Fiche 1 Géométrie affine 1 Activité 1

Fiche 1
Géométrie affine
1 Activité 1 - axiomes d’incidence
1. Il s’agit de démontrer que les trois cas d’incidence sont possibles et qu’il n’y
en a pas d’autre.
— On peut commencer par restreindre le nombre de cas possible en dé-
montrant que si deux droites ont deux points communs, alors elles sont
confondues. Ce cas est possible car par hypothèse, il existe au moins une
droite (l’ensemble des parties nommées droites est non vide)
— Dans un second temps, on démontre que les deux autres cas sont pos-
sibles : on peut choisir trois points non alignés (possible d’après l’axiome
AI3) et construire les deux autres cas à partir des autres axiomes.
2. Pour rappel, une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et tran-
sitive. Pour les points suivants, on peut raisonner par l’absurde.
3. Penser à la construction géométrique d’un parallélograme à partir de trois
points.
2 Activité 2.1
Pour commencer, il est important d’être à l’aise avec la définition espace vecto-
riel Esur un corps k: C’est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs,
muni deux deux opérations
— une interne + : E×E→E, qui munit Ed’une structure de groupe com-
mutatif
— une externe ∗:k×E→E
Les opérations vérifiant les axiomes de compatibilité :
— scalaire mobile : ∀(λ, µ, v)∈k2×E(λµ)∗v=λ∗(µ∗v)
— neutre : ∀v∈E: 1k×v=v
— associativité (1) : ∀(λ, µ, v)∈k2×E(λ+µ)∗v=λ∗v+µ∗v
— associativité (2) : ∀(λ, v, w)∈k×E2λ∗(v+w) = λ∗v+λ∗w
Un sous espace vectoriel d’un k-espace vectoriel est un ensemble non vide stable
par combinaison linéaire.
1. On vérifie aisément que ⃗ Eest un sous-espace vectoriel de R3; mais pas E:
par exemple, En’est pas stable par l’addition. Pour vérifier que l’application
ϕmunit l’espace Ed’une structure d’espace affine, il suffit de vérifier les deux
propriétés.
— Relation de Chasles
—∀A∈E, ∀u∈⃗ E∃!M∈E|ϕ(A, M) = u
Pour rappel, le point d’exclamation derrière le signe ∃signale l’unicité,
et démontrer l’existence et l’unicité d’un antécédent par ϕApour tout
vecteur de Erevient bien à démontrer la bijectivité de ϕA
2. Conséquences de la relation de Chasles
3. Le premier point est une conséquence de la relation de Chasles. Le second
point découle du fait que ϕxest bijective et donc il existe un unique anté-
cédent au vecteur ⃗xy
2.
4. On démontre
i)⇒ii)⇒iii)⇒i).
i)⇒ii): D’après la relation de Chasles, on a :
⃗
xx′=⃗xy +⃗ yy′+⃗ y′x′
Or par hypothèse ⃗xy =⃗ x′y′et d’après la question 2., ⃗ x′x′=⃗ 0. On a donc
⃗
xx′=⃗ yy′+ ( ⃗ x′y′+⃗ y′x′) = ⃗ yy′+⃗ 0 = ⃗ yy′
ii)⇒iii): Soit zle milieu de {x, y′}. Démontrons que sous l’hypothèse
ii),zest le milieu de {x′, y}. D’après l’exercice 3, il suffit de démontrer que
2⃗ x′z=⃗ x′y. Or d’après la relation de Chasles :
⃗
x′y=⃗ x′x+⃗ xy′+⃗ y′y(1)
. Et d’une part en utilisant l’hypothèse et l’exercice 1, et d’autre part le fait
que zle milieu de {x, y′}, on a
⃗
x′x=⃗ y′y⃗ xy′= 2 ⃗xz
D’où en reportant dans (1) :
⃗
x′y= 2 ⃗ x′x+ 2 ⃗xz = 2 ⃗ x′z
iii)⇒i): Par hypothèse (d’après l’exercice 3 concernant les milieux)
⃗
x′z=⃗zy ⃗xz =⃗ zy′
On en déduit, en utilisant la relation de Chasles :
⃗xy =⃗xz +⃗zy =⃗ zy′+⃗ x′z=⃗ x′y′
Finalement on a bien démontré l’équivalence des trois propriétés.
géométrie fiche1 1

3 Activité 3
1.
