nul est suivantes

- 1 - Chapitre 1 : 1ère E.S.
Chapitre 1
Résolution d’équations et d’inéquations puis
étude de celles du deuxième degré
I Résolution d’équations et d’inéquations
A] Vocabulaire
Définition :
Une égalité est toujours vraie pour toutes les valeurs données aux lettres.
Exemples :
Les identités remarquables :
( a + b ) 2 = …………….
( a – b ) 2 = …………….
( a – b ) ( a + b ) = ……...
Définition :
Une équation est vérifiée pour certaines valeurs des lettres (les inconnues ).
Exemples :
2x + 3 = 5 est une équation d’inconnue x qui est vérifiée pour x = 1.
Définition :
Une solution est une valeur telle que l’équation soit vérifiée.
Exemple :
Pour l’équation 2x + 7 = 1 ; –3 est la solution de cette équation.
Définition :
Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs qui la vérifient et donner l’ensemble
des solutions.
Exemple :
Résoudre l’équation suivante 5x + 4 = 7.
5x + 4 = 7
D’où 5x = 7 – 4 = 3
Ainsi x =
Error!
Donc S = {
Error!
}
Exercice 1.
Faire de la factorisation.
B] Résolution d’équations
1) Théorème
Théorème :
 Un produit de facteurs est nul, si et seulement si (SSI) , l’un des facteurs est nul :
(A) (B) = 0 SSI A = 0 ou B = 0
 Un quotient est nul SSI le numérateur est nul et le dénominateur ne l’est pas :

- 2 - Chapitre 1 : 1ère E.S.
Error!
= 0 SSI N = 0 et D  0
2) Méthode
 On cherche les valeurs interdites.
 On réduit au même dénominateur.
 On résout le numérateur égal à 0.
 On vérifie que les valeurs trouvées ne sont pas interdites.
 On donne l’ensemble des solutions.
3) Exemple
Résoudre les équations suivantes :
a) – 2x ( 2x + 3 ) = 0 S =
b)
Error!
= 0 S =
Exercice 2.
C] Résolution d’inéquations
Faire un exemple avec 2x +5 et -3x + 4.
1) signe de ax + b avec a  0
Propriété :
x
–
Error!
+
ax + b
Signe de –a
Signe de a
2) Règle des signes
Propriété :
 Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif.
 Le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
Exemple :
Etudier le signe de P(x) – x ( x + 1 ) ( 3 – x ) à l’aide d’un tableau de signes .
3) Méthodes
Propriété :
Pour résoudre une inéquation on peut toujours se ramener à une comparaison à zéro.
A(x)  B(x) SSI A(x) – B(x)  0
Méthode :
 On utilise la propriété.
 On factorise.
 On cherche les valeurs qui annulent.
 On fait un tableau de signes.
Exemple :
Résoudre – x2 ( 3 – x )  3x – x2
Exercice 8 puis 3.
II Equations et inéquations du 2ème degré
A] Equation du 2ème degré

- 3 - Chapitre 1 : 1ère E.S.
1) Définition
Définition :
Soient a, b et c trois réels tel que a  0.
Une équation du 2ème degré, d’inconnue x, est une équation de la forme :
ax2 + bx + c = 0.
Exemples :
x2 + x + 1 = 0 x2 – 4 = 0
x2 + 5x +2 =0 x2 + 4x + 4 = 0
2) La forme canonique de ax2 + bx + c = 0 (avec a  0)
Définitions :
* Le réel b2 – 4ac, noté , est le discriminant de ax2+ bx + c.
* a[(x +
Error!
)2 + ( –
Error!
) ] est la forme canonique de ax2+ bx + c.
Exercice 4 et 5.
3) Résolution de ax2+ bx + c = 0 (avec a  0)
Théorème :
Solution de ax2+ bx + c = 0
Factorisation de ax2+ bx + c
  0
2 solutions distinctes x1 et x2
a ( x – x1 ) ( x – x2 )
 = 0
Une solution unique
a ( x – x0 )2
  0
Pas de solution réelle
Pas de factorisation possible
Démonstration :
ADMISE.
Faire les exemples des élèves.
Méthode :
 Si b ou c est nul, on factorise directement car cela va plus vite.
 Sinon on calcule , puis on cherche les solutions si elles existent à l’aide des
formules du théorème.
Exemples :
Chercher les solutions des équations suivantes si elles existent :
x2 + x +1 = 0 5x2 – 13x = 0
x2 + 4x + 4 = 0 x2 + 5x +2 = 0
Exercice :
Résoudre les équations suivantes :
4x2 + 12x + 9 = 0 – 7x2 + 4x – 1 = 0
3x – x2 + 1 = 0
Exercices 6 et 7.
B] Inéquation du 2ème degré
1) Définition
Définition :
Soient a, b et c trois réels tel que a  0.
Une inéquation du 2ème degré ayant pour inconnue x est une inéquation qui peut s’écrire sous
l’une des formes suivantes :
ax2+ bx + c  0 ax2+ bx + c  0

- 4 - Chapitre 1 : 1ère E.S.
ax2+ bx + c  0 ax2+ bx + c  0
Exemples :
x2 + 8x +16  0 x² + x + 1 < 0
x2 + 5x +2  0 ( x + 4 ) ²  0
2) Signe de ax2+ bx + c avec a  0
Préambule :
1er cas :   0
ax2+ bx + c = a ( x – x1 ) ( x – x2) avec x1 =
Error!
et x2 =
Error!
On a alors :
x
x – x1
x – x2
a ( x – x1) ( x – x2 )
2ème cas :  = 0
La solution unique est alors x0 = –
Error!
et ax2+ bx + c = a (x – x0 )2
Donc ax2+ bx + c est du signe de a sauf en x0 ou c’est nul.
3ème cas :   0
ax2 + bx + c = a[(x +
Error!
)2 + ( –
Error!
) ]
Donc c’est du signe de a.
Le faire avec beaucoup d’étapes.
Théorème :
 Si   0, alors x1 et x2 sont les deux solution distinctes de ax2+ bx + c = 0 et on a
aussi
x
– 
+
ax2+ bx + c
Signe de a
Signe de – a
Signe de a
 Si  = 0, alors il y a une unique solution pour l’équation ax2+ bx + c = 0 qui est x0 =
–
Error!
.
Et on a aussi :
x
ax2+ bx + c
 Si   0, alors il n’y a pas de solutions et ax2+ bx + c est toujours du signe de a.
Méthode :
 Si b ou c est nul, alors on factorise directement.
 Sinon on calcule  et on en déduit suivant le signe de  le nombre de solution(s) puis
le signe de ax2+ bx + c en fonction des valeurs de x et de a.
Exercice :
Résoudre les inéquations suivantes :
5x2 + 14x – 3  0
– 3y2 + y – 2  0

- 5 - Chapitre 1 : 1ère E.S.
t2 – 14t + 49  0
Exercice 9.
Utiliser leurs exemples sur transparents.