Corrigé du Test 1

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 21 novembre 2011
Corrig´e du Test 1
Exercice 1. (15 points)
D´eterminer tous les sous-groupes de Z/12Z.
Solution.
D’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, un sous-groupe de Z/12Zest de cardinal 1,
2, 3, 4, 6, ou 12. En calculant les ordres des ´el´ements de Z/12Z, et en compa-
rant des cardinaux on peut v´erifier `a la main que les sous-groupes de Z/12Zsont
les ensembles nZ/12Zavec n∈Ntel que n|12. On va donner une preuve plus
g´en´erale et demandant moins de calculs.
On consid`ere la surjection canonique π:Z−→ Z/12Z. L’application
H7−→ π−1(H)
est une bijection entre les sous-groupes de Zcontenant 12Zet les sous-groupes
de Z/12Z.
On va montrer que les sous-groupes de Zcontenant 12Zsont de la forme
nZavec n|12. Ceci implique que les sous-groupes de Z/12Zsont les ensembles
nZ/12Zavec n∈Ntel que n|12.
Soit Hun sous-groupe non nul de Z. Soit a > 0 le plus petit ´element strictement
positif de H. Soient b∈Hun entier positif et rle reste de la division euclidienne
de bpar ai.e.
0≤r < a et b=qa +r
pour un certain q∈N. Alors r=b−qa ∈Het 0 ≤r < a, donc r= 0 (par
d´efinition de a). Ainsi H=aZ. En particulier si 12Z⊂H, on a 12 ∈aZi.e.
a|12. 
Exercice 2. (25 points)
Soit p un nombre premier.
(1) Montrer que l’ensemble
SL2(Z/pZ) := M∈GL2(Z/pZ) : det(M)=1Z/pZ
est un sous-groupe normal de GL2(Z/pZ).
(2) Identifier le quotient GL2(Z/pZ)/SL2(Z/pZ).
(3) Quel est le cardinal de SL2(Z/pZ) ?
Solution.

2
(1) Le d´eterminant det : GL2(Z/pZ)−→ (Z/pZ)×est un homomorphisme de
groupe dont le noyau est SL2(Z/pZ). Par cons´equent, SL2(Z/pZ) est un
sous-groupe normal de GL2(Z/pZ).
(2) Le d´eterminant det : GL2(Z/pZ)−→ (Z/pZ)×est un homomorphisme
surjectif de groupe dont le noyau est SL2(Z/pZ). D’apr`es le premier th´eor`eme
d’isomorphisme, on a donc GL2(Z/pZ)/SL2(Z/pZ)'(Z/pZ)×.
(3) On commence par rappeler le calcul du cardinal de GL2(Z/pZ). Une ma-
trice a b
c d ∈M2(Z/pZ) est inversible si et seulement si a cest un
vecteur colonne non nul et b
dest un vecteur colonne non colin´eaire
`a a
c. S’il est non nul, le vecteur colonne a cadmet exactement p
vecteurs colonne colin´eaires, et donc p2−pvecteurs non colin´eaires. On
vient ainsi de montrer que
|GL2(Z/pZ)|= (p2−1)(p2−p) = p(p+ 1)(p−1)2.
D’apr`es la question pr´ec´edente, on a GL2(Z/pZ)/SL2(Z/pZ)'(Z/pZ)×.
On en d´eduit que
|SL2(Z/pZ)|=|GL2(Z/pZ)|
|(Z/pZ)×|=p(p+ 1)(p−1)2 p−1=p(p+ 1)(p−1).
Exercice 3. (15 points)
Soient m, n ≥1 deux entiers, et f: (Qm,+) −→ (Qn,+) un homomorphisme
de groupe.
(1) Montrer que fest une application Q-lin´eaire.
(2) ` A quelle condition deux espace vectoriels sur Qde dimensions finies sont
ils isomorphes ?
(3) Montrer que les groupes (Qm,+) et (Qn,+) sont isomorphes en tant que
groupes si et seulement si m=n.
Solution.
(1) On sait que fest compatible aux lois d’additions de Qmet Qn. Soient
x∈Qmet λ∈Q. Soient a, b ∈Zavec b6= 0 et λ=a/b.
Comme fest un homomorphisme de groupe, une r´ecurrence imm´ediate
montre que, pour tout k∈Zet tout y∈Qm, on a f(ky) = kf(y). En
particulier on a
bf a
b.x=fba b.x=f(ax) = af(x),
d’o`u fa
b.x=a b.f (x). Ainsi fest compatible avec les lois de multiplica-
tion par un scalaire sur Qmet Qn.

