Chapitre 7 : Probabilités et conditionnement

Exercice 1
Dans une classe de 30 élèves, un professeur de mathématiques a
donné deux exercices à faire pour la séance suivante. 12 ont fait le
premier et 14 ont fait le second. On en dénombre 4 qui ont fait les deux.
On désigne par P l'ensemble des élèves qui ont fait le premier et par S
l'ensemble de ceux qui ont fait le second.
On désigne par P le complémentaire de l'ensemble P et par S le
complémentaire de S.
1. Déterminez la probabilité des évènements P et S.
2. Déterminez la probabilité des évènements P et S .
3. Déterminez la probabilité des évènements P  S, puis P  S.
Exercice 2
Dans un jeu de 32 cartes bien battu, on tire successivement et sans
remise deux cartes. On note :
A l’événement «obtenir un cœur au premier tirage»,
B l’événement «obtenir un cœur au deuxième tirage».
1. Donnez l’arbre de probabilité associé à cette expérience, puis
vous déterminerez p(A).
2. Décrivez l’évènement A∩B, puis déterminer la valeur exacte de
p(A∩B) et enfin sa valeur approchée à 10–3.
Exercice 3
Les élèves du lycée Jean Moulin ont obtenu les résultats suivants au
baccalauréat :
séries
ES
S
L
Total
Admis
77
148
refusé
Total
90
30
285
53
70
338
1. Complétez le tableau.
2. Déterminez la probabilité d’être admis pour un élève de ce
lycée.
3. Gilles, élève de seconde, hésite dans le choix de sa série entre
L et ES. Il décide de suivre la série où il a la plus forte
probabilité d’obtenir le baccalauréat. Quelle série lui
conseilleriez-vous ? Justifiez votre réponse !
-1-
4.
Mme Boissey croise un de ses élèves le jour des résultats du
baccalauréat. Celui-ci lui apprend qu’il a obtenu le
baccaulauréat. Quelle est la probabilité que cela soit un élève
de la section ES ?
Exercice 4
François pratique le VTT cinq fois par mois. Il a remarqué que lors de
ses sorties vélo, il casse la chaine dans 10% des cas. Chaque sortie est
indépendante des autres. On note X la variable aléatoire réelle qui
compte le nombre de sorties où il a cassé sa chaine de vélo. On
considère qu’il ne peut pas la casser plus d’une fois par sortie.
1. a. Déterminez la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire
X.
b. Déduisez-en l’espérance mathématique de la variable
aléatoire réelle X. On donnera sa valeur exacte.
2. François vient de poser une nouvelle chaine sur son vélo. Il
considère qu’il peut réparer une chaine une fois, mais qu’audelà il doit la changer. Déterminez la probabilité qu’il soit obligé
de la changer dans le mois. On donnera les résultats à 10–3
près.
Exercice 5
Au collège François Villon, les élèves sont soit demi-pensionnaires, soit
externes.
On sait qu’il y a 80% de demi-pensionnaires. Parmi ces demipensionnaires, 60% sont des garçons et parmi les externes 30% sont
des filles.
On note D l’évènement : « l’élève est demi-pensionnaire », E
l’évènement l’élève est externe et G l’évènement « l’élève est un
garçon ».
On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible, puis à 10-2
près.
1.
Décrivez la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
2.
a.
Déterminez la probabilité p(G).
b.
Déduisez-en p( G ).
3.
Le surveillant aperçoit un garçon. Déterminez la probabilité
que cela soit un demi-pensionnaire.
4.
A présent il aperçoit une fille. Déterminez la probabilité
qu’elle soit externe.
-2-
Exercice 6
On sait que 3% des patients d’un hôpital sont atteints d’une maladie.
Carole vient de mettre au point un nouveau test de dépistage de cette
maladie. Elle a déterminé que si le patient est atteint de celle-ci, alors le
test est positif dans 95% des cas et que si le patient est sain, alors le test
est positif dans 1% des cas.
On considère les évènements suivants :
M : « le patient est malade »,
T : « le test est positif ».
1 Décrivez la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.
2 a. Déterminez à la probabilité de l’évènement T .
b. Déduisez-en la probabilité de T.
3. a. Déterminez la probabilité que le patient soit sain sachant
que le test est négatif.
b. Que pensez-vous de ce test ?
4. a. Déterminez la probabilité que le patient soit malade
sachant que le test est positif.
b. Que pensez-vous de ce test dans ce cadre là ?
5. Faut-il commercialiser ce test ?
CORRIGÉS
Exercice 1
Nous avons 30 élèves dans la classe. Chaque élève a autant de
« chance » d’être choisi. Nous sommes donc en situation
d’équiprobabilité.
1.
On a donc p(P) = Error! = Error! et p(S) = Error! = Error!.
2.
Avec la propriété du cours on a immédiatement :
p( P ) = 1 – Error! = Error! et de la même façon p(Error!) = 1 – Error! =
Error!.
3.
L’énoncé nous dit que quatre élèves ont réalisé les deux
exercices ; donc p(P  S) = Error! = Error!.
Or p(P  S) = p(P) + p(S) – p(P  S) = Error! + Error! – Error! = Error!
= Error!.
Exercice 2
1.
-3-
Il faut bien penser que lors du
deuxième tirage, il n’y a plus que 31
cartes car on ne remet pas la carte
tirée dans le paquet. Il y a 8 cœurs
dans un jeu de 32 cartes donc
p(A) = Error! = Error!. En outre on a
toujours p( A ) = 1 – p(A) et p( B ) = 1
– p(B). De plus il faut bien regarder
ce qui a été obtenu lors du premier
tirage pour savoir s’il y a 7 ou 8
cœurs lors du deuxième tirage. On
obtient alors l’arbre probabiliste
suivant :
2.
