1. Présentation

1. Présentation
1.1 Présentation et repères historiques
Les documents dont nous disposons à ce jour permettent de faire remonter
les recherches quantitatives sur les questions géométriques aux
Mésopotamiens et aux Egyptiens. Ainsi, le scribe égyptien Ahmès décrit
dans un document datant de 1650 avant J.C. une quadrature(1)
approximative du cercle, correspondant à un valeur de π proche de 3,16.
L'école de Platon a joué un rôle apparemment crucial dans les restrictions
imposées à la construction des figures, et particulièrement dans l'importance
accordée à l'usage préférentiel de la règle et du compas. On ne connaît pas
clairement les raisons qui ont imposé ce choix. Il se peut qu'une philosophie
basée sur l'idée que le cercle était une figure "parfaite" ait joué son rôle.
(1)Quadrature du cercle : on réalise la quadrature du cercle en construisant un carré de même
aire qu'un cercle donné .
Les mathématiciens grecs ont laissé à la postérité notamment quatre problèmes célèbres : la duplication du
cube, la trisection de l'angle, la construction de polygones réguliers et la quadrature du cercle.
La duplication du cube constitue un problème très naturel puisque la
duplication du carré était un exercice de base et trouve sa source dans
une légende .
Pressé d’enrayer une épidémie de peste, l’oracle du temple d’Apollon
exigea la construction, à Délos, d’un temple double du précédent.
Eratosthène raconte que "Minos, voulant élever un monument à son fils
Glaucus, dit à l’architecte:
Tu as désigné certes un petit enclos pour la tombe d’un roi; qu’il soit
double; sans détruire ses belles proportions, double donc au plus tôt
chaque côté de la tombe.
Bien sur cette solution était fausse.
En clair, il s’agit de construire un volume V2 double d’un volume V1
donné.
Le problème de la trisection de l'angle s'ensuivait simplement de la construction de
la bissectrice.
La construction de polygones réguliers était peut-être issu de considérations pythagoriciennes; il semble en
effet que la pentagone régulier était un symbole mystique pour les pythagoriciens, qui connaissaient peut-être sa
construction à la règle et au compas; celle-ci était en tout cas connue d'Euclide au troisième siècle avant J.C. La
construction de polygones réguliers est bien sûr liée au calcul du nombre π ; c'est d'ailleurs ainsi qu'Archimède
obtient ses approximations.

Le problème de la quadrature du cercle relève de la même préoccupation : il est
facile de vérifier qu'elle équivaut à la construction à la règle et au compas de deux
segments dont le rapport des longueurs est π.
En 1796, Gauss montre que le polygone à 17 côtés est constructible à la règle et
au compas. Sa méthode algébrique ouvre l'étude moderne de ces questions.
En 1837, Wantzel caractérise les coordonnées des points que l'on peut construire à la
règle et au compas: les longueurs constructibles sont celles qui s'expriment à partir
des entiers à l'aide des 4 opérations et de l'extraction de racines carrées.
Wantzel en déduit que la duplication du cube et la trisection de l'angle sont impossibles à la règle et au
compas.
Enfin en 1882 Lindemann montre l'impossibilité de la quadrature du cercle.
1.2 Principes de bases
Les seuls outils de géométrie autorisés dans cette partie du cours étant la règle (non graduée) et le compas , les
seuls opérations permises à partir d'éléments de départ indiqués sont :
tracer une droite (ou une demi-droite ou un segment) passant par deux points connus ;
tracer un cercle (ou un arc de cercle) dont le centre est un point connu et passant par un point connu ;
prendre un écartement au compas égal à la distance entre deux points connus ;
tracer un point sur une droite (ou une demi-droite ou un segment)connue ;
tracer un point sur un cercle (ou un arc de cercle) connu ;
tracer le point d'intersection de deux droites connues ;
tracer un point d'intersection d'une droite et d'un cercle connus ;
tracer un point d'intersection de deux cercles connus .
2. Constructions élémentaires à partir de deux points de bases A et B
2.1 Droite ( AB ) , demi-droite [AB) ou segment [AB]
Deux points distincts A et B sont donnés .
On peut à l'aide de la règle seule tracer la droite (AB) ou la demi-droite [AB) ou le segment [AB] .
Droite (AB) Demi-droite [AB) Segment [AB]
2.2 Cercle de centre A passant par B
Deux points distincts A et B sont donnés .
On peut à l'aide du compas seul tracer le cercle de
centre A passant par B .

