Ensembles invariants par 2 ou 3

Ensembles invariants par 2 ou 3
18 janvier 2017
On s’intéresse ici à des parties fermées du tore T=R/Z, que l’on identifiera
souvent à l’intervalle semi-ouvert [0,1[. On fixe dans toute la suite deux entiers
positifs p<qmultiplicativement indépendants, i.e. tels que log p
log q6∈ Q, et on
considère les morphismes du tore associés
Tp:T→T
x7→ px and Tq:T→T x7→ qx .
Les transformations Tpet Tqcorrespondent respectivement aux décompositions
en base pet qd’un élément de T. En effet, si x= 0, a1a2. . .p, alors Tpx=
0, a2a3. . .pen base p, et de même, si x= 0, b1b2. . .q, alors Tqx= 0, b2b3. . .q.
Dans les années 1960, Furstenberg a proposé diverses conjectures qui visaient
à exprimer l’idée que les expansions dans les bases pet qn’ont rien en commun,
si pet qsont multiplicativement indépendants. En voici quelques exemples :
— Si Sest une partie fermée infinie invariante par Tpet Tq, alors S=T;
démontré en 1967 par Furstenberg furstenberg_disjointness
[3].
— Si µest une mesure de probabilité borélienne diffuse (i.e. sans atome)
sur Tinvariante par Tpet Tqalors µest égale à la mesure de Lebesgue ;
cette conjecture encore ouverte aujourd’hui.
— Si Aet Bsont deux fermés de Tinvariants respectivement par Tpet Tq,
alors dimH(A+B) = min(dimHA+ dimHB, 1), où A+B={a+b;a∈
A, b ∈B}; démontré en 2012 par Hochman et Shmerkin hochmanshmerkin_projection
[4].
— Si Aet Bsont deux fermés de Tinvariants respectivement par Tpet Tq,
alors dimH(A∩B)≤max(dimHA+ dimHB−1,0) ; démontré en 2016
par Shmerkin shmerkin_furstenbergconjecture [6] et Wu wu_furstenbergconjecture [7], indépendamment.
C’est la résolution par Shmerkin de cette dernière conjecture que nous nous
proposons d’étudier ici. Plus précisément, le théorème qui nous intéresse est le
suivant.
but Théorème 0.1 (Shmerkin/Wu, 2106).Soient pet qdeux entiers multiplicati-
vement indépendants, et A,Bdeux fermés de [0,1[ invariants par Tpet Tq,
respectivement. Pour toute bijection affine g:R→R,
dimB(A∩g(B)) ≤max(dimHA+ dimHB−1,0).
1

L’énoncé ci-dessus fait intervenir deux notions de dimension. Tout d’abord,
la dimension de Minkowski supérieure, ou « box-dimension », définie par
dimBA= lim sup
ε→0
log N(A, ε)
log(1/ε),
où N(A, ε)désigne le nombre minimal d’intervalles de longueur εnécessaire
pour recouvrir l’ensemble (relativement compact) A. Et ensuite, la dimension
de Hausdorff, notée dimH. Pour définir celle-ci, on définit d’abord, pour s∈[0,1]
et ε > 0,
Hs
ε(A) = inf{X
i∈N
|Ii|s;A⊂[
i∈N
Ii,avec ∀i, |Ii| ≤ ε}.
Ensuite, la mesure de Hausdorff de dimension sest donnée par
Hs(A) = lim
ε→0Hs
ε(A)
et la dimension de Hausdorff par
dimHA= inf{s∈[0,1] | Hs(A)=0}= sup{s∈[0,1] | Hs(A) = ∞}.
On renvoie par exemple à falconer_fractalgeometry [2] ou à mattila [5] pour les propriétés générales de ces di-
mensions, et notamment l’inégalité, pour tout ensemble A,
dimHA≤dimBA.
1 Dimensions, exposants de Frostman, et straté-
gie générale.
section:strategy Tout d’abord, notons que l’étude de l’intersection A∩g(B)se ramène à
celle de l’intersection de l’ensemble fractal A×Bavec la droite (`g)d’équation
x=g(y). D’après le théorème d’intersection de Marstrand, on a bien, pour
presque toute droite `,dimH(A×B)∩`g≤max(dimHA+ dimHB−1,0) (à
vérifier, exercice), mais cela ne suffit pas, car on désire un résultat valable pour
toute droite `.
On utilisera le lemma suivant, pour lequel on rappelle qu’une mesure µsur
un espace Xest dite α-Frostman s’il existe C≥0tel que pour tout x∈Xet
tout r > 0,µ(B(x, r)) ≤Crα.
