Ensembles invariants par 2 ou 3

Ensembles invariants par 2 ou 3
18 janvier 2017
On s’intéresse ici à des parties fermées du tore T = R/Z, que l’on identifiera
souvent à l’intervalle semi-ouvert [0, 1[. On fixe dans toute la suite deux entiers
p
positifs p < q multiplicativement indépendants, i.e. tels que log
log q 6∈ Q, et on
considère les morphismes du tore associés
Tp :
T→T
x 7→ px
and
Tq :
T→T
.
x 7→ qx
Les transformations Tp et Tq correspondent respectivement aux décompositions
p
en base p et q d’un élément de T. En effet, si x = 0, a1 a2 . . . , alors Tp x =
q
q
p
0, a2 a3 . . . en base p, et de même, si x = 0, b1 b2 . . . , alors Tq x = 0, b2 b3 . . . .
Dans les années 1960, Furstenberg a proposé diverses conjectures qui visaient
à exprimer l’idée que les expansions dans les bases p et q n’ont rien en commun,
si p et q sont multiplicativement indépendants. En voici quelques exemples :
— Si S est une partie fermée infinie invariante
par Tp et Tq , alors S = T ;
furstenberg_disjointness
démontré en 1967 par Furstenberg [3].
— Si µ est une mesure de probabilité borélienne diffuse (i.e. sans atome)
sur T invariante par Tp et Tq alors µ est égale à la mesure de Lebesgue ;
cette conjecture encore ouverte aujourd’hui.
— Si A et B sont deux fermés de T invariants respectivement par Tp et Tq ,
alors dimH (A + B) = min(dimH A + dimH B, 1), où A + Bhochmanshmerkin_projection
= {a + b ; a ∈
A, b ∈ B} ; démontré en 2012 par Hochman et Shmerkin [4].
— Si A et B sont deux fermés de T invariants respectivement par Tp et Tq ,
alors dimH (A ∩
B) ≤ max(dim
H A + dimH B − 1, 0) ; démontré en 2016
shmerkin_furstenbergconjecture
wu_furstenbergconjecture
par Shmerkin [6] et Wu [7], indépendamment.
C’est la résolution par Shmerkin de cette dernière conjecture que nous nous
proposons d’étudier ici. Plus précisément, le théorème qui nous intéresse est le
suivant.
but
Théorème 0.1 (Shmerkin/Wu, 2106). Soient p et q deux entiers multiplicativement indépendants, et A, B deux fermés de [0, 1[ invariants par Tp et Tq ,
respectivement. Pour toute bijection affine g : R → R,
dimB (A ∩ g(B)) ≤ max(dimH A + dimH B − 1, 0).
1
L’énoncé ci-dessus fait intervenir deux notions de dimension. Tout d’abord,
la dimension de Minkowski supérieure, ou « box-dimension », définie par
dimB A = lim sup
ε→0
log N (A, ε)
,
log(1/ε)
où N (A, ε) désigne le nombre minimal d’intervalles de longueur ε nécessaire
pour recouvrir l’ensemble (relativement compact) A. Et ensuite, la dimension
de Hausdorff, notée dimH . Pour définir celle-ci, on définit d’abord, pour s ∈ [0, 1]
et ε > 0,
X
[
Hεs (A) = inf{
|Ii |s ; A ⊂
Ii , avec ∀i, |Ii | ≤ ε}.
i∈N
i∈N
Ensuite, la mesure de Hausdorff de dimension s est donnée par
Hs (A) = lim Hεs (A)
ε→0
et la dimension de Hausdorff par
dimH A = inf{s ∈ [0, 1] | Hs (A) = 0} = sup{s ∈ [0, 1] | Hs (A) = ∞}.
falconer_fractalgeometry
mattila
On renvoie par exemple à [2] ou à [5] pour les propriétés générales de ces dimensions, et notamment l’inégalité, pour tout ensemble A,
dimH A ≤ dimB A.
1
section:strategy
Dimensions, exposants de Frostman, et stratégie générale.
Tout d’abord, notons que l’étude de l’intersection A ∩ g(B) se ramène à
celle de l’intersection de l’ensemble fractal A × B avec la droite (`g ) d’équation
x = g(y). D’après le théorème d’intersection de Marstrand, on a bien, pour
presque toute droite `, dimH (A × B) ∩ `g ≤ max(dimH A + dimH B − 1, 0) (à
vérifier, exercice), mais cela ne suffit pas, car on désire un résultat valable pour
toute droite `.
