Calcul de la vitesse de rotation d`un diabolo Afin de pouvoir calculer

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Calcul de la vitesse de rotation d’un diabolo
Afin de pouvoir calculer la vitesse de rotation d’un diabolo, j’ai cherché ce qui pouvait
être le plus révélateur et demandant le moins de calcul possible. Pour cela, je propose
d’étudier le mouvement du diabolo lors de la figure appelée « l’ascenseur ». La baguette
droite se trouve en bas, la baguette gauche en haut. La ficelle est tendue et fait un tour autour
de l’axe du diabolo. On se retrouve donc à ne considérer que le plan vertical, ainsi qu’un
mouvement unidirectionnel, ce qui va éviter de nombreux calculs fastidieux.
1) Le schéma :
Sur le schéma de droite, l’extrémité de la baguette droite
se trouve à l’origine du repère GALILEEN
kjiO 
 ,,,
. La
ficelle monte verticalement, fait le tour de l’axe du diabolo au
point I. A noter que ce que nous appellerons R sera le rayon
de l’AXE du diabolo et non le rayon du diabolo schématisé
par le rond en pointillés. Enfin, elle continue de monter
jusqu’à l’extrémité de la baguette gauche qui se trouve à une
hauteur égale à la longueur de la ficelle.
2) Variables
R : rayon de l’axe du diabolo
L : longueur de la ficelle
R :
kjiO 
 ,,,
, repère Galiléen
D :
kvuG 
 ,,,
, repère lié au diabolo
G : le centre de gravité du diabolo
I : le point de contact entre la ficelle et le diabolo
h : hauteur du diabolo (position de I sur l’axe vertical)
 : position angulaire du diabolo par rapport à R.
3) Equations de base
- Expression des coordonnées du repère D par rapport au
repère R :
  jiv jiu  cossin sincos
uji
Rdtvd vji
Rdtud
)sincos(
/
)cossin(
/
- Expression de la position, vitesse et accélération du diabolo dans le repère R :
iRjhOG 
jh
Rdt
OGd
VRG
/
/
jh
Rdt
Vd RG
RG
//
/
4) Vecteur rotation
Expression du vecteur de rotation du repère D par rapport au repère R :
Rdtkd
k
Rdtvd
v
Rdtud
uRD /2
1
/2
1
/2
1
/
kkuvvuRD
2
1
2
1
0
2
1
2
1
/
kRD /
I
G
u
v
O
i
j
k
D

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5) Matrice d’inertie
Expression de la matrice d’inertie du diabolo par rapport au centre de gravité :
CDE DBF EFA IG
. Or l’axe k est un axe de symétrie donc D=E=0. Il en résulte
C BF FA IG00 0
0
6) Moment cinétique
Expression du moment cinétique du diabolo par rapport à son centre de gravité :
0
0
0
0
0
00 0
0
//
/, C
k
C
BF FA VmGGIRGRDG
RDG
kC
RDG /,
avec C étant le moment d’inertie du diabolo par rapport à l’axe k.
7) Moment dynamique
Expression du moment dynamique du diabolo par rapport à son centre de gravité :
0
// //
/,
/,
 Rdt kdC
VmV
Rdt
d
RGRG
RDG
RDG
kC
RDG /,
8) Condition de roulement sans glissement
- Expression de la vitesse du point I par rapport au repère R :
jhOI 
jh
RdtOId
VRI
/
/
- Expression de la vitesse du point I par rapport au repère D :
)sin(cos vuRiRGI 
jRvuR
DdtGId
VDI
)cossin(
/
/
- Expression de la vitesse de glissement du point I du diabolo par rapport à la ficelle
jhRjhjRVVV RIDIRDgI
)(///  
- Le diabolo monte le long de la ficelle lors de la figure « l’ascenseur » sans glisser
lorsque la ficelle est tendue. La vitesse de glissement est donc nulle.
0/ RDgIV
0)( 
 jhR
0hR 
R
h
R
h
9) Torseur dynamique
Expression du torseur dynamique par rapport au centre de gravité dans le repère R :
G
G
RDG
RG
G
RD kC jhm
m
/,
/
/
G
G
RD kh
R
Cjhm
/

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10) Torseur d’action mécanique sur le diabolo
- Expression du torseur d’action mécanique lié à la gravité sur le diabolo:
G
Gjmg
DP   0
- Expression du torseur d’action mécanique lié à la ficelle sur le diabolo :
G
GNML ZYX
DF 
La ficelle n’exerce aucune réaction sur l’axe i, ni sur l’axe k ce qui implique X=Z=0. Y
pourra être assimilé à la tension de la ficelle, notée T. De plus, la ficelle n’exerce aucun
moment autour de l’axe i ni autour de l’axe j. Il ne reste que le moment lié à la tension T
de la ficelle. On obtient ainsi :
G
G
G
GkRT
jT
jTiR jT
jTGI
jT
DF 
- Expression du torseur d’action mécanique sur le diabolo :
G
G
GG
GkRT
jT
jmg
DFDPDD 
0
G
GkRT jmgT
DD 
)(
11) Principe fondamental de la dynamique
Après tous ces calculs préliminaires, appliquons le principe fondamental de la dynamique
sur le diabolo dans le repère Galiléen R :
G
G
RD DD /
G
GkRT jmgT
kh
R
Cjhm
 )(
kRTkh
R
CjmgTjhm 
 )(
RTh
R
CmgThm 
T
C
R
h
ghmT 2)(
)(
2ghm
C
R
h 
gmRhmRC22)(  
2
2
mRCgmR
h
En posant
2
2
mRCgmR
K
, K étant une constante strictement positive, on a
Kh 

