Anneaux et corps

Chapitre 2
Anneaux et corps
1. Généralités
Définition
Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne S et z.
On dit que (A,S,z) est un anneau si et seulement si :
i)
(A,S) est un groupe abélien.
ii )
(A,z) est un monoïde.
iii )
La loi z est distributive par rapport à la loi S.
c'est-à-dire
distributive à gauche: x,y,z∈A, x z ( y S z)  (x zy) S (x zz)
et
distributive à droite: x,y,z∈A, (y S z) zx  (y zx) S (z zx).
Remarques






Un anneau n'est jamais vide.
Si la loi  est commutative la distributivité à gauche entraîne la distributivité à droite et
réciproquement.
Une autre façon d'énoncer la propriété iii) est de dire que, pour tout a de A, les applications
da : (A,S)  (A,S)
et ga : (A,S)  (A,S) sont des endomorphismes de groupes.
tt⊥a
ta⊥t
Il existe une autre définition des anneaux avec ii' ) au lieu de ii ) :
ii' )
(A,⊥) est un magma associatif.
Généralement la loi donnant la structure de groupe est notée additivement et l'autre est notée
multiplicativement.
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on dit que A est un anneau sans en préciser les lois.
Exemples



(,+,×) où  et  sont l'addition usuelle et la multiplication usuelle.
(D,+,×) où  et  sont l'addition usuelle et la multiplication usuelle.
({0,1},+,×) où  et  sont les lois définis par les tableaux suivants :
+
0
1


0
0
1
1
1
0

0
1
0
0
0
1
0
1
({0},+,×) où  et  sont l'addition usuelle et la multiplication usuelle.
Cet anneau est appelé un anneau nul.
Soit E  fonctions numériques définies sur 
(E,+,×) où  et  sont les lois usuelles :
et
fg:
fg:
x  f (x)  g(x)
x  f (x)  g(x)
Francis Wlazinski
1
Notation
Soit (A,+,×) un anneau.
On note généralement 0 ou 0A l'élément neutre de (A,+) et 1 ou 1A l'élément neutre de (A,×).
On parlera d'opposé pour le symétrique d'un élément pour la loi +.
On note A* A \ {0A}.
Exemple
Dans (M 3(),+,×), on a:
1 0 0
1  I3  0 1 0 et 0 
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Rappels


Soient (A1,+1,×1) et (A2,+2,×2) deux anneaux.
On définit une loi + sur A1 × A2 par (x,y) + (x',y') = (x +1 x',y +2 y') (x,y),(x',y')∈A1 × A2.
On définit une loi × sur A1 × A2 par (x,y) × (x',y') = (x ×1 x',y ×2 y') (x,y),(x',y')∈A1 × A2.
Ces lois sont appelés lois produits usuelles des lois de A1 et A2.
On étend ces définitions à un produit (fini) de plus de deux ensembles.
Propriété
Soit (Ai)i1,n une famille d'anneaux.
n
L'ensemble produit Ai muni des lois produits usuelles est un anneau.
i=1
Définition
Un anneau (A,+,×) est dit commutatif si et seulement si la loi  et commutative.
Exemples



Les précédents exemples d'anneaux sont des anneaux commutatifs.
Soit (G,+) un groupe abélien.
Soit End(G) endomorphismes de G
 et o étant l'addition et la composition usuelle des fonctions.
(End(G),+,o) est un anneau qui n'est généralement pas commutatif.
Si n  2, alors (M n(),+,×) n'est pas non plus commutatif.
Définition
Soient (A,+,×) un anneau et x un élément de A.
On appelle centralisateur de x dans A l'ensemble des éléments de A qui commutent avec x pour la loi ×.
On appelle centre de A l'ensemble des éléments de A qui commutent avec tous les autres.
Remarque
Le centre d'un anneau A n'est jamais vide puisqu'il contient 1A.
Francis Wlazinski
2
Propriétés
Soit (A,+,×) un anneau.
a.
x∈A,
0  x  x  0  0.
x,y∈A
(− x)  y  x × (− y)   (x y).
b.
c.
x,y∈A
(− x) × (− y)  x y.
Remarques