On utilisera le lemma suivant, pour lequel on rappelle qu’une mesure µ sur
un espace X est dite α-Frostman s’il existe C ≥ 0 tel que pour tout x ∈ X et
tout r > 0, µ(B(x, r)) ≤ Crα .
Remarque 1. Même si nous n’en aurons pas besoin ici, rappelons le lemme de
Frostman, qui justifie la terminologie ci-dessus :
— Si A est une partie borélienne de R (ou d’un espace vectoriel euclidien)
telle que dimH A > α, alors il existe une mesure de probabilité µ αFrostman telle que Supp µ ⊂ A.
— Si µ est une mesure α-Frostman et A une partie telle que µ(A) > 0, alors
dimH A ≥ α.
2
Lemme 1.1. Soit µ une mesure de probabilité borélienne sur X = A × B et
telle que,
∀x ∈ X, ∀r ≤ r0 , µ(B(x, r)) ≥ rs .
Soit π une forme linéaire sur R2 . Si la mesure image π∗ µ est α-Frostman, alors,
∀y ∈ R, dimB π −1 (y) ≤ s − α.
Démonstration. Soit C ≥ 1 une constante telle que π soit C-lipschitzienne. Soit
(xj )1≤j≤M une famille de cardinal maximal d’éléments Cε -séparés dans π −1 (y).
ε
) sont disjointes et incluses dans π −1 (B(y, ε)), on a
Comme les boules B(xj , 2C
M
M
[
ε
ε s
B(xj , )
≤µ
2C
2
j=1
≤ π∗ µ(B(y, ε)) ≤ Cεα ,
donc N (π −1 (y), ε) ≤ M ε−s+α .
but
Pour démontrer le théorème 0.1, il suffit donc de faire voir que :
1. L’ensemble X = A × B supporte une mesure de probabilité µ telle que,
pour tout x ∈ X et tout r > 0, µ(B(x, r)) ≥ rdimH A+dimH B .
2. Pour toute forme linéaire non nulle π et tout ε > 0, la mesure image π∗ µ
est [min(1, dimH A + dimH B) − ε]-Frostman.
En effet, le lemme ci-dessus montre alors, en faisant tendre ε > 0 vers zéro, que
pour toute droite affine ` = π −1 (y), dimB (A × B) ∩ ` ≤ max(dimH A + dimH B −
1, 0). Nous verrons plus tard, au §3, que la condition 1 se vérifie facilement dans
le cas où A est un ensemble de Cantor p-adique et B un ensemble de Cantor
q-adique, et qu’on peut toujours se ramener à ce cas. Pour la condition 2, nous
allons passer par la notion de dimension Lq d’une mesure, que nous rappelons
maintenant.
Soit ν une mesure de probabilité sur R. Pour m ≥ 1, on étudie la densité
de µ à l’échelle 2−m ; plus précisément, on pose µm = µ ∗ φm , où φm est une
approximation de l’identité de taille 2−m , par exemple φm = 2m 1[0,2−m ] . On a
bien sûr
1 ≤ kµm kqLq ≤ 2m(q−1) ,
et les cas d’égalité à gauche et à droite correspondent respectivement aux cas
d’étalement maximal (Lebesgue) et de concentration maximale (Dirac). On définit donc naturellement la dimension Lq de la mesure µ par
Dµ (q) = 1 − lim sup −
m→∞
log kµm kqLq
.
m(q − 1)
Remarque 2. Si Dm désigne la collection
des intervalles dyadiques de longueur
P
log I∈Dm µ(I)q
−m
2 , on a Dµ (q) = lim inf m→∞ −
.
m(q−1)
3
Exercice 1. Vérifier que la fonction q 7→ (q − 1)Dµ (q) est concave sur ]1, ∞[,
et en déduire que q 7→ Dµ (q) est continue décroissante sur ]1, ∞[. Montrer par
ailleurs que dimH µ ≥ limq→1 Dµ (q), où dimH µ = inf{dimH A ; µ(A) > 0}.
Quand le paramètre q tend vers l’infini, la dimension Dµ (q) se rapproche
d’un exposant de Frostman pour µ.