2. Première matrice de rang 1 : définit un plan
Deuxième matrice de rang 2 : définit une droite
Troisième matrice de rang 3 : définit un point
Quatrième matrice : de rang 2, soit incompatible, soit définit une droite dans
le cas particulier où c= 2a−b
Cinquième matrice de rang 3 :le système est soit incompatible, soit définit
un point (dans le cas particulier d=−10a+ 19b+ 4c
Sixième matrice de rang 2 : L3= 2L1−L2et L4=L1+ 2L2. Soit le
système est incompatible, soit il définit une droite, dans le cas particulier
où c= 2a−bet d=a+ 2b.
Septième matrice de rang 3 : L3= 2L1−L2; et L1, L2, L3linéairement
indépendantes. Soit le système est incompatible, soit il définit un point dans
le cas particulier où c= 2a−b.
3. (a) 1- On cherche une équation de plan, par exemple en écrivant
det 
1 1 1
1 3 −1
x y z
= 0
−4x+ 2y+ 2z= 0 ⇔2x−y−z= 0
2- Comme v3= 2v1−v2, l’espace engendré est le même que si l’on
n’avait que les deux premiers vecteurs.
3- Comme det(v1, v2, v3)̸= 0, l’espace engendré par ces vecteurs est R3.
4- L’espace engendré est une droite. On peut choisir comme équations
indépendantes vérifiées par le vecteur v1:
x−y= 0 x−z= 0
(b) Le point (0,1,-1) appartient à l’espace vectoriel d’équation
2x−y−z= 0
donc les équations ne changent pas dans les questions 1 et 2. De même,
ce point appartient à R3, et l’espace translaté est égal à lui même ;
Pour la dernière question, le point Pn’appartenant pas à la droite vec-
torielle ⃗ Dengendrée par le vecteur (1,1,1) ; l’espace affine passant par
Pet de direction ⃗ Da pour équations :
x−y=−1x−z= 1
4. On démontre que les trois plans se coupent le long d’une droite.
5. L’équation (E)est incomplète. En lui ajoutant un second membre non nul,
on obtient un ensemble de solution muni d’une structure affine, sous-espace
affine de l’espace des fonctions réelles, muni de sa structure affine canonique.
6. 1- L’application est de rang 1. Son noyau est l’hyperplan d’équation x−
2y+ 3t= 0
2- u= (a, b, c, d)∈R4, avec u̸∈ H.u=tu(0), donc clairement u∈H1, car
0∈H. De plus,
v∈H1⇔v=u+h, où h∈H
de sorte que H1est bien un sous espace affine de R4, de direction Het
passant par u.
3- En choisissant u= (1,0,0,0), l’équation cartesienne de H1est
x−2y+ 3t=f(u) = 1
4- Une base affine, de H1est formée de 4 points A, B, C, D de H1tels que
les vecteurs ⃗ AB,⃗ AC et ⃗ AD forment une base de H. On peut choisir
A=u,B=u+ (3,0,0,−1),C=u+ (0,0,1,0),D=u+ (2,1,0,0)
7. Ici, on donne les équations cartésiennes, mais le plus simple pour répondre à
la question posée est de repasser par une équation paramétrique : determiner
un point Adu plan Pet deux vecteurs (u, v)directeurs du plan vectoriel ⃗ P,
puis en déduire l’équation cartésienne en utilisant un déterminant.
det 
x−1y z
1 1 −2
1 2 3
= 0
8.
9. Soient Vet Wdeux sous-espaces affines de E. Par commodité d’écriture,
on omettra les flèches sur les vecteurs notés u,vou wde ⃗ E.
Supposons que ⃗ V⊕⃗ W=⃗ E.Montrons d’une part que V∩West un
singleton et d’autre part que Aff(V∪W) = E.
•Pour commencer, montrons que V∩Wn’est pas vide. Par hypothèse, V
et Wne sont pas vide puisque ce sont des espaces affines. Soient A∈V
et B∈W. Par hypothèse, il existe une décomposition unique du vecteur
⃗
AB en somme d’un vecteur de ⃗ Vet d’un vecteur de ⃗ W, autrement dit,
il existe un unique point C1∈Vet un unique point C2∈Wtels que
⃗
AB =⃗ AC1+⃗ C2B, mais alors, d’après la relation de Chasles, on en déduit
que ⃗ C1C2=⃗ 0, c’est à dire que C1=C2=C∈V∩W.
