Anneaux et corps

Chapitre 2
Anneaux et corps
1. Généralités
Définition
Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne S et z.
On dit que (A,S,z) est un anneau si et seulement si :
i ) (A,S) est un groupe abélien.
ii ) (A,z) est un monoïde.
iii ) La loi z est distributive par rapport à la loi S.
c'est-à-dire distributive à gauche: x,y,z∈A, x z ( y S z)  (x z y) S (x z z)
et distributive à droite: x,y,z∈A, (y S z) z x  (y z x) S (z z x).
Remarques
Un anneau n'est jamais vide.
Si la loi  est commutative la distributivité à gauche entraîne la distributivité à droite et
réciproquement.
Une autre façon d'énoncer la propriété iii) est de dire que, pour tout a de A, les applications
d
a
: (A,S)  (A,S) et g
a
: (A,S)  (A,S) sont des endomorphismes de groupes.
t  a ⊥ t t  t ⊥ a
Il existe une autre définition des anneaux avec ii' ) au lieu de ii ) :
ii' ) (A,⊥) est un magma associatif.
Généralement la loi donnant la structure de groupe est notée additivement et l'autre est notée
multiplicativement.
Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on dit que A est un anneau sans en préciser les lois.
Exemples
(,+,×) où  et  sont l'addition usuelle et la multiplication usuelle.
(D,+,×) où  et  sont l'addition usuelle et la multiplication usuelle.
({0,1},+,×) où  et  sont les lois définis par les tableaux suivants :
({0},+,×) où  et  sont l'addition usuelle et la multiplication usuelle.
Cet anneau est appelé un anneau nul.
Soit E  fonctions numériques définies sur 
(E,+,×) où  et  sont les lois usuelles :
f  g :   et f  g :   
x  f (x)  g(x)x  f (x)  g(x)
Francis Wlazinski 1
101 000 10 011 100 10
+

Notation
Soit (A,+,×) un anneau.
On note généralement 0 ou 0
A
l'élément neutre de (A,+) et 1 ou 1
A
l'élément neutre de (A,×).
On parlera d'opposé pour le symétrique d'un élément pour la loi +.
On note A* A \ {0
A
}.
Exemple
Dans ( M
3
(),+,×), on a:
1  I
3
 et 0 
100
010
001
000
000
000
Rappels
Soient (A
1
,+
1
,×
1
) et (A
2
,+
2
,×
2
) deux anneaux.
On définit une loi + sur A
1
× A
2
par (x,y) + (x',y') = (x +
1
x',y +
2
y') (x,y),(x',y')∈A
1
× A
2
.
On définit une loi × sur A
1
× A
2
par (x,y) × (x',y') = (x ×
1
x',y ×
2
y') (x,y),(x',y')∈A
1
× A
2
.
Ces lois sont appelés lois produits usuelles des lois de A
1
et A
2
.
On étend ces définitions à un produit (fini) de plus de deux ensembles.
Propriété
Soit (A
i
)
i1,n
une famille d'anneaux.
L'ensemble produit A
i
muni des lois produits usuelles est un anneau.
i=1
n
Définition
Un anneau (A,+,×) est dit commutatif si et seulement si la loi  et commutative.
Exemples
Les précédents exemples d'anneaux sont des anneaux commutatifs.
Soit (G,+) un groupe abélien.
Soit End(G) endomorphismes de G
 et o étant l'addition et la composition usuelle des fonctions.
(End(G),+,o) est un anneau qui n'est généralement pas commutatif.
Si n  2, alors ( M
n
(),+,×) n'est pas non plus commutatif.
Définition
Soient (A,+,×) un anneau et x un élément de A.
On appelle centralisateur de x dans A l'ensemble des éléments de A qui commutent avec x pour la loi ×.
On appelle centre de A l'ensemble des éléments de A qui commutent avec tous les autres.
Remarque
Le centre d'un anneau A n'est jamais vide puisqu'il contient 1
A
.
Francis Wlazinski 2

Propriétés
Soit (A,+,×) un anneau.
a. x∈A, 0  x  x  0  0.
b. x,y∈A(− x)  y  x × (− y)   (x y).
c. x,y∈A(− x) × (− y)  x y.
Remarques
0 n'a de symétrique pour la loi  que si 1  0.
Les propriétés b. et c. sont appelées "la règle des signes".
Démonstration
a. x∈A, 0  x  (0  0)  x  0  x  0  x.
Donc 0  x  0.
Idem pour l'autre égalité.
b. x,y∈A0  y  0
0  y  (x  (− x))y  x y  (− x) y  0
Donc (− x) y est le symétrique de x y.
x  0  0
x  0  x  (y  (− y))  x y  x (− y)  0
Donc x (− y) est aussi le symétrique de x y.
c. x,y∈A(− x) × (− y)   (x × (− y))   (− x y)  x y
Remarque importante
Soit (A,+,×) un anneau.
Si l'élément neutre de la multiplication est le même que celui de l'addition c'est-à-dire 1  0 alors
x∈A, x1.x  0.x  0.
Autrement dit, A est un anneau réduit à un seul élément.
Un tel anneau sera appelé un anneau nul.
Les autres anneaux seront dits unifères.
Remarque
Il existe une autre définition pour unifère lorsque l'on a considéré ii' ) pour la définition des anneaux.
Dans ce cas un anneau unifère est un anneau (simple) comme nous le considérons.
Propriété
Soient a et b deux éléments permutables d'un anneau unifère A.
Soit n un entier non nul.
Alors, on a la formule du binôme :
( a + b )
n
= a
n
+ na
n−1
b + a
n−2
b
2
+.........+ a
2
b
n−2
+ nab
n−1
+ b
n
n(n−1)
2n(n−1) 2
= a
n
+ a
n−1
b + a
n−2
b
2
+.........+ a
2
b
n−2
+ ab
n−1
+ b
n
C
n
0
C
n
2
C
n
n−(n−2)
C
n
n−(n−1)
= où .
k=0
n
C
n
k
a
n−k
b
k
C
n
k
=n!
k!(n−k)!
Francis Wlazinski 3