0 n'a de symétrique pour la loi  que si 1  0.
Les propriétés b. et c. sont appelées "la règle des signes".
Démonstration
a.
b.
c.
x∈A, 0  x  (0  0)  x  0  x  0  x.
Donc 0  x  0.
Idem pour l'autre égalité.
x,y∈A 0  y  0
0  y  (x  (− x))y  x y  (− x) y  0
Donc (− x) y est le symétrique de x y.
x00
x  0  x  (y  (− y))  x y  x (− y)  0
Donc x (− y) est aussi le symétrique de x y.
x,y∈A (− x) × (− y)  (x × (− y))   (− x y)  x y
Remarque importante
Soit (A,+,×) un anneau.
Si l'élément neutre de la multiplication est le même que celui de l'addition c'est-à-dire 1  0 alors
x∈A, x1.x  0.x  0.
Autrement dit, A est un anneau réduit à un seul élément.
Un tel anneau sera appelé un anneau nul.
Les autres anneaux seront dits unifères.
Remarque
Il existe une autre définition pour unifère lorsque l'on a considéré ii' ) pour la définition des anneaux.
Dans ce cas un anneau unifère est un anneau (simple) comme nous le considérons.
Propriété
Soient a et b deux éléments permutables d'un anneau unifère A.
Soit n un entier non nul.
Alors, on a la formule du binôme :
n(n − 1 ) n−2 2
n(n − 1 ) 2 n−2
( a + b )n = a n + na n−1b +
a b +.........+
a b + nab n−1 + b n
2
2
(n−2 ) 2 n−2
(n−1 )
= C 0n a n + a n−1b + C 2n a n−2b 2 +.........+ C n−
a b + C n−
ab n−1 + b n
n
n
n
n!
= C kn a n−k b k
où
C kn =
.
(
k!
n
− k )!
k=0
Francis Wlazinski
3
Remarque
On peut trouver les C kn grâce au triangle de Pascal suivant :
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
etc...
L’entier n correspond à l'indice de ligne et l'entier k à l’indice de colonne.
k
Qui provient de la formule C kn = C k−1
n−1 + C n−1 .
(n − 1 )!
(n − 1 )!
k
C k−1
+
n−1 + C n−1 =
(k − 1 )!(n − 1 − (k − 1 ))! (k )!(n − 1 − k )!
(n − 1 )!
(n − 1 )!
=
+
(k − 1 )!(n − k )! (k )!(n − 1 − k )!
(n − 1 )! % k (n − 1 )! % (n − k )
=
+
(k )!(n − k )!
(k )!(n − k )!
(n − 1 )! % (k + n − k)
n!
=
=
= C kn .
(k )!(n − k )!
k!(n − k )!
Exemple
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
Démonstration
Par récurrence :


Vrai au rangs 1 et 2.
On suppose vrai au rang n
( a + b )n+1 = ( a + b )( a + b )n
(n−2 ) 2 n−2
(n−1 )
= ( a + b )(C 0n an + C 1n an−1b + C 2n an−2b2 +.........+ C n−
a b + C n−
abn−1 + C 0n bn )
n
n
(n−2 ) 3 n−2
(n−1 ) 2 n−1
= C 0n an+1+ C 1n anb + C 2n an−1b2 +.........+ C n−
a b + C n−
a b + C 0n abn
n
n
(
)
(n−1 )
n
n−1
n−2
2
2
2
n−2
+ C 0n a b + C 1n a b + C 2n a b +.................+ C n−
a bn−1+ C n−
abn + C 0n bn+1
n
n
(n−2 ) 3 n−2
(n−1 ) 2 n−1
= C 0n+1 an+1+ C 1n+1 anb + C 2n+1 an−1b2 +.......+ C n+1−
a b + C n+1−
a b + C 1n+1 abn + C 0n bn+1.
n+1
n+1
Corollaire
Dans un anneau commutatif unifère la formule du binôme de Newton reste valable.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau unifère.
On dit qu'un élément est inversible si et seulement si il admet un symétrique par rapport à la loi 
c'est-à-dire
x∈A et x inversible   x̃∈A  x  x̃  x̃  x  1.
On note u(A) l'ensemble des éléments inversibles de A (qui sont appelés aussi des unités).
Remarques


x̃ est noté x1.
Pour tout anneau unifère A, on a u(A)  A*.
Francis Wlazinski
4
Exemples




u()  {−1;1} et u()  *.
(E,+,×) où E  fonctions numériques définies sur },  et  sont l'addition et la multiplication
usuelles des fonctions. On a u(E)  fonctions numériques qui ne s'annulent pas sur .
(End(G),+,o) où (G,+) est un groupe  et o sont l'addition et la composition usuelles des fonctions.
u(End(G)) Aut(G)  {automorphismes de G}.
u([X]) = *. En effet, dans [X], deg (PQ) = deg (P) + deg (Q)
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau unifère. L'ensemble u(A) des unités est un groupe pour la loi  de A (loi induite).
Démonstration




Stabilité :
Associativité :
Elément neutre :
Symétrique :
évident
évident
évident
évident
x,yu(A), x y (y−1 x−1)  1
(A,×) est un monoïde
1.1  1
par définition de u(A)
Exemple
(,+,×) est un anneau dont les éléments inversibles sont les réels non nuls donc (*,×) est un groupe.
(,+,×) est un anneau dont les éléments inversibles sont −1 et 1 donc ({−1;1},×) est un groupe.
Définition
On dit qu'un élément a d'un anneau A est nilpotent d'ordre k (entier non nul) lorsque a k−1 ≠ 0A et a k = 0A.
On dit qu'un élément a d'un anneau A est nilpotent s'il existe un entier k tel que a soit nilpotent d'ordre k.
On note n(A) l'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau A.
Remarque
Par convention 00  1 et 0 est nilpotent d'ordre 1.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. Alors (n(A),+) est un groupe.
Démonstration
Il suffit de montrer que n(A) est un sous-groupe de (A,+).

n(A)  car 0n(A).

xn(A),  k / x k = 0A.
D'où (x)k = (1)k(x k) = (1)k  0A  0A.