Remarque 1. Même si nous n’en aurons pas besoin ici, rappelons le lemme de
Frostman, qui justifie la terminologie ci-dessus :
— Si Aest une partie borélienne de R(ou d’un espace vectoriel euclidien)
telle que dimHA>α, alors il existe une mesure de probabilité µ α-
Frostman telle que Supp µ⊂A.
— Si µest une mesure α-Frostman et Aune partie telle que µ(A)>0, alors
dimHA≥α.
2

Lemme 1.1. Soit µune mesure de probabilité borélienne sur X=A×Bet
telle que,
∀x∈X, ∀r≤r0, µ(B(x, r)) ≥rs.
Soit πune forme linéaire sur R2. Si la mesure image π∗µest α-Frostman, alors,
∀y∈R,dimBπ−1(y)≤s−α.
Démonstration. Soit C≥1une constante telle que πsoit C-lipschitzienne. Soit
(xj)1≤j≤Mune famille de cardinal maximal d’éléments ε
C-séparés dans π−1(y).
Comme les boules B(xj,ε
2C)sont disjointes et incluses dans π−1(B(y, ε)), on a
Mε
2Cs≤µ
M
[
j=1
B(xj,ε
2)
≤π∗µ(B(y, ε)) ≤Cεα,
donc N(π−1(y), ε)≤Mε−s+α.
Pour démontrer le théorème but 0.1, il suffit donc de faire voir que :
1. L’ensemble X=A×Bsupporte une mesure de probabilité µtelle que,
pour tout x∈Xet tout r > 0,µ(B(x, r)) ≥rdimHA+dimHB.
2. Pour toute forme linéaire non nulle πet tout ε > 0, la mesure image π∗µ
est [min(1,dimHA+ dimHB)−ε]-Frostman.
En effet, le lemme ci-dessus montre alors, en faisant tendre ε > 0vers zéro, que
pour toute droite affine `=π−1(y),dimB(A×B)∩`≤max(dimHA+dimHB−
1,0). Nous verrons plus tard, au §3, que la condition 1 se vérifie facilement dans
le cas où Aest un ensemble de Cantor p-adique et Bun ensemble de Cantor
q-adique, et qu’on peut toujours se ramener à ce cas. Pour la condition 2, nous
allons passer par la notion de dimension Lqd’une mesure, que nous rappelons
maintenant.
Soit νune mesure de probabilité sur R. Pour m≥1, on étudie la densité
de µà l’échelle 2−m; plus précisément, on pose µm=µ∗φm, où φmest une
approximation de l’identité de taille 2−m, par exemple φm= 2m[0,2−m]. On a
bien sûr
1≤ kµmkq
Lq≤2m(q−1),
et les cas d’égalité à gauche et à droite correspondent respectivement aux cas
d’étalement maximal (Lebesgue) et de concentration maximale (Dirac). On dé-
finit donc naturellement la dimension Lqde la mesure µpar
Dµ(q)=1−lim sup
m→∞
−log kµmkq
Lq
m(q−1) .
Remarque 2. Si Dmdésigne la collection des intervalles dyadiques de longueur
2−m, on a Dµ(q) = lim infm→∞ −log PI∈Dmµ(I)q
m(q−1) .
3

Exercice 1. Vérifier que la fonction q7→ (q−1)Dµ(q)est concave sur ]1,∞[,
et en déduire que q7→ Dµ(q)est continue décroissante sur ]1,∞[. Montrer par
ailleurs que dimHµ≥limq→1Dµ(q), où dimHµ= inf{dimHA;µ(A)>0}.
Quand le paramètre qtend vers l’infini, la dimension Dµ(q)se rapproche
d’un exposant de Frostman pour µ.
Lemme 1.2 (Dimension Lqet exposant de Frostman).Soient s∈]0,1[,q∈
]1,∞[, et µune mesure de probabilité borélienne sur Rtelle que Dµ(q)> s.
Alors µest [(1 −1
q)s]-Frostman.
Démonstration. Le fait que µest α-Frostman équivaut à l’inégalité kµmkL∞
2m(1−α), pour tout m≥1. Comme on a toujours kµmkL∞≤2m
qkµmkLq, et que
l’hypothèse implique que pour massez grand, kµmkLq≤2m[1−s(1−1
q)], le lemme
est démontré.
Pour démontrer le théorème but 0.1, les deux assertions que l’on cherche doré-
navant à obtenir sont donc :
1. L’ensemble X=A×Bsupporte une mesure de probabilité µtelle que,
pour tout x∈Xet tout r > 0,µ(B(x, r)) ≥rdimHA+dimHB.