Remarque
On peut trouver les grâce au triangle de Pascal suivant :
C
n
k
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 etc...
L’entier n correspond à l'indice de ligne et l'entier k à l’indice de colonne.
Qui provient de la formule .
C
n
k
=C
n−1
k−1
+C
n−1
k
C
n−1
k−1
+C
n−1
k
=(n−1)!
(k−1)!(n−1−(k−1))!+(n−1)! (k)!(n−1−k)!
=(n−1)!
(k−1)!(n−k)!+(n−1)! (k)!(n−1−k)!
=(n−1)!%k
(k)!(n−k)!+(n−1)!%(n−k) (k)!(n−k)!
.
=(n−1)!%(k+n−k)
(k)!(n−k)!=n!
k!(n−k)!=C
n
k
Exemple
(a + b)
5
= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ b
5
.
Démonstration
Par récurrence :
Vrai au rangs 1 et 2.
On suppose vrai au rang n
( a + b )
n+1
= ( a + b )( a + b )
n
= ( a + b )( a
n
+ a
n−1
b + a
n−2
b
2
+.........+ a
2
b
n−2
+ ab
n−1
+ b
n
)C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
n−(n−2)
C
n
n−(n−1)
C
n
0
= a
n+1
+ a
n
b + a
n−1
b
2
+.........+ a
3
b
n−2
+ a
2
b
n−1
+ ab
n
C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
n−(n−2)
C
n
n−(n−1)
C
n
0
+ a
n
b + a
n−1
b
2
+ a
n−2
b
2
+.................+ a
2
b
n−1
+ ab
n
+ b
n+1
C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
n−(n−2)
C
n
n−(n−1)
C
n
0
= a
n+1
+ a
n
b + a
n−1
b
2
+.......+ a
3
b
n−2
+ a
2
b
n−1
+ ab
n
+ b
n+1
.
C
n+1
0
C
n+1
1
C
n+1
2
C
n+1
n+1−(n−2)
C
n+1
n+1−(n−1)
C
n+1
1
C
n
0
Corollaire
Dans un anneau commutatif unifère la formule du binôme de Newton reste valable.
Définition
Soit (A,+,×) un anneau unifère.
On dit qu'un élément est inversible si et seulement si il admet un symétrique par rapport à la loi 
c'est-à-dire x∈A et x inversible   ∈A  x    x  1.
x
˜x ˜x ˜
On note u(A) l'ensemble des éléments inversibles de A (qui sont appelés aussi des unités).
Remarques
 est noté x
1
.
x
˜
Pour tout anneau unifère A, on a u(A)  A*.
Francis Wlazinski 4

Exemples
u()  {−1;1} et u()  *.
(E,+,×) où E  fonctions numériques définies sur },  et  sont l'addition et la multiplication
usuelles des fonctions. On a u(E)  fonctions numériques qui ne s'annulent pas sur .
(End(G),+,o) où (G,+) est un groupe  et o sont l'addition et la composition usuelles des fonctions.
u(End(G)) Aut(G)  {automorphismes de G}.
u([X]) = *. En effet, dans [X], deg (PQ) = deg (P) + deg (Q)
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau unifère. L'ensemble u(A) des unités est un groupe pour la loi  de A (loi induite).
Démonstration
Stabilité : évident x,yu(A), x y (y
−1
x
−1
)  1
Associativité : évident (A,×) est un monoïde
Elément neutre : évident 1.1  1
Symétrique : évident par définition de u(A)
Exemple
(,+,×) est un anneau dont les éléments inversibles sont les réels non nuls donc (*,×) est un groupe.
(,+,×) est un anneau dont les éléments inversibles sont −1 et 1 donc ({−1;1},×) est un groupe.
Définition
On dit qu'un élément a d'un anneau A est nilpotent d'ordre k (entier non nul) lorsque a
k−1
≠ 0
A
et a
k
= 0
A
.
On dit qu'un élément a d'un anneau A est nilpotent s'il existe un entier k tel que a soit nilpotent d'ordre k.
On note n(A) l'ensemble des éléments nilpotents d'un anneau A.
Remarque
Par convention 0
0
 1 et 0 est nilpotent d'ordre 1.
Propriété
Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. Alors (n(A),+) est un groupe.
Démonstration
Il suffit de montrer que n(A) est un sous-groupe de (A,+).
n(A)  car 0n(A).
 xn(A),  k / x
k
= 0
A
.
D'où (x)
k
= (1)
k
(x
k
) = (1)
k
 0
A
 0
A
.
Soient x et y deux éléments nilpotents d'ordres respectifs r et s.
On a ( x + y )
r+s−1
= .
k=0
r+s−1
C
r+s−1
k
x
r+s−1−k
y
k
Si k ≤ s − 1, alors r + s − 1 − k  r et donc = 0.
x
r+s−1−k
Si k  s, alors y
k
= 0.
Francis Wlazinski 5