Soient x et y deux éléments nilpotents d'ordres respectifs r et s.
On a ( x + y )r+s−1 =
r+s−1
C kr+s−1 x r+s−1−k y k .
k=0
Si k ≤ s − 1, alors r + s − 1 − k  r et donc x r+s−1−k = 0.
Si k  s, alors yk = 0.
Francis Wlazinski
5
Propriété
La somme d'un élément inversible et d'un élément nilpotent d'un anneau commutatif unifère est
inversible.
Démonstration
Soit u un élément inversible. Soit a un élément nilpotent d'ordre r d'un anneau commutatif unifère.
Si u = 1, alors, puisque − a est aussi nilpotent d'ordre r, on a :
1 = 1 − (− a)r = (1 − (− a)) (1 + (− a) + (− a)2 + ... + (− a)r−1) = (1 + a) (1 − a + a2 + ... + (− a)r−1)
C'est-à-dire 1 + a = u + a inversible.
Si u  1, alors soit ũ l'inverse de u.
On a u + a = u (1 + ũa). Or ũa est nilpotent d'ordre r.
D'après la première partie de la preuve 1 + ũa est inversible.
Et enfin, le produit de deux inversibles est inversible.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau unifère. Soient a,b∈A*.
Si a b  0, on dit que a est un diviseur de zéro à gauche et que b est un diviseur de zéro à droite.
Plus simplement, a et b sont des diviseurs de zéro.
Exemples

(E,+,×) où E  fonctions numériques définies sur },  et  sont l'addition et la multiplication
usuelles des fonctions.
Soient f et g les fonctions de E définies par :
f(x)  0 si x  0
g(x)  1 si x  0
 1 sinon
 0 sinon
On a f  g  0.

Dans /6, on a 2 % 3 = 0.
0 1
2 1
0 0
Dans M 2(), on a
=
.
0 1
0 0
0 0
Un élément d'un anneau qui est nilpotent d'ordre k > 1 est un diviseur de zéro.


Définition
On dit qu'un anneau unifère (anneau non nul) est intègre ou est un anneau d'intégrité si et seulement si il
ne possède pas de diviseur de zéro.
Exemples





(,+,×) est un anneau intègre.
(,+,×) est un anneau intègre.
([X],+,×) est un anneau intègre.
(/5,+,×) est un anneau intègre ( et  étant les lois quotients).
De façon général, (/p,+,×) est un anneau intègre si et seulement si p est premier.
Francis Wlazinski
6
Remarques



Un anneau A est intègre si et seulement si on a l'implication :
(x,yA,) xy = 0  x = 0 ou y = 0.
Dans un anneau intègre (A), tout élément non nul est simplifiable.
C'est-à-dire, x,y,zA où x  0; on a xy = xz  y = z
et yx = zx  y = z.
De façon plus général, un élément a d'un anneau est simplifiable à gauche (resp. à droite) si et
seulement si ce n'est pas un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite).
2. Morphismes
Définition
Soient (A,+,×) et (A',+,×) deux anneaux.
On appelle morphisme d'anneaux de A dans A' toute application f (de A dans A') qui vérifie :
∀x,y∈A, f (x  y)  f (x)f (y) et f (x  y)  f (x)f (y).
Exemples


f : (,+,×)  (,+,×)
z z
g : ([X],+,×)  (,+,×)
P P(0)
Remarque
Un morphisme d'anneaux est, a fortiori, un morphisme de groupes pour les structures liées aux lois
additives. On a, en particulier, que, si f est un morphisme d'anneaux de A vers A', alors f (0A)  0A'. et,
pour tout a de A, f (− a)  −f (a).
Définition
Soit f un morphisme d'anneaux de A dans A'.
De façon identique aux morphismes de groupes, on a :
Si f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme.
Si A' = A, on dit que f est un endomorphisme.
Si f est bijectif et si A' = A, on dit que f est un automorphisme.
Remarques
Si A et A' sont deux anneaux, l'élément unité de A n'est pas nécessairement transformé en l'élément unité
de A' par un morphisme d'anneaux de A vers A'.
Par exemple :

f : A  A'
x0
f est bien un morphisme d'anneaux et on a f (1)  0.

