Les leviers + rappels de mécanique : support du cours 1

COMPLÉMENTS SUR LA
CINÉMATIQUE DU POINT
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
• Il sert de modèle à de nombreuses études simplifiées. Pour ces mouvements,
accélérés (a>0) ou décélérés (a<0), l’accélération reste constante au cours du temps
• Soient :
• ti : instant initial
• a=ai : l’accélération (m/s²)
• xi : le déplacement initial, à t=ti (m)
• Vi : la vitesse initiale (m/s)
• x(t) : le déplacement à l’instant t (m)
• V(t) : la vitesse à l’instant t (m/s)
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
• On peut exprimer t en fonction de V(t) et Vi
Exemple : conditions initiales
D’où
0,
0 0:
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
Travail et puissance d’une force
Rappel RFD : relation fondamentale de la
dynamique (pour un solide en translation)
Deuxième loi de Newton.
Soit un corps de masse constante,
l'accélération subie par un corps dans un référentiel
galiléen est proportionnelle à la résultante des forces
qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa
masse .
Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa
masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus
grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en
un laps de temps fixé).
Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est
appliquée produit une accélération.
Travail et puissance d’une force
Théorème de l’énergie cinétique
Théorème de l’énergie cinétique
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Théorème de l’énergie cinétique
• Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel
de masse m constante parcourant un chemin reliant un
point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est
égale à la somme des travaux W des forces extérieures
et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré :
• où EkA et EkB sont respectivement l’énergie cinétique du
solide aux points A et B.
MRUV : retour à notre skieur
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
Mouvement de Translation Rectiligne
Uniformément Varié MRUV
• Cas particulier : Equations horaires du mouvement sans déplacement initial et sans
• vitesse initiale
Exercice 1: pour vous entraîner
• Exercice 1
Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une
vitesse de 0,2 m/s.
Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).
Exercice 1 - corrigé
• Exercice 1
Un chariot de masse 2 tonnes est tracté sur des rails à une vitesse de 0,2 m/s.
Calculer la tension du câble (on néglige les frottements).
formule : PFD : ΣF = m . a
Application : T – mgcos40° = 0
T = mgcos40°
T =2000x10xcos40°=15321N
Exercice 2
• Une automobile de masse 850 kg est arrêtée sur une
route horizontale. Au démarrage, elle est propulsée par
une force constante dont la composante horizontale a
pour intensité 200 daN.
• 1) Quelle est la nature du mouvement ? Calculer
l’accélération de la voiture.
• 2) Quelle distance aura-t-elle parcourue après 5
secondes ?
•
• 3) Quelle sera sa vitesse à cet instant ?
Exercice 2 - corrigé
Exercice 3 (pour vous entraîner)
• Rolph Montag conduit une voiture à 50 km/h dans une rue
horizontale. La voiture a une masse de 1 060 kg.
Soudain, il freine pour s’arrêter.
• En supposant que la décélération est constante pendant
tout le freinage (a = -2 m/s²) :
•
• 1) Indiquer la direction et le sens de la force exercée sur
la voiture, calculer son intensité
• 2) Calculer la durée du freinage
• 3) Calculer la distance du freinage
Exercice 3 - corrigé
• Ernst Jünger conduit une voiture à 50 km/h dans une rue
horizontale. La voiture a une masse de 1 060 kg.
Soudain, il freine pour s’arrêter.
• En supposant que la décélération est constante pendant
tout le freinage (a = -2 m/s²) :
Exercice 4 (pour vous entraîner)
• Une automobile avec son conducteur a une masse de 1 000
kg. Pour simplifier on admettra, dans tout le problème, que la
somme de toutes les forces de frottement est constante,
parallèle au déplacement et égale à 150 N.
•
• 1) L’automobile monte une pente de 2,5 % (tan a = 0,025) à la
vitesse de 72 km/h. Au cours de cette montée le chauffeur
débraye (force motrice nulle). A quelle distance du point où il a
commencé le débrayage, la voiture s’arrête-t-elle ?
•
• 2) Au cours de cette même montée, la voiture roulant toujours
à 72 km/h, le chauffeur débraye et freine en même temps. La
voiture s’arrête après 50 m. Calculer la valeur de la force
résistante due au freinage.
