cours - Stepec Muriel

Chapitre 4 1ière S
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DERIVATION
Deux mathématiciens sont à l'origine de l'invention de la notion de dérivée au XVIIième siècle.
Newton (1642 – 1727 ) en établissant la notion de vitesse instantanée, que l'on appellera nombre dérivée
et Leibniz (1646 - 1716) qui s' intéressa au coefficient directeur de la tangente à une courbe.
I Limite réelle d'une fonction en zéro
1) Etude d'un exemple
Soit f : x
Error!
Error!
définie sur Df =
Error!
f ( 0 ) n’existe pas, mais f( x ) est calculable pour toute les valeurs de x très voisines de 0.
Chercher la limite d'une fonction en 0 c'est essayer de savoir ce que deviennent les nombres f ( x )
lorsque x prend des valeurs voisines de zéro. ( par exemple celles de x ] – 0,1 ; 0 [ ] 0 ; 0,1 [ )
Expérimentation:
x
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
-0,00001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
f ( x )
Le tableau de valeurs ci-dessus, nous permet de constater que les nombres f(x) semblent s’accumuler
autour de 8, lorsque x est voisin de 0.
Démonstration du résultat:
Pour tout x I; R* , on a : f ( x ) =
Ainsi, lorsque x prend des valeurs de plus en plus voisines de zéro, les nombres f ( x ) =
s’accumulent autour de 8 .
Plus précisément, ils finissent tous par se trouver dans l'intervalle I = ] 8 –  ; 8 +  [ , aussi petit que soit 
( > 0 )
Par exemple, si on choisit  = 0,001, tous les nombres f ( x ) = 8 – 4x sont dans I , lorsque – 0,00025 < x <
0,00025
On dit alors que 8 est la limite de f en 0 et on note : lim;x  0f(x) = 8
2) Limite réelle d'une fonction en 0
Soit f une fonction telle que 0 soit dans son ensemble de définition Df ou soit une borne de Df.
Intuitivement, dire que f a pour limite l en 0, signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus
proche de 0, les nombres f(x) correspondants viennent s’accumuler autour de l .
On note : lim;x  0f(x) = l
3) Résultats à connaître ( admis )
lim;x  0 x = 0 lim;x  0x ² = 0
lim;x  0x n = 0 ( n
I; N* )

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Exemples:
lim;x
0 ( – 3 x² + 2x – 8 ) =
lim;x
0 (
Error!
) =
lim;x
0
Error!
=
lim;x
0( – 3x² – 8+
Error!
) =
II Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur Df et x0 Df .
Soit h un réel non nul tel que (x0 + h ) Df .
On peut alors exprimer le taux de variation " la pente " de Cf entre x0 et x0+h par T(h) =
Error!
Nombre dérivé: f est dérivable en x0 lorsque
Error!
Error!
est un nombre réel.
Cette limite est le nombre dérivé en x0, on note : f '(x0 )=
Error!
Error!
Exemple: Les fonctions f(x) = x2 et g(x) = x sont – elles dérivables en 0 ?
Exercices: 1,2,5 p73
III Tangente à une courbe
Soit g(x) la fonction affine qui a pour représentation la droite (AN), N Cf
Déterminons l'expression analytique de g(x):
Soit M un point de la droite (AN) alors M(x,g(x)) et
Error!
= k
Error!
Soit P une fonction polynôme et Q est une fonction rationnelle définie en 0 .
lim;x  0P(x) = P(0) et lim;x  0Q(x) = Q(0)
Si P et Q sont définies et positives au voisinage de 0 , alors :
lim;x  0 P(x) = P(0) et lim;x  0 Q(x) = Q(0)
f (a) A
Error!
O
Error!
a a+h
y
Cf Tg
f(a+h) N
Soit f et g deux fonctions telles que lim;x  0f(x) = l et lim;x  0g(x) = l',
alors :
lim;x  0( f + g ) ( x ) = l + l’ et lim;x  0( f
g ) ( x ) = l
l’

