Fiche 1 Géométrie affine 1 Activité 1

Fiche 1
Géométrie affine
1
Activité 1 - axiomes d’incidence
1. Il s’agit de démontrer que les trois cas d’incidence sont possibles et qu’il n’y
en a pas d’autre.
— On peut commencer par restreindre le nombre de cas possible en démontrant que si deux droites ont deux points communs, alors elles sont
confondues. Ce cas est possible car par hypothèse, il existe au moins une
droite (l’ensemble des parties nommées droites est non vide)
— Dans un second temps, on démontre que les deux autres cas sont possibles : on peut choisir trois points non alignés (possible d’après l’axiome
AI3) et construire les deux autres cas à partir des autres axiomes.
2. Pour rappel, une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive. Pour les points suivants, on peut raisonner par l’absurde.
3. Penser à la construction géométrique d’un parallélograme à partir de trois
points.
⃗ ∃!M ∈ E | ϕ(A, M ) = u
— ∀A ∈ E, ∀u ∈ E
Pour rappel, le point d’exclamation derrière le signe ∃ signale l’unicité,
et démontrer l’existence et l’unicité d’un antécédent par ϕA pour tout
vecteur de E revient bien à démontrer la bijectivité de ϕA
2. Conséquences de la relation de Chasles
3. Le premier point est une conséquence de la relation de Chasles. Le second
point découle du fait que ϕx est bijective et donc il existe un unique anté⃗
cédent au vecteur xy
2 .
4. On démontre
i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ i).
i) ⇒ ii) : D’après la relation de Chasles, on a :
⃗ ′ = xy
⃗ ′ + y⃗′ x′
xx
⃗ + yy
Or par hypothèse xy
⃗ = x⃗′ y ′ et d’après la question 2., x⃗′ x′ = ⃗0. On a donc
⃗ ′ = yy
⃗ ′ + (x⃗′ y ′ + y⃗′ x′ ) = yy
⃗ ′ + ⃗0 = yy
⃗′
xx
2
Activité 2.1
Pour commencer, il est important d’être à l’aise avec la définition espace vectoriel E sur un corps k : C’est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs,
muni deux deux opérations
— une interne + : E × E → E, qui munit E d’une structure de groupe commutatif
— une externe ∗ : k × E → E
Les opérations vérifiant les axiomes de compatibilité :
— scalaire mobile : ∀(λ, µ, v) ∈ k 2 × E (λµ) ∗ v = λ ∗ (µ ∗ v)
— neutre : ∀v ∈ E : 1k × v = v
— associativité (1) : ∀(λ, µ, v) ∈ k 2 × E (λ + µ) ∗ v = λ ∗ v + µ ∗ v
— associativité (2) : ∀(λ, v, w) ∈ k × E 2 λ ∗ (v + w) = λ ∗ v + λ ∗ w
Un sous espace vectoriel d’un k-espace vectoriel est un ensemble non vide stable
par combinaison linéaire.
⃗ est un sous-espace vectoriel de R ; mais pas E :
1. On vérifie aisément que E
par exemple, E n’est pas stable par l’addition. Pour vérifier que l’application
ϕ munit l’espace E d’une structure d’espace affine, il suffit de vérifier les deux
propriétés.
— Relation de Chasles
ii) ⇒ iii) : Soit z le milieu de {x, y ′ }. Démontrons que sous l’hypothèse
ii), z est le milieu de {x′ , y}. D’après l’exercice 3, il suffit de démontrer que
2x⃗′ z = x⃗′ y. Or d’après la relation de Chasles :
⃗ ′ + y⃗′ y
x⃗′ y = x⃗′ x + xy
(1)
. Et d’une part en utilisant l’hypothèse et l’exercice 1, et d’autre part le fait
que z le milieu de {x, y ′ }, on a
x⃗′ x = y⃗′ y
⃗ ′ = 2xz
xy
⃗
D’où en reportant dans (1) :
x⃗′ y = 2x⃗′ x + 2xz
⃗ = 2x⃗′ z
iii) ⇒ i) : Par hypothèse (d’après l’exercice 3 concernant les milieux)
x⃗′ z = zy
⃗
⃗′
xz
⃗ = zy
3
géométrie fiche1
On en déduit, en utilisant la relation de Chasles :
⃗ ′ + x⃗′ z = x⃗′ y ′
xy
⃗ = xz
⃗ + zy
⃗ = zy
Finalement on a bien démontré l’équivalence des trois propriétés.
1
3
Activité 3
5. L’équation (E) est incomplète. En lui ajoutant un second membre non nul,
on obtient un ensemble de solution muni d’une structure affine, sous-espace
affine de l’espace des fonctions réelles, muni de sa structure affine canonique.
1.