•
Exercice 4 - corrigé
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LES LEVIERS
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Moment d’une force
• Le moment de force est l'aptitude d'une force à faire tourner un
système mécanique autour d'un point donné, que l'on nomme pivot
(ou axe).
• Les composantes et la norme d'un moment de force sont exprimées
en newton-mètre (Nm), dans le système international d'unités
• On choisit un sens positif et négatif en fonction du sens de rotation
provoqué par la force sur le système mécanique
• Exemple :
• Le moment est dit positif si la rotation engendrée est anti-horaire
(sens trigonométrique).
• Le moment est dit négatif si la rotation engendrée est horaire.
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Moment d’une force
• Le moment de la force F par rapport à l’axe o ( MF ) est égal au
produit de la distance d de l’axe à la droite d’action de la force (bras
de levier) par l’intensité de cette force en newton. Il s’exprime en
mètre newton (mN).
F
d
xo
MF = F⋅d
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A retenir
• Le moment d’une force est égal au produit de l’intensité de cette force
par la distance de cette force à l’axe de rotation .
• A l’équilibre, la somme des moments des forces qui font tourner le
solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces
qui le font tourner dans le sens contraire.
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Cas de nullité du moment d’une force
• Puisqu'il s'agit ensuite d'établir la somme nulle des moments, on peut
naturellement s'intéresser aux cas de nullité individuelle des
moments de force ; de par les propriétés du produit vectoriel :
1.
2.
3.
la force est nulle
le bras de levier est de longueur nulle. La force est donc appliquée
sur l’axe de rotation
La force est colinéaire au vecteur levier, la droite d'action passe par
l’axe, ce qui inclut aussi le cas précédent.
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Méthodes de calcul du moment d’une
force
1. le produit vectoriel
2. Produit de la Longueur du bras de levier par l’intensité
de la force
3. Par projection : On considère les 2 composantes de la
force dans un repère où un des axes est le levier et
l’autre axe est orthogonal au premier : le moment de la
composante de la force portée par l’axe sera nul, on
n’en tient donc pas compte. Le moment de la force par
rapport à l’axe sera donc égal à au produit de la norme
de la composante orthogonal par la distance à l’axe du
point d’application de la force.
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Moment d’une force : produit vectoriel
30
Moment d’une force: bras de levier
31
Moment d’une force: bras de levier
3) Par projection :
On considère les 2 composantes Fx
et Fy de la force dans un repère où
un des axes est le levier et l’autre
axe est orthogonal au premier
le moment de la composante de la
force portée par l’axe sera nul car
est colinéaire au levier.
Le moment de la force par rapport à
l’axe sera donc égal à au produit de
Fy par la distance à l’axe du point
d’application de la force :
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LEVIERS
Un levier est un solide très léger dont la forme est assimilable à une barre. Il
est soumis à trois forces :
la réaction du point d’appui R,
la force à vaincre ou résistance Fr,
la force motrice F appelée aussi parfois à tort Puissance (au sens de
force de puissance)
Selon la position relative de ces trois forces, on distinguera trois sortes de
leviers :
levier inter-appui : l’appui est au centre
levier inter-résistant : la résistance ou la charge est au centre
levier inter-moteur ou inter-puissant : la force exercée est au centre
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3 Les leviers
• Étudier un mouvement en vue de l'optimiser, nécessite de :
1 - déterminer la direction du déplacement, ce qui va
déterminer le type de mouvement.
2 - situer le point d'appui fixe (A), c'est à dire l'articulation
3 - situer le point d'application de la résistance (R), c'est à dire
le centre de gravité de l'ensemble.
4 - situer le point d'application et la direction de la force
musculaire (F), c'est à dire le point d'insertion du muscle.
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3. Les leviers – différents types
Levier inter-appui : le
pied de biche
Levier inter-résistant : la brouette
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Leviers
1er genre Levier inter-appui
Fr . OA = F . OB
R
d’où
F
F = Fr . ( OA / OB )
et
Fr
AO
B
R = Fr + F
On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l’effort F sera
petit pour vaincre une même force Fr.
Applications : barre à mine, pied de biche, tenailles, cisailles à main, diable,
chariot à bouteilles (1er temps).
Attention, c’est au point d’appui que la force exercée est la plus grande !