Lemme 1.2 (Dimension Lq et exposant de Frostman). Soient s ∈]0, 1[, q ∈
]1, ∞[, et µ une mesure de probabilité borélienne sur R telle que Dµ (q) > s.
Alors µ est [(1 − 1q )s]-Frostman.
Démonstration. Le fait que µ est α-Frostman équivaut à l’inégalité
kµm kL∞ m
2m(1−α) , pour tout m ≥ 1. Comme on a toujours kµm kL∞ ≤ 2 q kµm kLq , et que
1
l’hypothèse implique que pour m assez grand, kµm kLq ≤ 2m[1−s(1− q )] , le lemme
est démontré.
but
Pour démontrer le théorème 0.1, les deux assertions que l’on cherche dorénavant à obtenir sont donc :
1. L’ensemble X = A × B supporte une mesure de probabilité µ telle que,
pour tout x ∈ X et tout r > 0, µ(B(x, r)) ≥ rdimH A+dimH B .
2. Pour toute forme linéaire non nulle π et tout ε > 0, pour tout q > 1,
Dπ∗ µ (q) = min(1, dimH A + dimH B).
2
Dimensions et invariance par Tp
but
Pour ramener la démonstration du théorème 0.1 au cas où A et B sont des
ensembles de Cantor respectivement p-adique
et q-adique, le point essentiel est
furstenberg_disjointness
la proposition suivante, due à Furstenberg [3, Proposition III.1]. Pour un résultat
falconer_subselfsimilarsets
un peu plus général, avec une démonstration analogue, on renvoie à Falconer [1,
Proposition 3.2].
Proposition 2.1 (Dimensions d’un ensemble invariant par Tp ). Si A est une
partie fermée de [0, 1[ telle que Tp A ⊂ A pour un certain entier p ≥ 2, alors
dimH A = dimB A.
Démonstration. Quel que soit l’ensemble A, on a toujours dimH A ≤ dimB A,
donc seule l’inégalité réciproque nécessite une preuve. Supposons dimH A < s,
de sorte qu’on peut trouver un recouvrement fini (car A est compact)
[
A⊂
Ii
i∈Q
p
par des
P intervalles p-adiques Ii = {x = 0, i1 . . . i` ∗ . . . }, où i = (i1 , . . . , i` ), tel
que i∈Q p−s|i| < 1. Soit L = max{|i| ; i ∈ Q}. Pour k ≥ 1, posons
p
Ak = {i = (i1 , . . . , ik ) | ∃x ∈ A : x = 0, i1 . . . ik ∗ . . . } = {k-préfixes de A}.
4
On a bien sûr
dimB A = lim sup
k→∞
log card Ak
,
k log p
et il suffit donc de montrer que card Ak psk . Posons aussi, pour k ≥ L,
Qk = {i1 i2 . . . ir ; ij ∈ Q, |i1 . . . ip−1 | < k ≤ |i1 . . . ip |}.
Comme A
S est stable par Tp , pour tout intervalle p-adique Ii , on a l’inclusion
A ∩ Ii ⊂ j∈Q A ∩ Iij , et donc
[ (p−k )
A⊂
Ij
,
j∈Qk
(p−k )
où Ij
désigne l’intervalle p-adique de longueur p−k correspondant au préfixe
j (tronqué à longueur k). Cela montre que card Ak ≤ card Qk . Enfin,
X
X
1≥
p−s(|i1 |+···+|i` |) ≥
p−s|j| ≥ p−L p−ks card Qk
i1 ,...,i` ∈Q
j∈Qk
et donc card Qk pks , ce qu’il fallait démontrer.
Remarque 3. L’invariance de A par Tp implique Ak A` ⊃ Ak+` et donc, d’après
Ak )
le lemme sous-additif, la suite log(card
converge. Cela montre l’égalité entre
k
dimensions de Minkowski supérieure et inférieure.
Nous déduisons maintenant de la proposition
ci-dessus un corollaire qui
but
montre qu’il suffit de démontrer le théorème 0.1 dans le cas où A est un pCantor et B un q-Cantor. Rappelons que si p ≥ 2 est un entier, un p-Cantor
A (ou ensemble de Cantor p-adique) est un ensemble défini par les chiffres
de ses éléments en base p : il existe une partie D ⊂ {0, . . . , p − 1} telle que
p
A = {x = 0, a1 a2 . . . ; ∀i, ai ∈ D.