2. Pour toute forme linéaire non nulle πet tout ε > 0, pour tout q > 1,
Dπ∗µ(q) = min(1,dimHA+ dimHB).
2 Dimensions et invariance par Tp
Pour ramener la démonstration du théorème but 0.1 au cas où Aet Bsont des
ensembles de Cantor respectivement p-adique et q-adique, le point essentiel est
la proposition suivante, due à Furstenberg furstenberg_disjointness [3, Proposition III.1]. Pour un résultat
un peu plus général, avec une démonstration analogue, on renvoie à Falconer falconer_subselfsimilarsets [1,
Proposition 3.2].
Proposition 2.1 (Dimensions d’un ensemble invariant par Tp).Si Aest une
partie fermée de [0,1[ telle que TpA⊂Apour un certain entier p≥2, alors
dimHA= dimBA.
Démonstration. Quel que soit l’ensemble A, on a toujours dimHA≤dimBA,
donc seule l’inégalité réciproque nécessite une preuve. Supposons dimHA < s,
de sorte qu’on peut trouver un recouvrement fini (car Aest compact)
A⊂[
i∈Q
Ii
par des intervalles p-adiques Ii={x= 0, i1. . . i`∗. . .p}, où i= (i1, . . . , i`), tel
que Pi∈Qp−s|i|<1. Soit L= max{|i|;i∈Q}. Pour k≥1, posons
Ak={i= (i1, . . . , ik)| ∃x∈A:x= 0, i1. . . ik∗. . .p}={k-préfixes de A}.
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On a bien sûr
dimBA= lim sup
k→∞
log card Ak
klog p,
et il suffit donc de montrer que card Akpsk . Posons aussi, pour k≥L,
Qk={i1i2. . . ir;ij∈Q, |i1. . . ip−1|< k ≤ |i1. . . ip|}.
Comme Aest stable par Tp, pour tout intervalle p-adique Ii, on a l’inclusion
A∩Ii⊂Sj∈QA∩Iij, et donc
A⊂[
j∈Qk
I(p−k)
j,
où I(p−k)
jdésigne l’intervalle p-adique de longueur p−kcorrespondant au préfixe
j(tronqué à longueur k). Cela montre que card Ak≤card Qk. Enfin,
1≥X
i1,...,i`∈Q
p−s(|i1|+···+|i`|)≥X
j∈Qk
p−s|j|≥p−Lp−ks card Qk
et donc card Qkpks, ce qu’il fallait démontrer.
Remarque 3. L’invariance de Apar Tpimplique AkA`⊃Ak+`et donc, d’après
le lemme sous-additif, la suite log(card Ak)
kconverge. Cela montre l’égalité entre
dimensions de Minkowski supérieure et inférieure.
Nous déduisons maintenant de la proposition ci-dessus un corollaire qui
montre qu’il suffit de démontrer le théorème but 0.1 dans le cas où Aest un p-
Cantor et Bun q-Cantor. Rappelons que si p≥2est un entier, un p-Cantor
A(ou ensemble de Cantor p-adique) est un ensemble défini par les chiffres
de ses éléments en base p: il existe une partie D⊂ {0, . . . , p −1}telle que
A={x= 0, a1a2. . .p;∀i, ai∈D.
Corollaire 2.2 (Approximation d’un fermé Tp-invariant par un Cantor).Soit
p≥2un entier, et Aun fermé de [0,1[ tel que TpA⊂A. Pour tout ε > 0, il
existe N≥1et un pN-Cantor ˜ Atel que A⊂˜ Aet dimH˜ A≤dimHA+ε.
Démonstration. Comme dimHA= dimBA, on peut trouver un entier Ntel que
card AN≤p(s+ε)N, où ANest l’ensemble des N-préfixes de A. On définit alors ˜ A
comme le pN-Cantor dont les blocs admissibles sont donnés par AN. L’inclusion
A⊂˜ Adécoule de ce que A⊂TpA, et bien sûr, dimH˜ A=log card AN
Nlog p≤s+ε.
Pour conclure cette partie, vérifions que si Aest un p-Cantor et Bun q-
Cantor, la condition 1 souhaitée à la fin de la partie précédente est satisfaite.
Cela découle du lemme suivant.
Lemme 2.3. Soit Aun p-Cantor, associé à une partie D⊂ {0, . . . , p −1}, et
µAla mesure de probabilité usuelle sur A. Alors, il existe c > 0tel que, pour
tout r∈]0,1[ et tout x∈A,
µA(B(x, r)) ≥crdimHA.
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