cours - Stepec Muriel

1ière S
Chapitre 4
DERIVATION
Deux mathématiciens sont à l'origine de l'invention de la notion de dérivée au XVIIième siècle.
Newton (1642 – 1727 ) en établissant la notion de vitesse instantanée, que l'on appellera nombre dérivée
et Leibniz (1646 - 1716) qui s' intéressa au coefficient directeur de la tangente à une courbe.
I
Limite réelle d'une fonction en zéro
1)
Etude d'un exemple
Soit f : x Error!
Error! définie sur Df = Error!
f ( 0 ) n’existe pas, mais f( x ) est calculable pour toute les valeurs de x très voisines de 0.
Chercher la limite d'une fonction en 0 c'est essayer de savoir ce que deviennent les nombres f ( x )
lorsque x prend des valeurs voisines de zéro. ( par exemple celles de x  ] – 0,1 ; 0 [  ] 0 ; 0,1 [ )
Expérimentation:
x
-0,1
-0,01
-0,001
-0,0001
-0,00001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
0,1
f(x)
Le tableau de valeurs ci-dessus, nous permet de constater que les nombres f(x) semblent s’accumuler
autour de 8, lorsque x est voisin de 0.
Démonstration du résultat:
Pour tout x  I; R* , on a :
f(x)=
Ainsi, lorsque x prend des valeurs de plus en plus voisines de zéro, les nombres f ( x ) =
s’accumulent autour de 8 .
Plus précisément, ils finissent tous par se trouver dans l'intervalle I = ] 8 –  ; 8 +  [ , aussi petit que soit 
( > 0 )
Par exemple, si on choisit  = 0,001, tous les nombres f ( x ) = 8 – 4x sont dans I , lorsque – 0,00025 < x <
0,00025
On dit alors que 8 est la limite de f en 0 et on note : lim;
f(x) = 8
x0
2)
Limite réelle d'une fonction en 0
Soit f une fonction telle que 0 soit dans son ensemble de définition Df ou soit une borne de Df.
Intuitivement, dire que f a pour limite l en 0, signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus
proche de 0, les nombres f(x) correspondants viennent s’accumuler autour de l .
On note : lim;
f(x) = l
x0
3)
Résultats à connaître ( admis )
lim;
x0
x=0
lim;
x0
Stepec
lim;
x²=0
x0
x n = 0 ( n  I; N* )
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Chapitre 4
Soit P une fonction polynôme et Q est une fonction rationnelle définie en 0 .
lim;
P(x) = P(0) et
lim;
Q(x) = Q(0)
x0
x0
Si P et Q sont définies et positives au voisinage de 0 , alors :
lim;
P(x) = P(0)
et
lim;
Q(x) = Q(0)
x0
x0
Soit f et g deux fonctions telles que
alors :
lim;
x0
( f + g ) ( x ) = l + l’
et
lim;
x0
f(x) = l et lim;
x0
lim;
x0
g(x) = l',
( f  g ) ( x ) = l  l’
Exemples:
lim;x 0 ( – 3 x² + 2x – 8 ) =
lim;x 0 ( Error! ) =
lim;x 0Error! =
lim;x 0( – 3x² – 8+Error! ) =
II
Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur Df et x0  Df .
Soit h un réel non nul tel que (x0 + h ) Df .
On peut alors exprimer le taux de variation " la pente " de Cf entre x0 et x0+h par T(h) = Error!
Nombre dérivé:
Exemple:
f est dérivable en x0 lorsque Error! Error! est un nombre réel.
Cette limite est le nombre dérivé en x0, on note : f '(x0 )= Error! Error!
Les fonctions f(x) = x2 et g(x) = x sont – elles dérivables en 0 ?
Exercices: 1,2,5 p73
III
Tangente à une courbe
Soit g(x) la fonction affine qui a pour représentation la droite (AN), NCf
Déterminons l'expression analytique de g(x):
y
Cf
f(a+h)
Soit M un point de la droite (AN) alors M(x,g(x)) et Error! = k Error!
f (a)
Stepec
Error!
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O Error!
Tg
N
A
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a
a+h
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Donc g(x) =(x-a) Error! + f((a)
Lorsque le point N se rapproche du point A et devient " extrêmement " proche de A jusqu'à ce que l'on
puisse considérer que la droite (AN) et Cf n'ont plus qu'un seul point commun: A, alors la droite (AN)
est la tangente en A à la courbe Cf.