2. Première matrice de rang 1 : définit un plan
Deuxième matrice de rang 2 : définit une droite
Troisième matrice de rang 3 : définit un point
Quatrième matrice : de rang 2, soit incompatible, soit définit une droite dans
le cas particulier où c = 2a − b
Cinquième matrice de rang 3 :le système est soit incompatible, soit définit
un point (dans le cas particulier d = −10a + 19b + 4c
Sixième matrice de rang 2 : L3 = 2L1 − L2 et L4 = L1 + 2L2 . Soit le
système est incompatible, soit il définit une droite, dans le cas particulier
où c = 2a − b et d = a + 2b.
Septième matrice de rang 3 : L3 = 2L1 − L2 ; et L1 , L2 , L3 linéairement
indépendantes. Soit le système est incompatible, soit il définit un point dans
le cas particulier où c = 2a − b.
3. (a) 1- On cherche une équation de plan, par exemple en écrivant


1 1 1
det  1 3 −1  = 0
x y z
−4x + 2y + 2z = 0 ⇔ 2x − y − z = 0
2- Comme v3 = 2v1 − v2 , l’espace engendré est le même que si l’on
n’avait que les deux premiers vecteurs.
3- Comme det(v1 , v2 , v3 ) ̸= 0, l’espace engendré par ces vecteurs est R3 .
4- L’espace engendré est une droite. On peut choisir comme équations
indépendantes vérifiées par le vecteur v1 :
x−y =0
x−z =0
(b) Le point (0,1,-1) appartient à l’espace vectoriel d’équation
2x − y − z = 0
donc les équations ne changent pas dans les questions 1 et 2. De même,
ce point appartient à R3 , et l’espace translaté est égal à lui même ;
Pour la dernière question, le point P n’appartenant pas à la droite vec⃗ engendrée par le vecteur (1, 1, 1) ; l’espace affine passant par
torielle D
⃗ a pour équations :
P et de direction D
x − y = −1 x − z = 1
4. On démontre que les trois plans se coupent le long d’une droite.
géométrie fiche1
6. 1- L’application est de rang 1. Son noyau est l’hyperplan d’équation x −
2y + 3t = 0
2- u = (a, b, c, d) ∈ R4 , avec u ̸∈ H. u = tu (0), donc clairement u ∈ H1 , car
0 ∈ H. De plus,
v ∈ H1 ⇔ v = u + h, où h ∈ H
de sorte que H1 est bien un sous espace affine de R4 , de direction H et
passant par u.
3- En choisissant u = (1, 0, 0, 0), l’équation cartesienne de H1 est
x − 2y + 3t = f (u) = 1
4- Une base affine, de H1 est formée de 4 points A, B, C, D de H1 tels que
⃗ AC
⃗ et AD
⃗ forment une base de H. On peut choisir
les vecteurs AB,
A = u, B = u + (3, 0, 0, −1), C = u + (0, 0, 1, 0), D = u + (2, 1, 0, 0)
7. Ici, on donne les équations cartésiennes, mais le plus simple pour répondre à
la question posée est de repasser par une équation paramétrique : determiner
un point A du plan P et deux vecteurs (u, v) directeurs du plan vectoriel P⃗ ,
puis en déduire l’équation cartésienne en utilisant un déterminant.


x−1 y z
det  1
1 −2  = 0
1
2 3
8.
9. Soient V et W deux sous-espaces affines de E. Par commodité d’écriture,
⃗
on omettra les flèches sur les vecteurs notés u, v ou w de E.
⃗ ⊕W
⃗ = E.
⃗ Montrons d’une part que V ∩ W est un
Supposons que V
singleton et d’autre part que Af f (V ∪ W ) = E.
• Pour commencer, montrons que V ∩ W n’est pas vide. Par hypothèse, V
et W ne sont pas vide puisque ce sont des espaces affines. Soient A ∈ V
et B ∈ W . Par hypothèse, il existe une décomposition unique du vecteur
⃗ en somme d’un vecteur de V
⃗ et d’un vecteur de W
⃗ , autrement dit,
AB
il existe un unique point C1 ∈ V et un unique point C2 ∈ W tels que
⃗ = AC
⃗ 1 + C⃗2 B, mais alors, d’après la relation de Chasles, on en déduit
AB
que C1⃗C2 = ⃗0, c’est à dire que C1 = C2 = C ∈ V ∩ W .
Supposons qu’il existe un deuxième point C ′ ∈ V ∩ W , alors le vecteur
⃗ ′∈V
⃗ ∩W
⃗ , de sorte que CC
⃗ ′ = ⃗0 : C = C ′ . On a bien démontré que
CC
⃗ ⊕W
⃗ = E,
⃗ alors V ∩ W est un singleton
si V
2
Remarque : pour démontrer que V ∩ W est réduit au point C construit,
−−−−→
on peut aussi invoquer un argument de dimension ici : V ∩ W n’étant
⃗ ∩W
⃗ = {0}. Or un
pas vide, il s’agit d’un espace affine de direction V
espace affine de dimension 0 est un point.