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Leviers
2ème genre Levier inter-résistant
Fr . OA = F . OB
F
R
d’où
F = Fr . ( OA / OB )
et
Fr
O
A
B
R = Fr - F
On voit que plus la distance OB est grande par rapport à OA, plus l’effort F sera
petit pour vaincre une même force Fr.
Applications : brouette, cisaille à levier, casse noix, diable, chariot à bouteilles
(2ème temps).
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Leviers
3ème Genre Levier inter-moteur ou inter-puissant
Fr
Fr . OA = F . OB
d’où
R
F = Fr . ( OA / OB )
et
F
O
B
A
R = F - Fr
On voit que plus la distance OB est petite par rapport à OA, plus l’effort F devra
être grand pour vaincre une même force Fr.
Applications : étaux à chaud, brucelles, pince à épiler…
Équilibre
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Un système est en équilibre si :
- la somme des forces est nulle (force résultante = 0),
- la somme algébrique des moments des forces est nulle.
La barre ne tourne pas, on a donc en A
une force dont le moment s’oppose à
celui de la force exercée en C.
30 N
A
1m
2m
C
B
10 N
20 N
L’ensemble ne chute pas, on a donc en
B une force opposée à la résultante des
deux autres forces.
On peut constater que, quel que soit le
point de rotation choisi (A B C ou un
autre), la somme des moments est
nulle.
Équilibre
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Un système est en équilibre si :
- la somme des forces est nulle (force résultante = 0),
- la somme algébrique des moments des forces est nulle.
La barre ne tourne pas, on a donc en A
une force dont le moment s’oppose à
celui de la force exercée en C.
30 N
A
1m
2m
C
B
10 N
20 N
L’ensemble ne chute pas, on a donc en
B une force opposée à la résultante des
deux autres forces.
On peut constater que, quel que soit le
point de rotation choisi (A B C ou un
autre), la somme des moments est
nulle.
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Les leviers osseux
• " Il y a dans l'homme un instinct de
mécanique que nous voyons produire tous les
jours de très grands effets dans des hommes
fort grossiers…..
• Le paysan le plus ignorant sait partout remuer
les plus gros fardeaux par le secours du
levier, sans se douter que la puissance faisant
équilibre est au poids comme la distance du
point d'appui à ce poids est à la distance de
ce même point d'appui à la puissance. S'il
avait fallu que cette connaissance précédât
l'usage des leviers, que de siècles se seraient
écoulés avant qu'on eût pu déranger une
grosse pierre de sa place »
• Essai sur les
mœurs (in1756) Voltaire
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Les leviers osseux
• Les mouvements des pièces squelettiques
sont comme des mouvements de leviers
dont les points d’application sont les points
d’insertion des muscles.
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Les poulies
• La poulie, si elle fonctionne sans
frottement est une machine qui
change la direction d’une force sans
en modifier l’intensité. En anatomie
on utilise ce terme pour désigner la
forme d’un os, par exemple, la
poulie astragalienne. Mais on
désigne ainsi des ensembles
fonctionnels nombreux.
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Leviers inter-appui
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Leviers inter-appui
45
Leviers inter-résistants
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Leviers inter-puissants ou inter-moteurs
• L’action du grand fessier sur le fémur(extension de la
hanche), l’action du quadriceps crural sur le tibia
(extension du genou)
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Leviers inter-puissants ou inter-moteurs
• L’action du grand fessier sur le fémur(extension de la
hanche), l’action du quadriceps crural sur le tibia
(extension du genou)
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Avantage ou gain mécanique
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Avantage ou gain mécanique
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Avantage ou gain mécanique
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Avantage ou gain mécanique
• Si AM > 1, le levier est efficace.
• Si AM = 1, l’efficacité du levier est nulle.
• Si AM < 1, le levier est inefficace.
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gain mécanique idéal et réel
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gain mécanique réel
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Avantage cinématique des leviers
• C’est l’inverse de l’avantage mécanique. Il témoigne de l’amplitude ou de la
rapidité potentielle du mouvement. Avec ce « levier de vitesse » ce que l’on
perd en force on le gagne en déplacement et donc en vitesse.
• Le corps humain est composé majoritairement de leviers inter-puissants ou
inter-appui inefficaces.
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Avantage cinématique (AC) des leviers
• quand on doit maintenir une posture, le travail musculaire à produire est
faible.