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Donc g(x) =(x-a)
Error!
+ f((a)
Lorsque le point N se rapproche du point A et devient " extrêmement " proche de A jusqu'à ce que l'on
puisse considérer que la droite (AN) et Cf n'ont plus qu'un seul point commun: A, alors la droite (AN)
est la tangente en A à la courbe Cf.
Déterminez l'expression g(x) de la tangente à Cf en A en utilisant le nombre dérivé f'(a)
Si f est dérivable en a, la courbe Cf admet au point A ( a ; f ( a ) ) une tangente Tg de coefficient
directeur f'(a). Une équation de la tangente en ce point est : y = f’(a )(x – a) + f(a)
Exercices: 10, 13, 14, 16 p73
IV Approximation affine locale
Exemple: Déterminer une approximation
affine locale de f(x) = 2x2 + 5 pour x voisin de 3
Comme la tangente "semble" assez proche de Cf autour
du point A, on pense remplacer Cf par Tg autour de A.
Autrement dit, on remplace localement la fonction f par la
fonction affine représentée par Tg, c'est à dire que l'on remplace
le réel f(a + h) par le réel f(a) + h f '(a) pour h voisin de zéro.
On peut avoir d'autre approximation affine de C passant par A,
mais on admettra que celle fournie par la tangente est la
meilleure des approximations affines.
On dit alors que f(a) + h f '(a) est l'approximation affine
locale de f( a + h).
ou encore f(a) + (x-a) f '(a) est l'approximation affine locale
de f(x) pour x voisin de a.
La distance MM' mesure la valeur absolue de l'erreur commise.
f ( a + h )
f ( a ) + h f ’ ( a )
f ( a )
M
M’
A
Error!
O
Error!
a a + h
Cf Tg
T semble proche de Cf
autour du point A

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Exercices: 20,21,22 p 74
V La fonction dérivée
1) Définition
Définition: On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I ( I Df ) si pour tout x
appartenant à I , le nombre dérivé de f en x existe .
La fonction dérivée de f sur I est la fonction, notée f’,qui, à tout x  I , associe le réel f '(x).
Remarque: Par abus de langage, on dit que f’ est " la dérivée de f ".
Exemple : Déterminer la fonction dérivée de f(x) = x2
VI Fonctions dérivées des fonctions de références
Démon.: Montrer que la fonction dérivée de
Error!
est
Error!
sur
IR
*
VII Opération sur les fonctions dérivables
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors:
Fonction
Ensemble de définition
Dérivée
Ensemble de dérivabilité
f(x) = k
IR
f '(x) = 0
IR
f(x) = x
IR
f '(x) = 1
IR
f(x) = ax + b
IR
f '(x) = a
IR
f(x) = x2
IR
f'(x) = 2x
IR
f(x) = x3
IR
f'(x) = 3x2
IR
f(x) =
x
1
IR
*
f'(x) = -
2
1
x
IR
*
f(x) = x
[0 ; + ∞[
f'(x) = Error!
] 0 ; + ∞[
f(x) = xn et n  N*
IR
f'(x) = nxn-1 ,n  IN
IR
et n ≥ 1
f(x) = sin x
IR
f'(x) = cos x
IR
f(x) = cos x
IR
f'(x) = - sin x
IR

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Fonction
Fonction dérivée
Exemple
u + v
u' + v'
Si f(x) = x + Error! alors f'(x)=
uv
u'v + uv'
Si f(x) = x x alors f'(x) =
ku où k est un réel
ku'
Si f(x) = 3sinx – Error! alors f'(x) =
un
nu'un-1
Si f(x) = (3x2 – 2)5 alors f'(x) =
Error!
-Error!
Si f(x) = 1/x2-1 alors f'(x) =
Error!
Error!
Si f(x) = Error! alors f'(x) =
u (ax +b)
au'(ax + b)
Si f(x) = cos(2x -5) alors u(x) = et a =
Donc f'(x) =
Démon.: Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, montrer que (u + v)' (x) = u'(x) + v'(x)
Exemples: Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
a) f(x) = ( x2 + x + 1)2
b) f(x) = (x – 1)4(3 – x)3
c) f(x) =
Error!
d) f(x) = 2-x
Exercices: 23,25,28,29p74, 32, 35, 42,43,44,45, 53, 58, 59p75
Exercices de recherche: 62,63,64,65 p76 et 81p79 facultatif: 61p76
Problèmes approximations affines: 84, 85 p 79
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