Série d’exercices n° 5 4ème Sc Proposée par : Salim HASSINE (2012-2013) Exercice 1: On pose U = 3cos - 5 i sin 1) 2) 3) et V = 5cos - 3 i sin où - , a- Ecrire U + V et U – V sous leurs formes exponentielles b- Calculer alors U ² - V ² . Soit l'équation ( E ) : 2 z² - Uz - 2 = 0 a- Sans calculer les solutions z' et z'' de ( E ), comparer leurs modules et leurs arguments . b- Résoudre dans C l'équation ( E ) On considère dans le plan complexe les points M ' et M '' d'affixes respectives -Error!ei et 2e-i . a- Déterminer l'ensemble F des points M ' quand b- Déterminer pour que le triangle OM ' M'' varie dans - , soit rectangle en O . Exercice 2: Soit a un nombre complexe non nul et E l'équation z2-2z+1+a2=0. 1) Résoudre dans l'ensemble Ê des nombres complexes l'équation E. 2) Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé (O,Å;u,Å;v), on considère les points A et B d'affixes respectives 1+ia et 1-ia. On pose a=a1+ia2 ; a1 et a2 réels. a- Montrer que les points O, A et B sont alignés si et seulement si a1=0. b- Montrer que les vecteurs Ä;OA et Ä;OB sont orthogonaux si et seulement si |a|=1. 3) On suppose que a=ei où ]-Error!,Error![. i x 1+eix=2 cos(Error!) e 2 a- Vérifier que pour tout réel x, on a : et b- En déduire l'écriture sous forme exponentielle de chacun des nombres complexes 1+ia et 1-ia. c- Déterminer a pour que les points O, A et B forment un triangle isocèle rectangle en O. Exercice 3: Justifier les égalités suivantes : 1+e2i = 2 cos ei et e2i-1=2i sin ei. 2 i 2i 2) Soit l’équation E : z - 2cos e z +e =0. a) Vérifier que =e2i est solution de E. b) En déduire l’autre solution. 3) Soit l’équation E’ : z4 - 2cos ei z2 +e2i =0. Résoudre E’ et montrer que les images des solutions forment un parallélogramme. 4) Soit A le point d’affixe , B d’affixe 1 et C d’affixe –1. a) Prouver que Error!est imaginaire pur. b) En déduire la nature du triangle ABC. 1) Exercice 4: 1) On considère dans Ê , l'équation (E) : z² – 2z + Error! – iError! = 0 a) Vérifier que i (2e 3 )2 = – 2 + 2i 3 . b) Résoudre dans Ê l'équation (E) . 2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O,u,v) . On désigne par A , B et C les points i i 1 e 3 et zC = 1 e 3 . i i a) Montrer que pour tout réel on a : 1 e 2 cos( )e 2 2 d'affixes respectives zA = 2 ; zB = et i 1 ei 2i.sin( )e 2 . 2 b) Ecrire zB et zC sous forme exponentielle . c) Calculer zB en déduire que le triangle OBC est rectangle en O . zC d) Montrer que OBAC est un rectangle . Exercice 5: i x 1-eix=-2i sin(Error!) e 2 . Exercice 6: Exercice 7: 1) a) Calculer (1+i 3)2 b) Résoudre dans Ê, l'équation (E) : 2z² 4z + 3 i 3 = 0 c) Ecrire les solutions sous la forme exponentielle 2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O,Å;u,Å;v), on considère les points A et B du plan d’affixes respectives : a=Error! et b=Error! a) Montrer que OAB est un triangle rectangle b) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB est un rectangle 3) Soit ]0,[. On considère l’équation (E’): z² 2z 2isin ei = 0 a) Vérifier que z’=1 ei est solution de l’équation (E’) b) Déterminer l’autre solution z’’ de (E’) c) Déterminer pour que l’on ait z’=a et z’’=b