Soient A et B deux anneaux. On munit A  B des lois produits usuelles.
i:AAB
x  (x,0)
i est bien un morphisme d'anneaux et on a i(1)  (1,0) .
Francis Wlazinski
7
Définition
Soient A et A' deux anneaux et soit f un morphisme d'anneaux de A dans A'.
Si A et A' sont unifères et si f (1)  1, on dit que f est unitaire.
Remarque
Soit f un morphisme d'anneaux unitaire de A dans A'.
Puisque, ∀x∈u(A), f (1A)  f (x  x−1)  f (x−1 x)  f (x)f (x−1)  f (x−1)f (x) = 1A', on a f (u(A))  u(B).
De plus, la restriction de f à u(A) est un morphisme de groupes de (u(A),) dans (u(B),).
Propriété
Pour tout anneau commutatif unifère A, il existe un seul morphisme (d'anneaux) unitaire de  dans A.
Démonstration
Supposons qu'il existe un morphisme (d'anneaux) unitaire ϕ de  dans A.
On doit avoir ϕ(1) = 1A.
Puisque, pour tout entier k ∈ = , k = 1 + 1 + ... + 1, donc ϕ(k) = 1 A + 1 A + ... + 1 A .
k fois
Si k ∈ , k = −(−k) = − (1 + 1 + ... + 1), donc ϕ(k) = − (1 A + 1 A + ... + 1 A ).
k fois

−k fois
−k fois
On retrouve (et par la même on vérifie l'unicité) l'exemple fondamentale de morphismes de groupe entre
 et tout groupe. On vérifie (aisément et/ou intuitivement) que p,q, ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q).
Propriété
Soit (Ai)iI une famille d'anneaux unifères. Pour tout entier jI, la projection canonique du produit Ai
icI
(muni des lois usuelles) sur Aj est un morphisme d'anneau unitaire.
3. Sous-anneaux
Définition
Soit (A,+,×) un anneau.
On dit qu'une partie B de A est un sous-anneau de A si et seulement si :
(i)
(B,+) est un sous-groupe de A.
(ii)
B est stable pour la loi  c'est-à-dire, x,y∈B, x yB.
Exemples




 est un sous-anneau de (,+,×).
2 est un sous-anneau de (,+,×)
Remarque : (2,+,×) n'est pas un anneau car il n'y a pas d'élément neutre pour la multiplication.
fonctions numériques continues sur un intervalle I de  est un sous-anneau de
fonctions numériques définies sur un intervalle I de 
A et {0A} sont des sous-anneaux de l'anneau (A,+,×).
Francis Wlazinski
8
Remarques

Soient (A,+,×) un anneau et B un sous-anneau de A.
A unifère e
/ B unifère. Par exemple, {0A} est un sous-anneau de tout anneau unifère.
2 est un sous-anneau de (,+,×) mais ne possède pas d'élément neutre pour la multiplication..

Définition
On dit qu'un sous-anneau B d'un anneau A est unitaire s'il possède le même élément unité que A.
Exemple
 est le seul sous-anneau unitaire de (,+,×).
Remarques
Pour Bourbaki et certains autres, il n'existe pas d'autre sous-anneau que ceux qui sont unitaires et il
n'existe pas d'autre morphisme que ceux qui sont unitaires.
Propriété
Le centre d'un anneau A est un sous-anneau unitaire de A.
Démonstration
Trivial
Propriété
Un sous-anneau unitaire d'un anneau est un anneau.
Démonstration
Trivial
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau.
Soit (Bi)i∈I une famille non vide de sous anneaux (resp. sous anneaux unitaires) de A.
Alors 3 B i est un sous-anneau (resp. sous-anneau unitaire) de A.
icI
Démonstration

i∈I, Bi est un sous-groupe de A donc 3 B i est un sous-groupe de A.

Stable par multiplication
x,y3 B i
i∈I, xBi et yBi
icI
icI
i∈I, xyBi

≤i c I, 1 A c I. Donc 1 A c 3 B i .
xy3 B i
icI
icI
Francis Wlazinski
9
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau et soit C une partie de A.
On appelle sous-anneau engendré par C et on note < C >, le plus petit (en terme d'inclusion) sous-anneau
de A qui contient le sous-ensemble C.
Démonstration
Soit (Bi)i∈I l'ensemble des sous anneaux de A qui contiennent C.
Cette famille n'est pas vide car A appartient à cette famille.
3 B i est le plus petit sous-anneau de A qui contient C.
icI
Propriété
Soient (A,+,×) et (A',+,×) deux anneaux et soit f un morphisme unitaire d'anneaux de A vers A'.
L'image directe d'un sous-anneau (resp. unitaire) de A est un sous-anneau (resp. unitaire) de A'.
L'image réciproque d'un sous-anneau (resp. unitaire) de A' est un sous-anneau (resp. unitaire) de A.
Démonstration


Sous-groupe déjà fait.
Stabilité par multiplication évidente.
Remarques


En particulier, Im f est un sous-anneau de l'anneau d' arrivée.
Soient (A,+,×) un anneau et B un sous-anneau de A.
L'injection canonique de B dans A est un morphisme d'anneaux
Si B est unitaire, ce morphisme est unitaire.
4. Idéaux
Dans cette partie qui concerne les idéaux, nous ne considérerons que des anneaux unifères commutatifs.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau (unifère commutatif) et soit I une partie de A.
On dit que I est un idéal de A si et seulement si
(i)
(I,+) est un sous-groupe de A.
(ii)
∀x∈I, a∈A, a x∈I.
Exemples