Corollaire 2.2 (Approximation d’un fermé Tp -invariant par un Cantor). Soit
p ≥ 2 un entier, et A un fermé de [0, 1[ tel que Tp A ⊂ A. Pour tout ε > 0, il
existe N ≥ 1 et un pN -Cantor à tel que A ⊂ à et dimH à ≤ dimH A + ε.
Démonstration. Comme dimH A = dimB A, on peut trouver un entier N tel que
card AN ≤ p(s+ε)N , où AN est l’ensemble des N -préfixes de A. On définit alors Ã
comme le pN -Cantor dont les blocs admissibles sont donnés par AN . L’inclusion
AN
A ⊂ Ã découle de ce que A ⊂ Tp A, et bien sûr, dimH Ã = logNcard
≤ s+ε.
log p
Pour conclure cette partie, vérifions que si A est un p-Cantor et B un qCantor, la condition 1 souhaitée à la fin de la partie précédente est satisfaite.
Cela découle du lemme suivant.
Lemme 2.3. Soit A un p-Cantor, associé à une partie D ⊂ {0, . . . , p − 1}, et
µA la mesure de probabilité usuelle sur A. Alors, il existe c > 0 tel que, pour
tout r ∈]0, 1[ et tout x ∈ A,
µA (B(x, r)) ≥ crdimH A .
5
Démonstration. Rappelons que si i = (i1 , . . . , ik ) est un préfixe de A, alors
µA (Ii ) = (card D)−k .
(Cette égalité définit d’ailleurs la mesure µA .) Par suite, si x ∈ A et r ∈]0, 1[,
on choisit k tel que p−k < r ≤ p−k+1 , et alors
µA (B(x, r)) ≥ µA (Ix(p
3
−k
)
) = (card D)−k = p−k dimH A ≥
1 dimH A
r
.
p
Mesures dynamiquement auto-similaires
Convolution de mesures associées à des ensembles de Cantor
Comme auparavant, p < q sont deux entiers positifs multiplicativement indépendants. L’ensemble A est un p-Cantor, défini par une partie D1 ⊂ {0, . . . , p −
1}, et B un q-Cantor, associé à D2 ⊂ {0, . . . , q − 1}. On note η1 et η2 les mesures usuelles
P sur A et B respectivement, et ∆i , i = 1, 2, la loi de probabilité
∆i = |D1i | d∈Di δd . Si Xi , i = 1, 2, . . . est une suite de variables aléatoires indéP∞
pendantes identiquement distribuées de loi ∆1P
, alors la variable i=1 Xi p−i suit
∞
la loi η1 . De même, η2 est la loi de la variable i=1 Yi q −i , où leq Yi , i = 1, 2, . . .
sont i.i.d. de loi ∆2 .
On note µ = η1 ⊗ η2 la mesure produit sur A × B, et on s’intéresse à la
mesure image π∗ µ, où
π:
R2
→
R
(a, b) 7→ a + ex b
La mesure π∗ µ peut aussi s’écrire π∗ µ = η1 ∗ Sex η2 , où Sex désigne la dilatation
par ex . Les mesures η1 et η2 sont auto-similaires, mais comme p 6= q, la mesure
η1 ∗ Sex η2 ne l’est pas. Cependant, elle satisfait une propriété d’auto-similarité
dynamique, que nous expliquons maintenant.
P∞
On veut mettre la somme q-adique i=1 Yi q −i sous la forme d’une somme
p-adique. Pour cela, on pose X = [0, log q[, et on considère la transformation
T : X
x
→
X
7
→
x + log pmod(log q).
Ensuite, pour chaque ` ≥ 1, on choisit r` tel que pr` −1 ex ≤ q ` < pr` ex , de sorte
que
Y1
Y2
pr1 ex
pr2 ex
+
+ ... = (
Y1 )p−r1 + ( 2 Y2 )p−r2 + . . .
q
q
q
q
−r1
= (Sexp(T r1 x) Y1 )p
+ (Sexp(T r2 x) Y2 )p−r2 + . . .
6
P∞
En sommant cette décomposition avecPη1 ∼ i=0 Xi p−i , on trouve que µx =
∞
π∗ µ est la loi d’une variable aléatoire i=1 Zi p−i , où les Zi sont des variables
i
aléatoires indépendantes de loi ∆(T x), où
∆1 ∗ Sex ∆2 si x ∈ [0, log p[
∆(x) =
∆1
si x ∈ [log p, log q[
En d’autres termes,
i
µx = π∗ µ = ∗∞
i=1 Sp−i ∆(T x).
