un voisinage ouvert Ide 0et `a valeurs complexes. Cette fonction est
d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0si, et seulement si, il existe un r´eel r > 0tel que ]−r, r[⊂Iet pour tout x∈I
la suite (Rn(x))n∈Nd´efinie par :
Rn(x) = f(x)−
n
X
k=0
f(k)(0)
k!xk
converge vers 0sur ]−r, r[.Dans ce cas, on a f(x) =
+∞
P
n=0
f(n)(0)
n!xnpour tout x∈]−r, r[et le rayon de convergence de cette
s´erie enti`ere est sup´erieur ou ´egal `a r.
Th´eor`eme 15 Soit fune fonction de classe C∞sur un voisinage ouvert Ide 0et `a valeurs complexes. S’il existe un r´eel
r > 0tel que ]−r, r[⊂Iet pour tout xdans ]−r, r[on peut trouver une constante Mxavec :
∀n∈N,¯¯¯f(n)(x)¯¯¯≤Mx,
alors fest d´eveloppable en s´erie enti`ere dans ]−r, r[avec f(x) =
+∞
P
n=0
f(n)(0)
n!xn.
En utilisant ce r´esultat, on d´eduit les d´eveloppements classiques suivants o`u le rayon de convergence est indiqu´e entre
parenth`eses.
Th´eor`eme 16 (Bernstein) Soit fune fonction `a valeurs r´eelles de classe C∞sur ]−a, a[avec a > 0.Si f(2k)(x)≥0pour
tout entier naturel ket tout x∈]−a, a[alors fest d´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−a, a[.
4 S´eries enti`eres et ´equations diff´erentielles
´
Etant donn´ees des fonctions a0,··· , ap−1, b `a valeurs r´eelles ou complexes d´eveloppables en s´erie enti`ere sur un intervalle
ouvert ]−R, R[ o`u p≥1 et 0 < R ≤+∞,on peut montrer que pour y0,··· , yp−1donn´es dans Rou C,il existe une unique
fonction yd´eveloppable en s´erie enti`ere sur ]−R, R[ solution du probl`eme de Cauchy :
½y(p)=a0y+a1y0+··· +ap−1y(p−1) +b
y(k)(0) = yk(0 ≤k≤p−1)
Les s´eries enti`eres peuvent aussi ˆetre utilis´ees pour d´eterminer des solutions d’´equations diff´erentielle lin´eaire `a coefficients
non constants, d´eveloppables en s´erie enti`ere au voisinage de 0,de la forme :
apy(p)=a0y+a1y0+··· +ap−1y(p−1) +b
la fonction appouvant s’annuler en 0.
Exercice 1 pd´esigne un entier naturel et on s’int´eresse `a l’´equation de Bessel d’indice p:
x2y00 +xy0+¡x2−p2¢y= 0.(22)
Montrer que la s´erie enti`ere de terme g´en´eral 1
k! (p+k)!xk,o`u kest un entier naturel, a un rayon de convergence infini et
que la fonction Jpd´efinie par :
∀x∈R, Jp(x) = ³x
2´p
Ipµ−³x
2´2¶,
o`u on a not´e pour tout r´eel x:
Ip(x) =
+∞
X
k=0
1
k! (p+k)!xk,
est solution sur Rde l’´equation diff´erentielle (22) .
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Inversement, on peut trouver le d´eveloppement en s´erie enti`ere d’une fonction en ´ecrivant cette fonction comme solution
d’une ´equation diff´erentielle.
Exercice 2 Soit fla fonction d´efinie sur ]−1,1[ par f(x) = (1 + x)αo`u αest un r´eel non entier naturel.
1. Montrer que fest l’unique solution sur ]−1,1[ de l’´equation diff´erentielle avec condition initiale suivante :
½(1 + x)y0−αy = 0
y(0) = 1
2. Retrouver le d´eveloppement en s´erie enti`ere de fainsi que son rayon de convergence.
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