2 est un idéal de (,+,×)
De façon plus générale, p est un idéal de (,+,×) pour tout p.
A et {0A} sont des idéaux d'un anneau (A,+,×).
n(A) est un idéal d'un anneau (A,+,×).
{polynômes sans terme constant} est un idéal de [X].
fonctions numériques dérivables sur un intervalle I de  et telles que f'(0) = f'(0) = 0 est un idéal
defonctions numériques définies sur un intervalle I de .
Francis Wlazinski
10
Remarques




La propriété (ii) peut aussi s'écrire AI  I.
Le seul idéal de A qui contienne l'élément unité est A.
Tout idéal est un sous-anneau. La réciproque est fausse.
 est un sous-anneau de (,+,×) mais n'est pas un idéal de ce même anneau.
Lorsque A n'est pas commutatif, on peut définir des idéaux à gauche et des idéaux à droite.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau et soit (Ij)j∈J une famille non vide d'idéaux de A. Alors 3 I j est un idéal de A.
jcJ
Démonstration

j∈J, Ij est un sous-groupe de A donc 3 I j est un sous-groupe de A.
jcJ

Stabilité par multiplication par un élément de A :
x3 I j j∈J, xIj
jcJ
j∈J, xa Ij a∈A.
xa3 I j
a∈A.
jcJ
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau et soit C une partie de A.
On appelle idéal engendré par C, le plus petit (au sens de l'inclusion) idéal de A qui contient C.
Démonstration
Soit (Bi)i∈I l'ensemble des idéaux de A qui contiennent C. Cette famille n'est pas vide car A appartient à
cette famille. 3 B i est le plus petit idéal de A qui contient C.
icI
Remarques

Caractérisation d'un idéal engendré par une partie d'un anneau
Soit C une partie non vide d'un anneau (A,+,×).
Soit E c1a1 c2a2  cnan où n* et i 1,n ci∈C et ai∈A
1.
Tout élément de E appartient à l'idéal engendré par C dans A.
2.
On peut vérifier que E est un idéal de A qui contient C.

En particulier, pour tout élément a d'un anneau A, aA est l'idéal engendré par a.
Propriété
Soient (A,+,×) et (A',+,×) deux anneaux.
Soit f un morphisme d'anneaux de A vers A'.
L'image réciproque d'un idéal de A' est un idéal de A (contenant Ker f).
En particulier, Ker f est un idéal de A.
L'image directe d'un idéal de A est un idéal de f (A) et ce sera un idéal de A' si f est surjective.
Francis Wlazinski
11
Remarque
En général donc, l'image directe d'un idéal de A n'est pas un idéal de A'.
Schématiquement, on a :
A
A'
f(A)
I
f(I)
Démonstration
1.
Image réciproque


Sous-groupe déjà fait.
Stabilité par multiplication par un élément de A.
Soit I un idéal de A', x∈f −1(I) f (x)∈I
a∈A, f (a x)  f (a) f (x) or f (a)∈A' et f (x)∈I donc f (a) f (x)∈I.
C'est-à-dire ax∈f −1(I).
2.
Ker f  f −1({0A'}), {0A'}est bien un idéal de A'.
3.
Image directe :


Sous-groupe déjà fait.
Stabilité par multiplication par un élément de A.
Soit I un idéal de A, y∈f (I) ∃x∈I / y = f (x)
b∈f (A) ∃a∈A / y = f (x).
b∈f (A) et y∈f (I) b y f (a) f (x) = f (a x) or a∈A et x∈I donc a x∈I.
C'est-à-dire by∈f (I).
Remarques



On retrouve ici que si 1Ker f alors Ker f = A et f = 0.
Soit f un morphisme d'anneaux de A vers A' et soient x et y deux éléments de A.
f (x) = f (y)