3
(2) Deux espaces vectoriels sur Qde dimensions finies sont isomorphes en
tant que Q-espaces vectoriels si et seulement si ils ont mˆeme dimension.
(3) D’apr`es la premi`ere question, (Qm,+) et (Qn,+) sont isomorphes en tant
que groupes si et seulement si les Q-espaces vectoriels Qmet Qnsont
isomorphes. Ainsi, d’apr`es la seconde question, les groupes (Qm,+) et
(Qn,+) sont isomorphes en tant que groupes si et seulement si m=n.
Attention : Ce r´esultat est sp´ecifique `a Q. Il est faux lorsque l’on rem-
place Qpar un corps quelconque. Un contre exemple s’obtient en consid´erant
R(T), le sous-groupe du groupe des fonctions r´eelles engendr´e par les frac-
tions rationelles (i.e. les quotients de fonctions polynˆomiales ; la loi de
groupe est l’addition des fonctions). On peut montrer que l’application
R(T)×R(T)−→ R(T)
(P, Q)7−→ P(T2) + T Q(T2)
est un isomorphisme de groupe. La preuve de cette affirmation ne sera pas
donn´e dans ce texte. Elle utilise le fait qu’une fonction `a la fois paire et
impaire est nulle.
Exercice 4. (20 points)
Soit Hun sous-groupe d’un groupe G. On note
MH:= \
g∈G
gHg−1.
(1) Montrer que MHest un sous-groupe normal dans G.
(2) Montrer que tout sous-groupe Kde Hnormal dans Gest contenu dans
MH. En d´eduire que MHest le plus grand sous-groupe de Hnormal
dans G.
(3) Donner un exemple de sous-groupe H1d’un groupe G1tel que MH1=H1.
(4) Donner un exemple de sous-groupe H26={1G2}d’un groupe G2tel que
MH2={1G2}.
Solution.
(1) Soient g∈Get h1, h2∈H. Alors
gh1g−1gh2g−1=g(h1h2)g−1.
En particulier, comme Hest un sous-groupe de G, l’ensemble gHg−1est
un sous-groupe de G. Une intersection de sous-groupes de Gest un sous-
groupe de G. Par cons´equent, MHest un groupe.
Soient h∈MHet g∈G. Par d´efinition de MH, pour tout g0∈G, il
existe hg0∈Htel que h=g0hg0g0−1. En particulier, pour tout g0∈G,
on a
ghg−1=g0g0−1ghg−1g0g0−1=g0hg−1g0g0 −1∈g0Hg0−1.

4
Par suite, on a bien ghg−1∈H. Le sous-groupe MHest donc normal.
(2) Soit Kun sous-groupe de Hnormal dans G. Pour tout g∈G, on a
K=gKg−1⊂gHg−1,
d’o`u K⊂MH. D’apr`es la question pr´ec´edente, MHest lui-mˆeme un
groupe normal. Le groupe MHest donc bien le plus grand sous-groupe
de Hnormal dans G.
(3) Si H1est normal dans G1alors MH1=H1.On choisit G1=Z/4Zet
H1= 2Z/4Z.
(4) On pose G2:= S3. Le groupe H2engendr´e par (1 2) n’est pas normal.
Les seuls sous-groupes de H2sont {Id}et H2. On a donc MH2={Id}.
Exercice 5. (20 points)
(1) Donner la liste des homomorphismes de groupes f:Z/45Z−→ S4?
(2) Donner la liste des homomorphismes de groupes g:S4−→ Z/45Z?
Indication : Que peut on dire sur les noyaux de tels homomorphismes de groupes
f:Z/45Z−→ S4et g:S4−→ Z/45Z?
Solution.
(1) Soit f:Z/45Z−→ S4un homomorphisme de groupe. Comme Z/45Zest
cyclique (et engendr´e par la classe 1 mod 45 de 1 modulo 45), l’homo-
morphisme fest enti`erement d´etermin´e par f(1 mod 45).
D’apr`es le th´eor`eme de lagrange, l’indice de ker(f) dans Z/45Zdivise
45. D’apr`es le premier th´eor`eme d’isomorphisme, et le th´eor`eme de La-
grange, l’indice de ker(f) dans Z/45Zest aussi un diviseur de |S4|= 24.
Or pgcd(45,24) = 3, donc l’indice de ker(f) dans Z/45Zest 3. Par suite,
f(1 mod 45) est d’ordre 1 ou 3. Les homomorphismes f:Z/45Z−→ S4
sont donc soit l’homomorphisme trivial soit
fσ:Z/45Z−→ S4
kmod 45 7−→ σk
avec σ∈S4un 3-cycle.
(2) Soit g:S4−→ Z/45Zun homomorphisme de groupe. Une transposition
´etant d’ordre 2, l’image par gd’une transposition est 1 ou 2. D’apr`es le
th´eor`eme de Lagrange, Z/45Zn’a aucun ´el´ement d’ordre 2. Par cons´equent
toutes les transpositions appartiennent `a ker(g). Or S4est engendr´e par
les transpositions, donc ker(f) = S4.
Exercice 6. (5 points)
Soit Gun groupe. Montrer l’existence d’un homomorphisme injectif de groupe
f:G−→ S(G) (o`u S(G) d´esigne le groupe des bijections de G).

5
Solution.
Il suffit de remarquer que l’application
fσ:G−→ S(G)
g7−→ G−→ G
h7−→ gh 
est un homomorphisme de groupe injectif. 