Exercice 1. Vérifier que la fonction q7→ (q−1)Dµ(q)est concave sur ]1,∞[,
et en déduire que q7→ Dµ(q)est continue décroissante sur ]1,∞[. Montrer par
ailleurs que dimHµ≥limq→1Dµ(q), où dimHµ= inf{dimHA;µ(A)>0}.
Quand le paramètre qtend vers l’infini, la dimension Dµ(q)se rapproche
d’un exposant de Frostman pour µ.
Lemme 1.2 (Dimension Lqet exposant de Frostman).Soient s∈]0,1[,q∈
]1,∞[, et µune mesure de probabilité borélienne sur Rtelle que Dµ(q)> s.
Alors µest [(1 −1
q)s]-Frostman.
Démonstration. Le fait que µest α-Frostman équivaut à l’inégalité kµmkL∞
2m(1−α), pour tout m≥1. Comme on a toujours kµmkL∞≤2m
qkµmkLq, et que
l’hypothèse implique que pour massez grand, kµmkLq≤2m[1−s(1−1
q)], le lemme
est démontré.
Pour démontrer le théorème but
0.1, les deux assertions que l’on cherche doré-
navant à obtenir sont donc :
1. L’ensemble X=A×Bsupporte une mesure de probabilité µtelle que,
pour tout x∈Xet tout r > 0,µ(B(x, r)) ≥rdimHA+dimHB.
2. Pour toute forme linéaire non nulle πet tout ε > 0, pour tout q > 1,
Dπ∗µ(q) = min(1,dimHA+ dimHB).
2 Dimensions et invariance par Tp
Pour ramener la démonstration du théorème but
0.1 au cas où Aet Bsont des
ensembles de Cantor respectivement p-adique et q-adique, le point essentiel est
la proposition suivante, due à Furstenberg furstenberg_disjointness
[3, Proposition III.1]. Pour un résultat
un peu plus général, avec une démonstration analogue, on renvoie à Falconer falconer_subselfsimilarsets
[1,
Proposition 3.2].
Proposition 2.1 (Dimensions d’un ensemble invariant par Tp).Si Aest une
partie fermée de [0,1[ telle que TpA⊂Apour un certain entier p≥2, alors
dimHA= dimBA.
Démonstration. Quel que soit l’ensemble A, on a toujours dimHA≤dimBA,
donc seule l’inégalité réciproque nécessite une preuve. Supposons dimHA < s,
de sorte qu’on peut trouver un recouvrement fini (car Aest compact)
A⊂[
i∈Q
Ii
par des intervalles p-adiques Ii={x= 0, i1. . . i`∗. . .p}, où i= (i1, . . . , i`), tel
que Pi∈Qp−s|i|<1. Soit L= max{|i|;i∈Q}. Pour k≥1, posons
Ak={i= (i1, . . . , ik)| ∃x∈A:x= 0, i1. . . ik∗. . .p}={k-préfixes de A}.
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