f (x) − f (y) = 0

f (x − y) = 0

x − y∈Ker f

x = y + p où p∈Ker f.
Par exemple, on prend g : ([X],+,×)  (,+,×)
P P(0)
On a g(P) = g(Q)  P − Q∈I où I est l'idéal défini par I = {XP où P∈[X]}.
Définition
Une relation R est dite compatible avec les lois d'un anneau (A,+,×) si et seulement si, pour tout a, b, c et
d de A, on a :
a R b et c R d ⇒ (a + c) R (b + d) et (a × c) R (b × d).
Francis Wlazinski
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Propriété
Soit I un idéal d'un anneau (A,+,×).
La relation R définie par a R b ⇔ a − b ∈I est une relation d'équivalence compatible avec les lois de A.
L'ensemble quotient est noté A/I. De plus, I = 0 A .
Démonstration
x − x = 0∈I car I sous groupe de A. Donc xR x.
xR y ⇔ x − y ∈I
⇔ y − x ∈I car I sous groupe de A donc stable par symétrisation.
⇔ yR x.
x−ycI 
Transitive
xR y et yR z ⇔
 e (x − y ) + (y − z) c I
y−zcI 
⇒ x − z ∈I
⇒ xR z.
Donc cette relation est bien une relation d'équivalence.
Réflexive
Symétrique
0 A = {x ∈ A / xR 0A} = {x∈A / x − 0A I} = {x∈A / x∈I} = I.
On suppose aR b et cR d c'est-à-dire a − b ∈I et c − d ∈I.
#
(a + c ) − (b + d ) = a − b + c − d ∈I
cI
#
car I sous groupe de A.
cI
donc (a + c) − (b + d) ∈I c'est-à-dire (a + c)R ( b + d).
ac − bd = ac − bc + bc − bd = (a − b ) % c + b %(c − d ) car I est un idéal de A (commutatif).
cI
cI
cI
cI
donc (a × c) − (b × d) ∈I c'est-à-dire (a × c)R ( b × d).
Remarque
On peut donc définir deux lois appelées lois quotient sur A/I en posant x + y = x + y et x % y = x % y.
A/I muni de ces lois est un anneau.
Exemple
Cas particulier (A,+,×) = (,+,×) et I = 6.
0 = {x∈ / xR 0} = {x∈ / x − 0∈6} = {x∈ / x = 0 + 6p où p∈}
1 = {x∈ / xR 1} = {x∈ / x − 1∈6} = {x∈ / x = 1 + 6p où p∈}
2 = {x∈ / xR 2} = {x∈ / x − 2∈6} = {x∈ / x = 2 + 6p où p∈}
etc....
2 et 3 sont des diviseurs de zéro (2 % 3 = 6 = 0). L'anneau n'est pas intègre.
4 ne possède pas de symétrique pour la loi ×.
Remarque
Dans le cas des idéaux triviaux, on a A/{0} = A et A/A = 0 = 1 .
En particulier, même si A est unifère, ce n'est pas nécessairement le cas de l'anneau quotient.
Francis Wlazinski
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Définition
Soit (A,+,×) un anneau.
On définit l'indice d'un élément a de A (noté i(a)) par :
Si
n*, na  0 alors i(a)  .
Sinon i(a) est le plus petit entier non nul p tel que pa  0.
Exemples
Dans /12, i(2)  6 et i(3)  4.
Dans , i(1)  .
Définition
Soit (A,+,×) un anneau.
Soit J l'ensemble des indices des éléments de A.
Si J est majoré, le ppcm de ces indices est appelé caractéristique de l'anneau A et est noté (A).
Si J est non majoré, on dit que l'anneau est de caractéristique nulle.
Exemples
 () = 0.
 (/2) = 2.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau.
Soit µ :  A
p p.1A
La caractéristique de A est l'unique entier naturel tel que ker µ = p.
5. Corps
Définition
On appelle corps tout anneau unifère tel que tout élément non nul soit inversible.
C'est-à-dire, si (A,+,×) est un anneau unifère, on a : A corps  (A*,×) est un groupe
Si, de plus la loi  est commutative, on dit que le corps est commutatif .
Remarque
Autrement dit, si (A,+,×) est un anneau unifère, on a : A corps  A* = u(A).
Exemples



(,+,×) et ([X],+,×) ne sont pas des corps.
(,+,×), (,+,×) et ((X),+,×) sont des corps.
/5 est un corps.
Francis Wlazinski
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Propriété
Tout corps est intègre.
Démonstration
Tout élément non nul est symétrisable et n'est donc pas un diviseur de zéro.
Propriété
Un anneau fini intègre est un corps.
Démonstration
On suppose A  {0}. Soit donc aA \ {0}.
Nous devons montrer que a est inversible.
Soient les applications :
da : A  A
ga : A  A
x  xa et
x  ax
Les implications da et ga sont injectives car A est intègre.
Puisque A est fini, elles sont aussi surjectives.
Il existe un unique élément b de A tel que a.b = 1A et il existe un unique élément c de A tel que c.a = 1A.
Tout élément a de A est donc inversible à droite et à gauche : il est inversible.
Remarques


(,+,×) est un anneau intègre mais pas un corps.
Problème : soit A un anneau, existe-t-il un corps K contenant A?
Vrai dans le cas A =  : il suffit de prendre par exemple K = .
Faux dans le cas A = /4 : ce n'est pas un anneau intègre.
Définition
Un sous-corps d'un corps K est une partie de K qui munie des mêmes lois que K est aussi un corps.
Exemple
 est un sous-corps de (,+,×).
Propriété
Soit A un anneau commutatif intègre.
La relation R définie sur A  A \ {0} par (a,b) R (c,d)  ad = bc est une relation d'équivalence.
Démonstration


ab = ab donc (a,b) R (a,b) pour tout (a,b) de A  A \ {0}.
Soient (a,b) et (c,d) dans A  A \ {0}
(a,b) R (c,d)  ad = bc  cb = da  (c,d) R (a,b)
Francis Wlazinski
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
Soient (a,b), (c,d) et (e,f) dans A  A \ {0}
(a,b) R (c,d)  ad = bc
(c,d) R (e,f)  cf = de
 adcf = bcde
 afcd = becd
 afc = bec car d  0
Si c  0, alors af = be et (a,b) R (e,f).
Si c = 0, alors ad = 0 et a = 0
de = 0 et e = 0
D'où af = be et (a,b) R (e,f).
Notation
Soit A un anneau commutatif intègre.
La classe d'équivalence d'un couple (a,b) de A  A \ {0} pour la relation définie dans la propriété
précédente est noté a .
b
Remarques