• Soit maintenant M ∈ E, quelconque. Montrons que M ∈ Af f (V ∪ W ).
⃗ et w ∈ W
⃗ tels que CM
⃗ = v + w, cela
Par hypothèse, il existe v ∈ V
prouve que M ∈ Af f (V ∪ W )
Réciproquement, supposons que V ∩ W est un singleton C, et que
Af f (V ∪ W ) = E.
• Pour commencer, montrons que lorsque V ∩W ̸= ∅, on a Af f (V⃗ ∪ W ) =
⃗ +W
⃗ Par définition,
V
−−−−−−−−−→
−−→
Af f (V ∪ W ) = Vect(M N , (M, N ) ∈ (V ∪ W )2 ).
Il suffit donc de démontrer que pour tout (M, N ) ∈ (V ∪ W )2 , le vecteur
⃗ +W
⃗ . En effet, l’inclusion réciproque est évidente.
M⃗N ∈ V
−−→ ⃗
Soit donc (M, N ) ∈ (V ∪ W )2 . Si (M, N ) ∈ V 2 , alors M N ∈ V
et il n’y
2
a rien à démontrer. De même si (M, N ) ∈ W . On peut donc supposer
que M ∈ V et N ∈ W .
Comme V ∩ W ̸= ∅, il existe C ∈ V ∩ W .
−−→ −−→ −−→ ⃗ ⃗
D’après la relation de Chasles, on peut écrire M N = M C + CN ∈ V
+W .
On a bien démontré que
−−−−−−−−−→
−−→
⃗ +W
⃗
Af f (V ∪ W ) = Vect(M N , (M, N ) ∈ (V ∪ W )2 ) = V
⃗ Démontrons que u ∈ V
⃗ +W
⃗ . D’après la définition
• Soit maintenant u ∈ E.
⃗ . Or, par hypothèse,
des espaces affines, il existe M ∈ E tel que ⃗u = CM
M ∈ Af f (V ∪ W ), ce qui implique que
−−→
−−→
⃗ +W
⃗
CM ∈ Vect({M N , (M, N ) ∈ V ∪ W }) = V
• Reste à démontrer que la somme est directe. Supposons que v ∈ vecV ∩
⃗ , et montrons que v = 0. Par définition de l’espace affine V , il existe
W
⃗ = v. De même, il existe N ∈ W tel que CN
⃗ = v. Mais
M ∈ V tel que CM
par unicité de l’image de C par la translation de vecteur v (définition de
l’espace affine E), on a M = N ∈ V ∩ W et par hypothèse, on en déduit
que M = N = C, autrement dit v = 0E⃗ .
4
Activité 4
4.1
colinéarité en seconde
a- On sait que deux vecteurs ⃗u et ⃗v sont colinéaire s’ils engendrent un espace
de dimension 0 ou 1, ce qui revient à dire que la famille{⃗u, ⃗v } est de rang 1.
géométrie fiche1
Pour des vecteurs de R2 , cela revient à dire que la famille n’est pas de rang
maximal, donc
det(⃗u, ⃗v ) = 0
, c’est à dire que
xy ′ − x′ y = 0
b- En seconde, on peut dire que ⃗u et ⃗v sont des vecteurs colinéaires s’il est
possible d’écrire l’un comme multiple de l’autre.
c- On commence par remarquer que la définition peut s’asymétriser en notant
que ⃗u et ⃗v sont des vecteurs colinéaires si ⃗u = 0 ou si il existe k ∈ R tel que
⃗v = k⃗u.
Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs de R2 .
Si ⃗u = 0, alors ⃗u = 0 × ⃗v , donc les vecteurs sont colinéaires. On a bien
0 × y ′ − x′ × 0 = 0
Supposons maintenant ⃗u ̸= 0. On peut par exemple supposer que x ̸= 0.
∃k ∈ R |x′ = kx et y ′ = ky
′
⇔ y ′ = xx y
⇔ xy ′ − x′ y = 0
∃k ∈ R | vecv = k⃗u ⇔
4.2
Cours de terminale sur les propriétés d’incidence
a) Le fait que par deux points A et B distincts de E, il passe une et une seule
droite est une conséquence de la définition d’espace affine : la donnée des
⃗ et la définition de
points A et B définit de manière unique le vecteur AB
droite affine :
⃗ ∈ Vect(AB)}
⃗
(AB) = {M ∈ E | AM
⃗ ∈ D.
⃗ Or
Supposons que A et B appartiennent à une droite D, alors AB
⃗ ̸= ⃗0 par hypothèse, et D
⃗ est de dimension 1 par définition, de sorte que
AB
⃗ = Vect(AB),
⃗
D
et finalement D = (AB).