2.3 Cercle de centre A et de rayon BC
Trois points distincts deux à deux A , B et C sont
donnés .
On peut à l'aide du compas seul tracer le cercle de
centre A et de rayon BC .
2.4 Propriété caractéristique de la médiatrice d'un segment
Etant donnés deux points distincts A et B , la
médiatrice du segment [AB] est la droite
perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu du
segment [AB] .
A
B
On peut également la caractériser comme l'ensemble
des points équidistants de A et de B.
Autrement dit , si un point M est équidistant de A et de B , il
appartient à la médiatrice de [AB] .
Réciproquement , si M un point M appartient à la médiatrice de
[AB] , il est équidistant de A et de B .
A
B
Conséquence : à partir de deux points distincts A et B , on peut tracer la médiatrice du segment [AB] en
traçant deux points M et M' , chacun étant point d'intersection de deux cercles de centres respectifs A et B et de
même rayon .
Exemple d'utilisation : étant donnés deux points distincts A et B du plan , tracer la perpendiculaire à (AB)
passant par A .

3. Constructions élémentaires à partir de trois points de bases
3.1 Bissectrice d'un angle
Soient A , B et C trois points non alignés du plan
et D un point du plan distincts de A , B ou C .
On dit que la droite (AD) est la bissectrice de l'angle
BAC
si les angles
BAD
et
DAC
sont égaux .
3.2 Bissectrice et distance
Si un point M appartient à la bissectrice de
BAC
, il est équidistant des
droites (AB) et (AC) .
3.3 Bissectrices d'un triangle , cas du triangle isocèle
Dans un triangle , les bissectrices sont concourantes en un point I appelé centre du
cercle inscrit au triangle .
Si ABC est un triangle isocèle en A , la bissectrice de l'angle est également la
médiatrice de [BC] , la hauteur issue de A et la médiane issue de A .
3.4 Conséquence : construction de la bissectrice d'un angle à la règle et au compas .
Pour construire la bissectrice de l'angle
BAC
, on peut procéder comme suit :
Trois points A , B et C sont donnés . A l'aide du compas , on trace deux points P1 et P2 situés sur (AB)
et (AC) respectivement et équidistants de A .
Toujours à l'aide du compas , on trace un point P3 équidistant
de P1 et P2 . A l'aide de la règle , on peut tracer la droite (AP3) qui est la
bissectrice de l'angle
BAC
.

3.5 Triangles isométriques
On dit que deux triangles ABC et DEF sont isométriques si leurs côtés sont
égaux chacun à chacun (c'est-à-dire que AB = DE , BC = EF et CA = FD) .
Deux triangles isométriques ont leurs angles égaux chacun à chacun
(c'est-à-dire que
A= D
;
B= E
et
C= F
) .
3.6 Conséquence : «report» d'un angle à la règle et au compas.
Trois points A , B et C sont donnés .On considère un point D .
On peut construire à la règle et au compas deux points E et F tels que :
BAC= EDF
comme suit :
A l'aide du compas , on tracer le cercle (C1) de centre D et de
rayon AB
On construit un point E sur ce cercle
A l'aide du compas , on trace le cercle (C2) de centre E et de
rayon BC et le cercle (C3) de centre D et de rayon CA .
On construit le point F comme point d'intersection de (C2) et (C3)
.
Exemple d'utilisation :
On donne un triangle ABC isocèle en A et D un point extérieur à ce triangle .
Tracer à la règle et au compas le point D ' , image de D par la rotation de centre A qui envoie B sur C .