Calcul des prédicats : déduction naturelle

Cours 10
Calcul des pr´ edicats : d´ eduction naturelle

D´ eduction naturelle
D´ eduction naturelle
Syst` eme de d´ eduction :
Γ`A
La formule A est prouvable `a partir de l’ensemble de formules Γ
L’ensemble des preuves Γ`Aest d´ efinie inductivement comme
l’ensemble des couples (Γ,A)
Itels que A∈Γax Γ,A`A
Iobtenus `
a partir d’autres preuves par des r` egles de
d´ eduction de la logique classique (NK), plus 4 nouvelles
r` egles (` a suivre)
Calcul des pr´ edicats 2/13

D´ eduction naturelle
Rappels : NK
intro⇒
Γ,A`B
Γ`A⇒Belim⇒Γ`A∆`A⇒B
Γ,∆`B
intro∧Γ`A∆`B
Γ,∆`A∧Belim1
∧
Γ`A∧B
Γ`Aelim2
∧
Γ`A∧B
Γ`B
intro1
∨
Γ`A
Γ`A∨Bintro2
∨
Γ`B
Γ`A∨B
elim∨
Γ`A∨B∆,A`C∆0,B`C
Γ,∆,∆0`C
intro¬
Γ,A`¬B∆,A`B
Γ,∆`¬Aelim¬Γ`¬A∆`A
Γ,∆`B
elim⊥Γ` ⊥
Γ`A
TE Γ`A∨ ¬Aabs Γ,¬A` ⊥
Γ`Aelim¬¬ Γ`¬¬A Γ`A
Calcul des pr´ edicats 3/13

D´ eduction naturelle
D´ eduction naturelle
intro∀
Γ`F
Γ` ∀xF xn’est pas libre dans Γ
elim∀
Γ` ∀xF
Γ`F[t/x]tterme tel que la
substitution t/xest licite
intro∃
Γ`F[t/x]
Γ` ∃xF tterme tel que la
substitution t/xest licite
elim∃
Γ` ∃xF ∆,F`G
Γ,∆`Gxn’est libre ni dans Γ,
ni dans ∆, ni dans G
Calcul des pr´ edicats 4/13

Correction et compl´ etude
Correction et Compl´ etude
Nous voulons montrer l’´ equivalence
T|=
∗Fssi T`F
avec Fune formule et Tune th´ eorie.
Nous allons pour cela d´ emontrer l’´ equivalence
Tconsistante ssi Tcoh´ erente
D´ efinition
Une th´ eorie Test coh´erente s’il n’existe pas de formule Ftelle que
T`Fet T`¬F(sinon Test dite incoh´erente).
Calcul des pr´ edicats 5/13