Déterminez l'expression g(x) de la tangente à Cf en A en utilisant le nombre dérivé f'(a)
Si f est dérivable en a, la courbe Cf admet au point A ( a ; f ( a ) ) une tangente Tg de coefficient
directeur f'(a). Une équation de la tangente en ce point est :
y = f’(a )(x – a) + f(a)
Exercices: 10, 13, 14, 16 p73
IV
Approximation affine locale
Comme la tangente "semble" assez proche de Cf autour
du point A, on pense remplacer Cf par Tg autour de A.
Autrement dit, on remplace localement la fonction f par la
fonction affine représentée par Tg, c'est à dire que l'on remplace
le réel f(a + h) par le réel f(a) + h f '(a) pour h voisin de zéro.
On peut avoir d'autre approximation affine de C passant par A,
mais on admettra que celle fournie par la tangente est la
meilleure des approximations affines.
On dit alors que f(a) + h f '(a) est l'approximation affine
locale de f( a + h).
ou encore f(a) + (x-a) f '(a) est l'approximation affine locale
de f(x) pour x voisin de a.
La distance MM' mesure la valeur absolue de l'erreur commise.
T semble proche de Cf
autour du point A
M
f(a+h)
f(a)+hf’(a)
f(a)
A
Cf
Tg
M’
Error!
O
Error!
a a+h
Exemple: Déterminer une approximation
2
affine locale de f(x) = 2x + 5 pour x voisin de 3
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Chapitre 4
Exercices: 20,21,22 p 74
V
La fonction dérivée
1)
Définition
Définition: On dit qu’une fonction f est dérivable sur un intervalle I ( I  Df ) si pour tout x
appartenant à I , le nombre dérivé de f en x existe .
La fonction dérivée de f sur I est la fonction, notée f’,qui, à tout x  I , associe le réel f '(x).
Remarque: Par abus de langage, on dit que f’ est " la dérivée de f ".
Exemple : Déterminer la fonction dérivée de f(x) = x2
VI
Fonctions dérivées des fonctions de références
Démon.:
Montrer que la fonction dérivée de Error! est Error! sur IR *
Fonction
Ensemble de définition
Ensemble de dérivabilité
Dérivée
f(x) = k
IR
f '(x) = 0
IR
f(x) = x
IR
f '(x) = 1
IR
f(x) = ax + b
IR
f '(x) = a
IR
f(x) = x2
IR
f'(x) = 2x
IR
f(x) = x3
IR
f'(x) = 3x2
IR
f(x) =
1
x
IR *
f'(x) = -
1
IR *
x2
[0 ; + ∞[
f'(x) = Error!
] 0 ; + ∞[
f(x) = xn et n  N*
IR
f'(x) = nxn-1 ,n  IN
IR et n ≥ 1
f(x) = sin x
IR
f'(x) = cos x
IR
f(x) = cos x
IR
f'(x) = - sin x
IR
f(x) = x
VII
Opération sur les fonctions dérivables
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors:
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Chapitre 4
Fonction
Fonction dérivée
Exemple
u+v
u' + v'
uv
u'v + uv'
ku où k est un réel
ku'
un
nu'un-1
Si f(x) = (3x2 – 2)5 alors f'(x) =
Error!
-Error!
Si f(x) = 1/x2-1 alors f'(x) =
Error!
Error!
Si f(x) = Error! alors f'(x) =
Si f(x) = x + Error! alors f'(x)=
Si f(x) = x x alors f'(x) =
Si f(x) = 3sinx – Error! alors f'(x) =
Si f(x) = cos(2x -5) alors u(x) =
u (ax +b)
au'(ax + b)
et a =
Donc f'(x) =
Démon.: Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, montrer que (u + v)' (x) = u'(x) + v'(x)
Exemples: Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
a) f(x) = ( x2 + x + 1)2
b) f(x) = (x – 1)4(3 – x)3
c) f(x) = Error! 4
d) f(x) = 2-x
Exercices:
Stepec
23,25,28,29p74, 32, 35, 42,43,44,45, 53, 58, 59p75
Exercices de recherche: 62,63,64,65 p76 et 81p79 facultatif: 61p76
Problèmes approximations affines: 84, 85 p 79
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