• On a par contre besoin couramment de produire des mouvements rapides.
Dès que l’on va avoir un petit raccourcissement d’un muscle que l’on sollicite,
cela provoque un déplacement de grande amplitude.
• L’avantage cinématique exprime l’amplitude du déplacement ou la
rapidité du mouvement.
• Si AC > 1, le levier sera inefficace mais rapide.
• Si AC = 1, le levier sera neutre, ni efficace, ni rapide.
• Si AC < 1, le levier sera lent mais efficace.
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Exemple de calcul
Le biceps ou la force musculaire se situe à une distance de 3 cm du coude (point d’appui) alors
que la résistance R est à 36 cm. Le rapport de bras de levier est de 3/36 ou de 1/12 pour un
avantage mécanique (AM) très faible de 0,083. Donc la force développée par le biceps devra
être 12 fois supérieure à celle du bras de levier de la force motrice. Ainsi, on exercera toujours
une force plus élevée que celle de la résistance. Ce type de levier est le plus commun dans le
système musculo-squelettique.
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Exemple de calcul
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Exemple de calcul :système simplifié
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Exemple de calcul
O : centre de rotation.
G : centre de gravité en avant du point d’appui.
P : poids de la tête.
I : point d’insertion moyen des muscles de la nuque.
F : force des muscles de la nuque qui s’oppose à P.
On a donc un levier inter-appui puisque le centre de rotation se situe entre les points
d’application de P et de F.
R = - (P + F) = force appliquée au niveau du centre de
rotation qui s’oppose à P et à F.
A l’état d’équilibre :
ΣF = 0
ΣM = 0
P + F + R = 0
( R = RP + RF )
R = - P + (-F)
M P/O + M R/O + M F/O = 0
P . OG . sin β + 0 - F . OI . sin α = 0
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Exemple de calcul : application numérique
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Exercice sur les moments des forces
• Une poutre de 100 N et de 1 m de longueur supporte une
charge de 300 N à son extrémité droite. Un câble relié à
un mur maintient la poutre en équilibre.
(a) Quelle doit être la tension dans le câble ?
(b) Quelles sont les composantes (horizontale et
verticale) de la force exercée par le mur sur la poutre ?
Solutions : attention il faut prendre en
compte le poids de la poutre !!
(a) 484 N (b) Rx = 371 N et Ry = 89,3 N
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Exercice sur les moments des forces
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Exercice sur les moments des forces
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Exercice sur les moments des forces
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Exercice sur les moments des forces
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Exercice
Calculer la force musculaire, FM, du biceps brachial pour maintenir la charge et
calculer la force de réaction articulaire, FC, au niveau du coude.
L’avant-bras et la main ont une masse de 3 kg, le centre de masse est situé à
15 cm de l’articulation du coude et le bras de levier du biceps est de 5 cm. Le
poids possède une masse de 6 kg.
La distance du poids P au coude est 40 cm.
La force musculaire FM est localisée et dirigée vers le haut (c’est en tension) et
les poids sont dirigés vers le bas
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Exercice: représentation
Calculer la force musculaire, FM, du biceps brachial pour maintenir la charge et
calculer la force de réaction articulaire, FC, au niveau du coude.
L’avant-bras et la main ont une masse de 3 kg, le centre de masse est situé à
15 cm de l’articulation du coude et le bras de levier du biceps est de 5 cm. Le
poids possède une masse de 6 kg.
La distance du poids P au coude est 40 cm.
La force musculaire FM est localisée et dirigée vers le haut (c’est en tension) et
les poids sont dirigés vers le bas
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Exercice: solution
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QCM sur les moments des forces
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QCM sur les moments des forces
71
QCM sur les moments des forces
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Soulever et porter correctement une charge
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Soulever et porter correctement une charge
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Règles de base
• Il faut penser à répartir la charge
• Garder le dos droit (pour des charges supérieures à 5kg)
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Valeurs limites
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bibliographie
•
Bibliographie Physique ; Mpsi. Pcsi. Ptsi Editeur :
Hachette Education Collection : H Prepa
•
Biophysique. Cours, Exercices, Annales Et Qcm
Corrigés, 2e édition Auteur : Salah Belazreg, Rémi
Perdrisot, Jean-Yves Bounaud Editeur : DUNOD
Edisciences - collection : 100% 1re année Santé