Remarque : La définition d’un plan est incomplète dans le poly proposé. En
effet, les droites affines vérifient également la propriété énoncée. Il faudrait
donc ajouter : toute partie P de (E) contenant au moins 3 points non alignés
et elle que toute droite contenant deux points distincts A et B de P soit
incluse dans P.
Selon la définition du cours sur les espaces affines, un plan vectoriel est une
⃗ = ϕ(P 2 ) est un sous-espace vectoriel de dimension
partie P de E telle que P
⃗
2 de E. Ainsi, d’après les propriété de stabilité des espaces vectoriels, pour
⃗
tout couple de points (A, B) ∈ P 2 , et pour tout λ ∈ R, on a λϕ(A, B) ∈ P,
ce qui implique que la droite (AB) est incluse dans P.
3
b) En effet, trois points non alignés correspondent à la donnée d’un point et
d’une base de deux vecteurs non nuls de l’espace direction. Trois points non
alignés définissent bien un plan.
Les cas b,c,d se ramènent au cas a)
c) Deux droites parallèles sont deux droites qui ont le même sous-espacevectoriel direction. Les trois premiers points découlent directement de cette
définition.
d) Le point 2)A) découle de la définition d’une droite parallèle à un plan (au
sens faiblement parallèle) : l’espace vectoriel direction de la droite étant
inclus dans celui du plan.
Démontrons ce résultat avec les outils et définition de terminale : une droite
est parallèle à un plan si elle est incluse dans le plan ou disjointe du plan.
Supposons que D est parallèle à ∆ et ∆ est incluse dans P.
Si D est incluse dans P, alors elle est paralèle à P. Sinon, soit P ′ le plan
contenant ∆ et D.
Montrons par l’absurde que D est parallèle à P :
On suppose donc que D ∩ P = {I}. Dans ce cas, le plan P ′ contient la droite
∆ par hypothèse, et le point I car I ∈ D ⊂ P ′ . Or un plan est entièrement
déterminé par une droite et un point, et le plan P contient également le
point I et la droite ∆ par hypothèse. On a donc P = P ′ , ce qui contredit
l’hypothèse selon laquelle D n’est pas incluse dans P.
e) Dans la situation du point 2)b), on a
Montrons le par l’absurde : supposons que I ∈ ∆ ∩ ∆1 . Alors en particulier
I ∈ ∆ = P∞ ∩ P∈ , et donc I ∈ P2 ∩ ∆1 , ce qui contredit l’hypothèse selon
laquelle ∆1 est parallèle à P2 . Or on a vu dans la propriété précédente que
si ∆1 est parallèle à ∆2 et ∆2 ⊂ P2 , alors ∆1 est parallèle à P2 .
g) Les propriétés 2e), 2f), 3a, c, d,e) sont évidentes avec le vocabulaire vectoriel.
La propriété 3b) découle du fait qu’un sous espace vectoriel de dimension 2
d’un plan vectoriel est égal au plan tout entier :
⃗1∪∆
⃗ 2) = P
⃗
Vect(∆
⃗ 1 ∪∆
⃗ 2 ) est de dimension
En effet, puisque, les droites étant sécantes, Vect(∆
⃗ l’espace
2, et comme chacune des droites vectorielles est incluse dans P,
⃗
engendré par leur réunion est égal à P,
⃗ ⊂P
⃗ ∩R
⃗
D
⃗ ∩R
⃗ est un espace vectoriel de dimension au moins 1. Soit
, de sorte que P
⃗ ce
il s’agit d’une droite vectorielle, et dans ce cas, il s’agit de la droite D,
qui prouve que P ∩ R est parallèle à D, soit il s’agit d’un plan vectoriel, et
⃗ = R,
⃗ donc les plans sont parallèles ou confondus,
dans ce cas il est égal à P
ce qui est en désaccord avec le schéma et l’hypothèse R est sécant avec P.
Dans la situation 2)c), on a
⃗ =P
⃗1 ∩ P
⃗2
D
f) En utilisant les espaces affines, le théorème du toît est une conséquence de
l’identité suivante :
−−−−→
⃗1 = ∆
⃗21 = P
⃗1 ∩ P
⃗2 = −
∆
P1 ∩ P 2
Démontrons ce théorème avec les notions connues en terminale : Par hypothèse, ∆ = P∞ ∩ P∈ est une droite, ∆i ⊂ Pi et ∆1 est parallèle à ∆2 .
Par symétrie de la situation, on peut remarquer qu’il suffit de démontrer
que ∆ est parallèle à ∆1 .
Par hypothèse, ∆ et ∆1 sont coplanaires. Il suffit donc de démontrer qu’elles
sont disjointes.
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