L’évènement A∩B est ainsi le fait d’obtenir des cœurs aux deux
tirages. On a donc la probabilité suivante : Error!  Error! = Error! 
0,056.
Exercice 3
1.
On complète le tableau ainsi :
séries
Admis
ES
77
S
148
L
60
Total
285
2.
3.
4.
refusé
13
30
10
53
Total
90
178
70
338
Il y a 285 élèves admis parmi 338 élèves, la probabilité d’être
admis au baccalauréat est donc de Error!.
Calculons la probabilité d’obtenir le baccalauréat pour chacune de
ces séries. Pour la série ES, il y a 77 admis pour un total de 90
élèves, d’où Error!  0,856. Pour la série L, il y a 60 admis pour un
total de 70 élèves, d’où Error! = Error!  0,857.
Donc Gilles doit choisir, d’après ses critères, la série L car la
probabilité d’obtenir le baccalauréat est un peu plus élevée.
Comme Mme Boissey sait que l’élève est admis, on ne considère
que la première colonne. Parmi les 285 admis, il y a 77 élèves de
la série ES, d’où la probabilité cherchée Error!  0,27.
Exercice 4
1.
a. On note p la probabilité de casser la chaine lors d’une sortie. On
a donc p = 0,1. Comme chaque sortie est indépendante des
précédentes et que lors du mois il y a cinq sorties, nous
-4-
2.
sommes donc en présence d’une loi binomiale de paramètres
p = 0,1 et n = 5.
b. D’après le cours E(X) = np = 5  0,1 = 0,5.
Soit A l’évènement « François doit changer la chaine de son
vélo ».
On cherche donc à déterminer p(A). Il semble plus simple de
déterminer l’évènement contraire de A , c'est-à-dire que
« François ne change pas la chaine de son vélo ».
On a alors p( A ) = p(X = 0) + p(X = 1).
Or la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres
p = 0,1 et n = 5.
Ainsi p(X=0) = p0  ( 1 – p )5 = 0,95 = Error!5 = Error!  0,590
et p(X=1) = 5p1  ( 1 – p)4 = 5  0,1  0,94 = Error!  0,328.
On obtient alors p( A ) = 0,95 + 0,5  0,94 = 0,91854  0,919.
Ainsi p(A) = 1 – p( A ) = 1 – 0,91854 = Error!  0,081. La
probabilité que François change sa chaine au cours du mois est
donc d’environ 0,081 ; c'est-à-dire dans 8,1% des cas.
Exercice 5
1.
On a clairement p(D) = 0,8 et donc
p(E) = 0,2. On trouve ensuite les
autres probabilités en construisant
l’arbre et en ne perdant pas de vue
que la somme des probabilités à
chaque nœud est de 1.On note G
l’évènement que cela soit une fille.
Il faut bien lire l’énoncé pour bien
construire l’arbre.
On obtient ainsi l’arbre de
probabilité suivant
2.
a.
On cherche à déterminer p(G).
p(G) = p(G  D) + p(G  E)
p(G) = pD(G)  p(G) + pE(G)  p(G)
p(G) = 0,6  0,8 + 0,7  0,2
p(G) = Error! = 0,62
-5-
3.
4.
b.
Comme toujours, on a p( G ) = 1 – p(G) = Error! = 0,38.
Le surveillant aperçoit un garçon, on veut déterminer la probabilité
que cela soit un demi-pensionnaire. On cherche donc pG(D) !
Or pG(D) = Error!. On vient de déterminer p(G) = Error! et dans le 1.
on a trouvé que p(G  D) = Error!.
Ainsi pG(D) = Error! = Error!  0,77.
A présent le surveillant aperçoit une fille ; on cherche à déterminer
la probabilité qu’elle soit externe, c'est-à-dire p G (E).
Or p G (E) = Error! =
Error!
 0,16.
Exercice 6
1.
En écrivant les évènements contraire on en déduit que M
est l’évènement « le patient est sain » et T est l’évènement
« le test est négatif ».
On pense bien qu’à chaque
nœud
la
somme
des
probabilités est égale à 1 et on
lit calmement l’énoncé pour ne
pas faire d’erreur de lecture.
On obtient alors l’arbre de
probabilité suivant :
2.
a.
On cherche à déterminer la probabilité de l’évènement T ,
c'est-à-dire que le test soit négatif.
p( T ) = p( T  M) + p( T  M )
p( T ) = pM( T )  p(M) + p M ( T )  p( M ).
p( T ) = 0,05  0,03 + 0,99  0,97
p( T ) = Error!  0,9618
3.
b.
a.
Comme toujours p(T) = 1 – p( T ) = 1 – Error! = Error! 0,0382.
On cherche à déterminer la probabilité que le patient soit sain
sachant que le test est négatif, c'est-à-dire que l’on cherche à
calculer p T ( M ).
-6-
Or p T ( M ) =
Error!.
On sait que p(Error!) =
Error!
et que p(Error!
 M ) = 0,97  0,99 = Error! = 0,9603.
4.
5.
Donc p T ( M ) = Error! = Error!  0,9984.
b.
On peut considérer que dans le cas présent le test est de
très bonne qualité !
a.
On cherche à déterminer la probabilité que le patient soit
malade sachant que le test est positif, c'est-à-dire que l’on
cherche à calculer pT(M).
Or pT(M) = Error! On sait que p(T) = Error! et
que p(T  M) = 0,03  0,95 = Error! = 0,0285.
Donc pT(M) = Error! = Error! 0,7461.
b.
Le test n’est donc du tout extraordinaire dans ces conditions!
Au vu du deuxième résultat, il est évident que l’on ne peut pas se
contenter d’un pourcentage d’environ 75% lorsque le test est
positif. Il ne sera donc pas commercialisé !
-7-