Supposons qu’il existe un deuxième point C′∈V∩W, alors le vecteur
⃗
CC′∈⃗ V∩⃗ W, de sorte que ⃗ CC′=⃗ 0:C=C′. On a bien démontré que
si ⃗ V⊕⃗ W=⃗ E, alors V∩West un singleton
géométrie fiche1 2

Remarque : pour démontrer que V∩West réduit au point Cconstruit,
on peut aussi invoquer un argument de dimension ici : −−−−→ V∩Wn’étant
pas vide, il s’agit d’un espace affine de direction ⃗ V∩⃗ W={0}. Or un
espace affine de dimension 0est un point.
•Soit maintenant M∈E, quelconque. Montrons que M∈Af f(V∪W).
Par hypothèse, il existe v∈⃗ Vet w∈⃗ Wtels que ⃗ CM =v+w, cela
prouve que M∈Af f (V∪W)
Réciproquement, supposons que V∩West un singleton C, et que
Aff(V∪W) = E.
•Pour commencer, montrons que lorsque V∩W̸=∅, on a ⃗ Aff(V∪W) =
⃗
V+⃗ WPar définition,
−−−−−−−−−→
Aff(V∪W) = Vect(−−→ MN, (M, N )∈(V∪W)2).
Il suffit donc de démontrer que pour tout (M, N )∈(V∪W)2, le vecteur
⃗
MN ∈⃗ V+⃗ W. En effet, l’inclusion réciproque est évidente.
Soit donc (M, N)∈(V∪W)2. Si (M, N )∈V2, alors −−→ MN ∈⃗ Vet il n’y
a rien à démontrer. De même si (M, N )∈W2. On peut donc supposer
que M∈Vet N∈W.
Comme V∩W̸=∅, il existe C∈V∩W.
D’après la relation de Chasles, on peut écrire −−→ MN =−−→ MC+−−→ CN ∈⃗ V+⃗ W.
On a bien démontré que
−−−−−−−−−→
Aff(V∪W) = Vect(−−→ MN, (M, N)∈(V∪W)2) = ⃗ V+⃗ W
•Soit maintenant u∈⃗ E. Démontrons que u∈⃗ V+⃗ W. D’après la définition
des espaces affines, il existe M∈Etel que ⃗u =⃗ CM . Or, par hypothèse,
M∈Aff(V∪W), ce qui implique que
−−→
CM ∈Vect({−−→ MN, (M, N )∈V∪W}) = ⃗ V+⃗ W
•Reste à démontrer que la somme est directe. Supposons que v∈vecV ∩
⃗
W, et montrons que v= 0. Par définition de l’espace affine V, il existe
M∈Vtel que ⃗ CM =v. De même, il existe N∈Wtel que ⃗ CN =v. Mais
par unicité de l’image de Cpar la translation de vecteur v(définition de
l’espace affine E), on a M=N∈V∩Wet par hypothèse, on en déduit
que M=N=C, autrement dit v= 0 ⃗
E.
4 Activité 4
4.1 colinéarité en seconde
a- On sait que deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaire s’ils engendrent un espace
de dimension 0 ou 1, ce qui revient à dire que la famille{⃗u, ⃗v}est de rang 1.
Pour des vecteurs de R2, cela revient à dire que la famille n’est pas de rang
maximal, donc
det(⃗u, ⃗v) = 0
, c’est à dire que
xy′−x′y= 0
b- En seconde, on peut dire que ⃗u et ⃗v sont des vecteurs colinéaires s’il est
possible d’écrire l’un comme multiple de l’autre.
c- On commence par remarquer que la définition peut s’asymétriser en notant
que ⃗u et ⃗v sont des vecteurs colinéaires si ⃗u = 0 ou si il existe k∈Rtel que
⃗v =k⃗u.
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de R2.
Si ⃗u = 0, alors ⃗u = 0 ×⃗v, donc les vecteurs sont colinéaires. On a bien
0×y′−x′×0 = 0
Supposons maintenant ⃗u ̸= 0. On peut par exemple supposer que x̸= 0.
∃k∈R|vecv =k⃗u ⇔ ∃k∈R|x′=kx et y′=ky
⇔y′=x′
xy
⇔xy′−x′y= 0
4.2 Cours de terminale sur les propriétés d’incidence
a) Le fait que par deux points Aet Bdistincts de E, il passe une et une seule
droite est une conséquence de la définition d’espace affine : la donnée des
points Aet Bdéfinit de manière unique le vecteur ⃗ AB et la définition de
droite affine :
(AB) = {M∈E|⃗ AM ∈Vect( ⃗ AB)}
Supposons que Aet Bappartiennent à une droite D, alors ⃗ AB ∈⃗ D. Or
⃗
AB ̸=⃗ 0par hypothèse, et ⃗ Dest de dimension 1 par définition, de sorte que
⃗
D= Vect( ⃗ AB), et finalement D= (AB).