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12) Calcul des constantes
Nous avons l’équation régissant le mouvement du diabolo lors de la figure
« l’ascenseur ». Le mouvement se résume simplement à une décélération linéaire, ce qui
va permettre d’éviter à devoir calculer les constantes permettant de connaître la valeur de
K. Il suffit de procéder à 2 jeux de conditions initiales différentes pour obtenir un système
d’équations et donc s’affranchir de cette constante. Afin de déterminer K, je propose de
garder la position des baguettes et la façon dont est enroulé le diabolo comme expliqué
dans la modélisation du problème, mais au lieu de faire commencer le diabolo d’en bas,
nous le ferons commencer d’en haut, sans vitesse ni rotation initiale. Nous mesurerons le
temps T que mettra le diabolo pour descendre jusqu’à la baguette droite. Nous avons
donc
0)0( h
,
Lh )0(
et
0)( Th
. Intégrons notre équation du mouvement :
1)( CKtth 
Or
00)0( 1 Ch
Ktth )(
2
2
²
)( C
t
Kth 
Or
LCh  20)0(
L
t
Kth  2
²
)(
De plus
0
2²
)(  L
T
KTh
. On obtient donc la valeur de K :
²
2
TL
K
13) Expression de la vitesse du diabolo
Nous avons maintenant tous les éléments pour pouvoir calculer la vitesse de rotation du
diabolo. J’avais proposé en première méthode de réaliser la figure nommée
« l’ascenseur » pour calculer cette vitesse de rotation. Il s’avère qu’il va falloir mesurer le
temps que le diabolo va mettre pour monter le long de la ficelle, et ce temps est voisin de
la seconde, ce qui cause des erreurs de mesure. Pour pallier ce problème, il suffit
d’enchaîner n (2 voire 3) ascenseurs consécutifs et considérer alors que la ficelle est n
fois plus longue. Le temps mesuré est alors le temps total où la ficelle est tendue (il faut
enlever le temps où l’on fait redescendre le diabolo sans tendre la ficelle). En fait, après
expérience, il s’est avéré que ce laps de temps est négligeable et que l’on peut considérer
la durée comme le temps nécessaire pour faire n ascenseurs consécutifs. Nous noterons D
cette durée. Nous avons donc comme conditions
0
)0(
Rh 
,
0)0( h
et
nLDh )(
.
Intégrons notre équation du mouvement :
1)( CKtth 
Or
0
10)0(
RCh 
0
)(
RKtth 
2
0
2
²
)( CtR
t
Kth 
Or
000)0( 2 Ch
tR
t
Kth 0
2
²
)(
De plus
nLDR
D
KDh  0
2²
)(
. On obtient donc la valeur de
0
:
s
rad
RD
D
K
nL ²
2
0
Il ne reste plus qu’à convertir en tours/s
s
tr
RD
D
K
nL
2
²
2
0

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14) Application numérique
J’ai deux ficelles de matière et de longueur différente. J’ai donc procédé à 2 jeux
d’expérience.
 Application numérique 1 :
J’ai une ficelle de longueur L=1,6m et un diabolo avec un axe de rayon R=0,013m.
J’ai fait l’expérience permettant de calculer K plusieurs fois et j’en ai conclu que mon
diabolo mettait un temps T=5,5s pour descendre.
Ainsi
106,0
²5,5 6,12 ²
2
 TL K
J’ai réalisé l’ascenseur 3 fois de suite en un temps D=5,5 secondes
s
tr
RD
D
K
nL 25,14
5,5013,02
²5,5
2
106,0
6,13
2
²
2
0
 Application numérique 2 :
J’ai une ficelle de longueur L=1,35m et un diabolo avec un axe de rayon R=0,013m.
J’ai fait l’expérience permettant de calculer K plusieurs fois et j’en ai conclu que mon
diabolo mettait un temps T=5s pour descendre.
Ainsi
108,0
²5 35,12 ²
2
 TL K
(Au passage, le même résultat que pour le test précédent)
J’ai réalisé l’ascenseur 3 fois de suite en un temps D=4,5 secondes
s
tr
RD
D
K
nL 00,14
5,4013,02
²5,4
2
108,0
35,13
2
²
2
0
15) Conclusion
J’ai fait d’autres essais avec un nombre d’ascenseur différent, avec des longueurs bien
plus grandes et j’en suis arrivé toujours à la même valeur numérique finale :
Mon diabolo tourne à 14 tours par seconde.
Pour se donner une autre idée, ramenons cette vitesse à une vitesse linéaire, comme
quand par exemple le diabolo tournant à cette vitesse est posé par terre. Mon diabolo a un
rayon R’=0,065m (on prend bien le rayon du diabolo et plus du tout le rayon de son axe).
h
km
s
m
Rv 207,500,14065.022 0
.