xA \ {0}, on a (1,1) R (x,x) ce que l'on peut aussi écrire 1 = xx .
1
(a,b)A  A \ {0}, kA \ {0} on a (ka,kb) R (a,b) ce que l'on peut aussi écrire k % a = a .
k%b b
0
0
x,yA \ {0}, on a (0,x) R (0,y) ce que l'on peut aussi écrire x = y .
Propriété
Soit A un anneau commutatif intègre.
L'ensemble A/R des classes d'équivalence de la relation définie dans la propriété précédente muni des lois
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) et (a, b) % (c, d) = (ac, bd) est un corps commutatif appelé corps des fractions
de A.
Remarque
On peut écrire ces opérations : a + c = ad + bc et a % c = ac .
b d
bd
b d bd
Démonstration
En premier lieu, il faut vérifier que ces opérations sont bien définies.
C'est-à-dire, si (a,b) et (a',b') sont dans la même classe d'équivalence, de même pour (c,d) et (c',d') alors
(ad + bc,bd) et (a'd' + b'c',b'd') sont à nouveau des représentants d'une même classe, de même pour
(ac,bd) et (a'c',b'd').
(a,b) R (a',b')  ab' = ba'
(c,d) R (c',d')  cd' = dc'
On a
et
(ad + bc)b'd' = adb'd' + bcb'd' = ab'dd' + bb'cd' = ba'dd' + bb'dc' = bd(a'd' + b'c')
ac b'd' = ab'cd' = ba'dc' = bd a'c'.
Francis Wlazinski
16











+ loi de composition interne : par définition
Associativité de la loi + :
a + c + e = ad + bc + e = (ad + bc)f + bde = adf + bcf + bde
b d
f
bd
f
bdf
bdf
a + c + e = a + cf + de = adf + b(cf + de) = adf + bcf + bde
b
d f
b
df
bdf
bdf
c
ad
+
bc
cb
+
da
a
Commutativité de la loi + : + =
=
= c+a
bd
db
d b
b d
Elément neutre de la loi + : a + 0 = a % 1 + b % 0 = a
b
b
b 1
a % b + (−a) % b
a
−a
Symétrique pour la loi + : +
=
= 02 = 0
1
b
b
b2
b
 loi de composition interne : par définition
Associativité de la loi  :
a % c % e = ac % e = ace = (ac)e
b d
f bd f
bdf
bdf
a % c % e = a % ce = a(ce) = ace
b df
bdf
bdf
b
d f
Commutativité de la loi  : a % c = ac = ca = c % a
b d bd db d b
Elément neutre de la loi  : a % 1 = a % 1 = a
b 1 b%1 b
Distributivité de la loi  par rapport à la loi + :
a % c + e = a % cf + de = a(cf + de) = acf + ade
b
b
bdf
bdf
d f
df
a % c + a % e = ac + ae = acbf + bdae = b(acf + dae) = acf + dae
b d b f bd bf
bdbf
b(bdf)
bdf
b
ab
a
Symétrique d'un élément non nul pour la loi  : % a =
= 1.
b
ba 1
Exemples


Le corps des fractions de [X] est (X).
Par récurrence, on peut construire le corps des fractions à n indéterminées X1, X2, ..., Xn.
Propriété
Soit A un anneau commutatif intègre.
L'ensemble des classes d'équivalence du corps des fractions de la forme a est un anneau isomorphe à A.
1
Démonstration
Il suffit de considérer ϕ : A  A/R
a a
1
ϕ est un morphisme d'anneaux.
On a Im ϕ = a / a c A .
1
De plus le morphisme ϕ est injectif et surjectif.
Remarque
Soit p un nombre premier.
L'application ϕ : /p est un morphisme d'un anneau dans un corps.
aa
Francis Wlazinski
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6. Idéal principal et idéal maximal
Dans cette partie qui concerne à nouveau les idéaux, nous considérerons uniquement les anneaux unifères
commutatifs.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau et soit I un idéal de A.
On dit que I est un idéal principal si et seulement si I est engendré par un seul élément.
Exemples


(2,+,×) est un idéal principal de (,+,×).
C'est le plus petit idéal de  qui contient 2.
I (X  1)Q(X) où Q[X] est un idéal principal de ([X],+,×)
C'est le plus petit idéal de [X] qui contient X  1.
Remarque
Si A est un anneau, les idéaux principaux sont les ensembles de la forme {λa / λA} où a est un élément
fixé de A. Cet ensemble est noté (a).
Définition
On dit qu'un anneau est principal si et seulement si tous ses idéaux sont principaux.
Exemples
On montre que  et [X] sont principaux alors que [X,Y] n'est pas principal (pour ce dernier cas, on
considère l'idéal des polynômes sans terme constant.
Lemme
Soit K un corps et soient A,B deux polynômes de K[X].
Il existe un unique couple de polynômes (Q,R) tels que A = BQ + R et deg R < deg B.
Démonstration