Remarque : La définition d’un plan est incomplète dans le poly proposé. En
effet, les droites affines vérifient également la propriété énoncée. Il faudrait
donc ajouter : toute partie Pde (E)contenant au moins 3 points non alignés
et elle que toute droite contenant deux points distincts Aet Bde Psoit
incluse dans P.
Selon la définition du cours sur les espaces affines, un plan vectoriel est une
partie Pde Etelle que ⃗ P=ϕ(P2)est un sous-espace vectoriel de dimension
2de ⃗ E. Ainsi, d’après les propriété de stabilité des espaces vectoriels, pour
tout couple de points (A, B)∈ P2, et pour tout λ∈R, on a λϕ(A, B)∈⃗ P,
ce qui implique que la droite (AB)est incluse dans P.
géométrie fiche1 3

b) En effet, trois points non alignés correspondent à la donnée d’un point et
d’une base de deux vecteurs non nuls de l’espace direction. Trois points non
alignés définissent bien un plan.
Les cas b,c,d se ramènent au cas a)
c) Deux droites parallèles sont deux droites qui ont le même sous-espace-
vectoriel direction. Les trois premiers points découlent directement de cette
définition.
d) Le point 2)A) découle de la définition d’une droite parallèle à un plan (au
sens faiblement parallèle) : l’espace vectoriel direction de la droite étant
inclus dans celui du plan.
Démontrons ce résultat avec les outils et définition de terminale : une droite
est parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou disjointe du plan.
Supposons que Dest parallèle à ∆et ∆est incluse dans P.
Si Dest incluse dans P, alors elle est paralèle à P. Sinon, soit P′le plan
contenant ∆et D.
Montrons par l’absurde que Dest parallèle à P:
On suppose donc que D ∩ P ={I}. Dans ce cas, le plan P′contient la droite
∆par hypothèse, et le point Icar I∈ D ⊂ P′. Or un plan est entièrement
déterminé par une droite et un point, et le plan Pcontient également le
point Iet la droite ∆par hypothèse. On a donc P=P′, ce qui contredit
l’hypothèse selon laquelle Dn’est pas incluse dans P.
e) Dans la situation du point 2)b), on a
⃗
D⊂⃗ P ∩ ⃗ R
, de sorte que ⃗ P ∩ ⃗ Rest un espace vectoriel de dimension au moins 1. Soit
il s’agit d’une droite vectorielle, et dans ce cas, il s’agit de la droite ⃗ D, ce
qui prouve que P ∩ R est parallèle à D, soit il s’agit d’un plan vectoriel, et
dans ce cas il est égal à ⃗ P=⃗ R, donc les plans sont parallèles ou confondus,
ce qui est en désaccord avec le schéma et l’hypothèse Rest sécant avec P.
Dans la situation 2)c), on a
⃗
D=⃗ P1∩⃗ P2
f) En utilisant les espaces affines, le théorème du toît est une conséquence de
l’identité suivante :
⃗
∆1=⃗ ∆21=⃗ P1∩⃗ P2=−−−−−→ P1∩ P2
Démontrons ce théorème avec les notions connues en terminale : Par hypo-
thèse, ∆ = P∞∩ P∈est une droite, ∆i⊂ Piet ∆1est parallèle à ∆2.
Par symétrie de la situation, on peut remarquer qu’il suffit de démontrer
que ∆est parallèle à ∆1.
Par hypothèse, ∆et ∆1sont coplanaires. Il suffit donc de démontrer qu’elles
sont disjointes.
Montrons le par l’absurde : supposons que I∈∆∩∆1. Alors en particulier
I∈∆ = P∞∩ P∈, et donc I∈ P2∩∆1, ce qui contredit l’hypothèse selon
laquelle ∆1est parallèle à P2. Or on a vu dans la propriété précédente que
si ∆1est parallèle à ∆2et ∆2⊂ P2, alors ∆1est parallèle à P2.
g) Les propriétés 2e), 2f), 3a, c, d,e) sont évidentes avec le vocabulaire vectoriel.
La propriété 3b) découle du fait qu’un sous espace vectoriel de dimension 2
d’un plan vectoriel est égal au plan tout entier :
Vect(⃗ ∆1∪⃗ ∆2) = ⃗ P
En effet, puisque, les droites étant sécantes, Vect(⃗ ∆1∪⃗ ∆2)est de dimension
2, et comme chacune des droites vectorielles est incluse dans ⃗ P, l’espace
engendré par leur réunion est égal à ⃗ P,
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