Un modèle plus général
L’espace X est un espace métrique compact, muni d’une transformation T :
X → X. Étant donné intervalle compact I0 ⊂ R, on note A l’espace des mesures
de probabilité à support fini inclus dans I0 . Ayant fixé une raison λ ∈]0, 1[, et
une application ∆ : X → A, on définit une famille de mesures dynamiquement
auto-similaires µx , x ∈ X, par la formule
i
µx = ∗∞
i=1 Sλi ∆(T x).
Pour tout entier positif n, on pose
n
i
µx,n = ∗∞
i=1 Sλi Sλi ∆(T x).
Alors,
µx = µx,n ∗ Sλn µT n x .
Dans la suite, on fera les hypothèses suivantes :
1. T : X → X est uniquement ergodique ; on note P l’unique mesure de
probabilité invariante.
2. Les mesures µx sont diffuses et x 7→ µx est continue (pour la topologie
faible) P-presque partout.
3. x 7→ ∆(x) est continue presque partout, avec un nombre borné d’atomes.
4. (séparation) Pour presque tout x, il existe P
R ≥ 0 tel que, pour n arn
i
bitrairement grand, les atomes de µx,n ∼
i=1 λ Zi sont distincts et
Rn
λ -séparés.
Dans la dernière hypothèse,Ql’assertion « les atomes de µx,n sont distincts » sin
gnifie en fait | Supp µx,n | = i=1 | Supp ∆(T i x)|. On veut démontrer le théorème
suivant.
dssm-dimension
Théorème 3.1 (Shmerkin 2016). Sous les hypothèses ci-dessus, on a, pour tout
q ∈]1, ∞[, pour tout x ∈ X,
R
log k∆(x)kqq dP(x)
,
Dµx (q) = min(1, X
(q − 1) log λ
P
où k∆kqq = y∈Supp ∆ ∆(y)q .
7
but
Pour conclure cette partie, vérifions que ce théorème implique le théorème 0.1.
On reprend les notations
du début de cette partie. Comme nous l’avons expliqué
section:strategy
à la fin de la partie 1, il suffit de montrer que, pour tout x ∈ X et tout q > 1,
Dµx (q) = min(1, dimH A + dimH B). Dans ce cadre X = [0, log q[ et P est la
mesure de Lebesgue renormalisée. De plus, pour presque tout x,
|∆1 |−q+1 |∆2 |−q+1 si x ∈ [0, log p[
q
k∆(x)kq =
|∆1 |−q+1
si x ∈ [log p, log q[,
et par conséquent,
Z
log k∆(x)kqq dP(x) =
X
1
[−(q − 1)(log p)(log |∆1 ||∆2 |) − (q − 1)(log q − log p)(log |∆1 |)]
log q
log |∆1 | log |∆2 |
+
].
= −(q − 1)(log p)[
log p
log q
dssm-dimension
Cela montre que le membre de droite de la formule du théorème 3.1 est bien égal
à min(1, dimH A + dimH B), ce qu’on voulait. Reste à vérifier que les hypothèses
du théorème sont satisfaites, mais ce n’est pas très difficile.
Références
alconer_subselfsimilarsets
[1] K. Falconer. Sub-self-similar sets. Transactions of the AMS, 347(8), 1995.
falconer_fractalgeometry
[2] K. Falconer. Fractal Geometry. Wiley, 2003.
furstenberg_disjointness
[3] H. Furstenberg. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem
in Diophantine approximation. Math. Systems Theory, 2(1) :1–49, 1967.
hochmanshmerkin_projection
[4] M. Hochman and P. Shmerkin. Local entropy averages and projections of
fractal measures. Ann. of Math., 175(3) :1001–1059, 2012.
mattila
[5] P. Mattila. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge
University Press, 1995.
rkin_furstenbergconjecture
[6] P. Shmerkin. On Furstenberg’s intersection conjecture, self-similar measures,
and the lq norms of convolutions. preprint arXiv :1609.07802v1, 2016.
wu_furstenbergconjecture
[7] M. Wu. A proof of Furstenberg’s conjecture on the intersections of ×p and
×q-invariant sets. preprint arXiv :1609.08053v1, 2016.
8