Oscillations libres dans un circuit RLC I

Oscillations libres dans un circuit RLC
I - Décharge du condensateur d'un circuit RLC série
1) Etude expérimentale :
On réalise le montage ci-contre :
On visualise la tension UC , on utilise un
ordinateur muni d'une interface.
On place l'interrupteur sur la position 1, le
condensateur se charge, puis on bascule l'interrupteur
sur la position 2.
Observations :
La tension uC prend alternativement des
valeurs positives et des valeurs négatives.
Elle oscille autour de Uc = 0.
Interprétations :
On a un circuit RLC série.
Le condensateur se décharge dans un
dipôle R L où R = R’ + r.
La tension uC subit des oscillations libres (car
spontanées) et amorties (car leur valeur
maximale diminue. D’autre part, uC repasse par une valeur nulle à intervalles de temps égaux , et en variant
dans le même sens.
On dit que le régime des oscillations est pseudo-périodique
La pseudo-période T est la durée entre 2 valeurs extrémales successives ou entre deux passages par zéro
dans le même sens. Elle est constante d’où son nom.
La décharge d’un condensateur, initialement chargé, dans la bobine d’un circuit RLC série provoque
l’apparition oscillations amorties dites libres
2) Influence de la résistance :
Si on augmente la valeur R,
l'amortissement est plus important
Pour des grandes valeurs de R,
le régime devient apériodique :
Il n’y a plus d’oscillations
La valeur de R qui délimite les deux régimes précédents s’appelle résistance critique, on la note Rc.
Pour R = Rc, la tension tombe rapidement à zéro sans osciller : c’est le régime critique.
………………………………………..
Si R est négligeable (circuit idéal),
l'amortissement est aussi négligeable
et le régime est périodique :
Pour des valeurs faibles de la résistance du
circuit, la pseudo-période T d’un circuit
RLC est égale à :
To = 2 √L .C
3) Influence de l'inductance L de la bobine et de la capacité C du condensateur:
Pour une valeur donnée de C, on augmente L : on constate que la pseudo-période T augmente .
Pour une valeur donnée de L, on augmente C : on constate que la pseudo-période T augmente .
La pseudo-période T d’un circuit RLC augmente avec l’inductance L et la capacité C
4) Etude énergétique :
Avec le montage précédent, on mesure la tension uR sur la voie B et la tension uC sur la voie A.
uR = - R.i . On obtient donc les variations de i.
Energie emmagasinée par la bobine : EL =
Energie emmagasinée par le condensateur : EC =
Energie totale : E = EC + EL =
On peut ainsi grâce à l'ordinateur tracer les courbes EL , EC et E en fonction du temps.
L'énergie totale décroît en fonction du temps, elle se dissipe par effet Joule dans les conducteurs ohmiques
 En régime pseudo-périodique , la décharge est oscillante : il y a transfert d'énergie du condensateur
vers la bobine et réciproquement, de façon alternative.
 En régime apériodique, il y a seulement transfert du condensateur vers la bobine lors de la décharge.
 En régime périodique, l'amortissement est faible, la dissipation d'énergie dans le conducteur
ohmique est négligeable. L'énergie totale reste constante, elle se conserve. Il y a transfert d’énergie entre la
bobine et le condensateur.
II - Etude théorique des oscillations d'un circuit série LC d'amortissement négligeable :
1)
Tension aux bornes du condensateur :
On respecte la convention récepteur : u et i sont de sens contraires.
q = C. Uc ; i =
=
uL = L.
= L.
=
L.C.Üc
(les deux points au-dessus de Uc signifient : « on dérive Uc deux fois par rapport
au temps)
Loi des tensions : Uc + UL = 0 ⇒
L.C.Üc + Uc
Ou
Üc +
Uc = 0
+
On peut aussi écrire une équation différentielle pour q : poser q = C. Uc, d’où :
q=0
Solution de l'équation différentielle : uC = Um.cos (
.t+ φ0)
Um , T0 et φ0 étant des constantes à déterminer.
duC/dt = -
Um.sin(
d2uC/dt2 + uC/(L.C) = -
Il faut donc que :
Uc +
-
d2uC/dt2 = -
. t + φo)
+
Uc = ( -
=0
Um.cos(
+
donc
. t + φo) = -
Uc
) Uc = 0 : Relation valable pour tout t.
To = 2 √L .C
T0 est appelée période propre des oscillations électriques, elle s'exprime en seconde (s)
Elle ne dépend que de L et C.
On utilise les conditions initiales pour déterminer Um et φ0 :
à t = 0 s , uC = Umcos φo ; φ0 est appelé phase à l'origine. Souvent , on a : uC = Um , et φ0 = 0.
La fonction cosinus varie entre –1 et 1, Um est donc la valeur maximale, appelée amplitude de uC, et uC oscille
entre +um et – um.
Dans un régime pseudo-périodique , la pseudo-période T est proche de T0 .
2) Analyse dimensionnelle :
[L.C] = [L / R] x [RC] or [τ] =[RC] = [T] et [τ] = [L / R] = [T] ⇒ [L.C] = [T²]
⇒ [√¯(L .C)] = [T] ; √¯(L .C) a bien la dimension d'un temps. (refaire la démonstration avec la méthode
exposée pour les dipôles RC et RL)
3)
Intensité du courant :
i = dq/dt ; q = C .Uc = C. Um.cos (
⇒ i=-
C. Um.sin(
. t + φo)
t+ φ0)
=
- Im. sin(
. t + φo)
avec Im = C.Um
III - Entretien des oscillations d'un circuit RLC série :
L’amortissement des oscillations dans un circuit RLC est dû à une perte d’énergie par effet Joule.
Elles peuvent être entretenues à l’aide d’un module électronique
qui compense les pertes.
Le dispositif d'entretien des oscillations est hors programme.
Il fournit de l'énergie au circuit.
La puissance perdue par effet joule dans le circuit RLC est :
P = R.i² avec R = r+R' .
La puissance fournie par le dispositif est : PF = Us. i.
Pour qu'il y ait compensation de la perte d'énergie, il faut :
P = PF ⇒ uS = R.i
Il y a toujours transfert d'énergie entre le condensateur et la
bobine et l'énergie totale est constante.
Les oscillations entretenues sont sinusoïdales de période T égale à la période propre T0.
T = T0 = 2
√LC
Uc = Um.cos (
.t+ φ0)