Constructions géométriques de la racine carrée d`un nombre Trois

Constructions géométriques de la racine carrée d'un nombre
Trois constructions géométriques de segments dont la longueur est 15 cm.
(le but n'est pas de construire un segment de longueur approximative 15 , c'est à dire environ 3,9 cm, mais
de trouver des constructions "exactes" de tels segments).
A. Première méthode :
Le point H est tel que AH = 1 et AB = a.
1. Montrer que AD =
a ( Calculer le cosinus de l'angle
DAB dans le triangle ADB et dans le triangle ADH.)
2. Utiliser cette méthode pour tracer un segment de
longueur 15 cm. Expliquer.
B. Deuxième Méthode : "escargot de Pythagore"
ABC, BCD et CDE sont trois triangles rectangles.
AC = 1 cm ; BD = 2 cm et DE = 3 cm.
1. Montrer que CE =
15 cm.
Le mathématicien Louis Lagrange a démontré que l'on
peut tracer des segments de longueur a , pour tout
nombre entier a, en utilisant cette méthode avec trois
triangles rectangles.
2. Utiliser cette méthode pour construire un segment de
longueur
19 cm.
C. Troisième méthode :
(PC) est tangente en C au cercle de diamètre [AB] et de centre O.
On pose PO = x et AO = r
1. Calculer CP² et PA×PB en fonction de x et r. Que remarque-t-on ?
2. Utiliser cette méthode pour construire un segment de longueur
15 cm.
3e - Développement d'expressions comportant des racines carrées
A.
et
1. Calculer A+B . Donner le résultat sous la forme
2. Calculer
. Donner le résultat sous la forme
B.
C.
, où a est un nombre entier.
, où p et q sont des nombres entiers.
et
et
1. Donner la valeur arrondie au dix-millième de x et de y. Que remarque t-on ?
2.
. Que peut on en déduire pour x et y ?
D. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont égaux ? Justifier.
E.
Montrer que A est un nombre entier.
F. Un rectangle a pour longueur
cm et pour largeur
1. Calculer son périmètre. En donner la valeur arrondie au mm.
2. Montrer que son aire est un nombre entier.
G. Soient
et
Calculer
,
H.
Calculer :
et
,
.
et
où a et b sont des entiers relatifs.
cm.
3e – Racines carrées
A. Écrire sous la forme la plus simple possible :
A=
 20 
2

 22
C. Développer :
C= 3 5 (2 5  5)
B = 100  64
 121  21


D= 2 3 5 2 3 5

F  (2 3  1)(6  3)
D. Montrer que D, E et F , G et H sont des nombres entiers:
12
D
E  ( 5  7 )( 5  7 )
 5  20
F  6 7  (3  7 ) 2
3

 
G  3 2 1 
 
2 1 

2 1
2
H  5  125
« Simplification » d’une racine carrée
B. Écrire sous la forme a b , où b est un nombre entier le plus petit possible:
B  4 75  5 3
C  700  4 63  7
D  500  80
A = 80  2 45
E
48
6
F  5 6 2 3
G  75  2 27
C. Écrire le nombre D sous la forme a  b 2 , où a et b sont des entiers :
D  72  64  18  1
Substitution
A. Soit E ( x)  ( 3  x)  ( 3  x)(1  4x) .
1. a. Développer E ( x)
2
b. puis calculer E ( x) pour x = 2 3 .
2. Factoriser E ( x) .
B. On considère l’expression F  (2x  3)(5  2x )  (2x  3) 2
1. Développer et réduire F.
2. Factoriser F.
3. Calculer F pour x   3 . Ecrire le résultat sous la forme a  b 3 , où a et b sont des nombres entiers.
Les racines carrées en géométrie
F. Un rectangle a pour longueur 2 2  2 cm et pour largeur 3 2  3 cm.
1. Calculer son périmètre. En donner la valeur arrondie au mm.
2. Montrer que son aire est un nombre entier.
A. ABCD est un trapèze rectangle en A et D, tel que AD = 3 cm et tel que AB = 2 DC.
De plus, l’aire du trapèze est 27 cm2.
1. Montrer que AB = 12 cm.
Construire la figure.
2. Calculer le périmètre du trapèze ABCD. L’écrire sous la forme a  b 5 , où a et b sont deux nombres
entiers. En donner la valeur approchée au mm près.
C
B. AB = 3 cm ; AC = 6 cm ; BC = 3 5 cm
BE = 3 5 cm ; BD = 15 cm.
6
1. Montrer que ABC est un triangle rectangle en A.
3 5
2.a. Montrer que ( AC ) et ( ED ) sont parallèles.
A
b. Que peut on dire du triangle BED ? Justifier.
3
B
3 5
E
15
D
C.
A
4
B
ABCD est un rectangle.
1
Les droites (PK ) et (CD ) sont parallèles.
AB = 4 cm ; AD =
2 cm ; BK = 1 cm.
P
K
2
On veut calculer le périmètre et l’aire de PKCD.
( la figure ci contre est fausse )
D
1. Montrer que BD =
18 cm. En donner la forme simplifiée.
2. Montrer que BP = 3 cm.
3. Montrer que PK = 2 2 cm.
4. Montrer que le périmètre de PKCD est 6 2 cm.
5. Calculer l’aire de PKCD, puis en donner la valeur approchée au mm2 près.
C