Unicité
On suppose qu’il existe un deuxième couple (Q̃,R̃) de polynômes tels que deg R̃ < deg B et
A = BQ̃ + R̃.
On a donc B (Q − Q̃) = R − R̃.
Comme un corps est intègre, deg B + deg (Q − Q̃) = deg (R − R̃)
Or deg (R − R̃) ≤ sup(deg (R),deg (R̃)) donc deg (R − R̃)< deg B.
D’où deg B + deg (Q − Q̃) < deg B.
Ce qui implique deg (Q − Q̃) = − ∞.
C'est-à-dire Q = Q̃.
A = BQ̃ + R̃ = BQ + R.
⇒ BQ + R̃ = BQ + R
⇒ R̃ = R
Francis Wlazinski
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
Existence
Par récurrence sur deg A (≠ +).
#
Si deg A = 0, A = a0 avec a0 ≠ 0 car A non nul.
#
Si deg A < deg B, le couple (0,A) convient.
a
Si deg A ≥ deg B, alors B = b0 avec b0 ≠ 0 et donc le couple 0 , 0 convient.
b0
a
En effet, a 0 = b 0 % 0 + 0.
b0
On suppose la proposition vrai pour tout k  n − 1.
Si deg A = n,
#
Si deg A < deg B, le couple (0,A) convient.
#
Si deg A ≥ deg B,
A = a0 + a1X + .....+ anX n
B = b0 + b1X + .....+ bpX p
avec n ≥ p
a n n−p
Soit A1 = A − X B. On a deg A1  n − 1.
bp
Donc il existe un couple (Q1,R1) de polynômes tels que deg R1< deg B et
A1 = BQ1+ R1.
a
Or A = A1 + n X n−pB.
bp
a
a
D’où A = BQ1+ R1+ n X n−pB = B (Q1+ n X n−p ) + R1.
bp
bp
#
#
Propriété
Si K est un corps alors K[X] est principal.
Démonstration
Soit I un idéal de K[X], on a donc I sous-groupe deK[X].

si I = {0}, on a bien I = 0.K[X].

si I ≠ {0}, soit A un polynôme non nul de degré minimal dans I.
Un tel polynôme existe car l'ensemble des degrés est une partie de .
∀B∈I, ∃ R,Q∈K[X] / deg R < deg A et B = AQ + R.
Or AQ∈I car A∈I, Q∈K[X] et I idéal.
D'où R = B − AQ ∈I car B∈I, AQ∈I et I idéal donc sous-groupe.
On a donc R∈I, deg R < deg A et A de degré minimal dans I.
Donc R = 0 et B = AQ c'est-à-dire I ⊂ A.K[X].
On vérifie aisément que I ⊃ A.K[X] donc I = A.K[X].
Définition
On dit qu'un idéal (A) est maximal dans un anneau A s'il n'existe pas d'autre idéal (A) qui le contienne.
Exemple
2 est un idéal maximal de .
Propriété
Soient A un anneau, K un corps et f un morphisme unitaire surjectif de A dans K
Alors Ker f est un idéal maximal dans A.
Francis Wlazinski
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Démonstration
Soit I un idéal tel que Ker f C I.
Nous allons montrer que I = A. Pour cela, il suffit de vérifier que 1AI
Il existe aI tel que aKer f c'est-à-dire f (a)  0.
Soit x l'inverse de f (a) dans K.
Puisque f est surjectif, xIm f.
Il existe bA tel que x = f (b).
Nous avons donc f (1) = 1 = f (a) x = f (a) f (b) = f (ab)
D'où 1 − abKer f  I.
Puisque aI et que I est un idéal, abI et donc 1I.
Propriété
Si I est un idéal maximal d'un anneau A, alors A/I est un corps.
Démonstration
Soit aA/I tel que a  0.
On a donc aI.
L'ensemble J = {ab + i / bA et iI} est un idéal de A. En effet :
J est non vide : il suffit de prendre i  b  0.
(ab + i) − (ab' + i') = a (b − b') + (i − b') J b,b'A et i,i'I
(ab + i) c = a (bc) + ic J
bA, iI et cA
De plus, J contient strictement I : il suffit de prendre b  0 pour l'inclusion et aJ avec aI pour le strict.
Donc J = A et nécessairement 1AJ.
Il existe donc bA et iI tels que 1 = ab + i.
D'où 1 = ab + i = ab + i = ab.
On obtient que b est l'inverse de a.
Exemples



•
Les idéaux maximaux de  sont les p avec p premier.
On a [X]/(X 2 + 1)   donc (X 2 + 1).[X] est un idéal maximal.
On a [X]/(X)   donc X.[X] est un idéal maximal.
Plus généralement, si K est un corps et si a est un élément de K fixé, l'application de K[X] dans K
qui, à tout P de K[X], associe P(a) est un morphisme d'anneau surjectif.
Le noyau de ce morphisme est (X − a).K[X] qui est donc un idéal maximal.
Francis Wlazinski
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