Série d`exercices n° 5

4ème Sc
Série d’exercices n° 5
(2012-2013)
Proposée par :
Salim HASSINE
Exercice 1:
On pose U = 3cos - 5 i sin et V = 5cos - 3 i sin où
, - 
1 ) a- Ecrire U + V et U – V sous leurs formes exponentielles
b- Calculer alors U ² - V ² .
2 ) Soit l'équation ( E ) : 2 z² - Uz - 2 = 0
a- Sans calculer les solutions z' et z'' de ( E ), comparer leurs modules et leurs arguments .
b- Résoudre dans C l'équation ( E )
3 ) On considère dans le plan complexe les points M ' et M '' d'affixes respectives -
Error!
ei et 2e-i .
a- Déterminer l'ensemble F des points M ' quand varie dans
- , 
b- Déterminer pour que le triangle OM ' M'' soit rectangle en O .
Exercice 2:
Soit a un nombre complexe non nul et E l'équation z2-2z+1+a2=0.
1) Résoudre dans l'ensemble
Ê
des nombres complexes l'équation E.
2) Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé (O,Å;u,Å;v), on considère les points A et B d'affixes
respectives 1+ia et 1-ia. On pose a=a1+ia2 ; a1 et a2 réels.
a- Montrer que les points O, A et B sont alignés si et seulement si a1=0.
b- Montrer que les vecteurs Ä;OA et Ä;OB sont orthogonaux si et seulement si |a|=1.
3) On suppose que a=ei où   ]-
Error!
,
Error!
[.
a- Vérifier que pour tout réel x, on a : 1+eix=2 cos(
Error!
)
x
i2
e
et 1-eix=-2i sin(
Error!
)
x
i2
e
.
b- En déduire l'écriture sous forme exponentielle de chacun des nombres complexes 1+ia et 1-ia.
c- Déterminer a pour que les points O, A et B forment un triangle isocèle rectangle en O.
Exercice 3:
1) Justifier les égalités suivantes : 1+e2i = 2 cos ei et e2i-1=2i sin ei.
2) Soit l’équation E : z2 - 2cos ei z +e2i =0.
a) Vérifier que =e2i est solution de E.
b) En déduire l’autre solution.
3) Soit l’équation E’ : z4 - 2cos ei z2 +e2i =0.
Résoudre E’ et montrer que les images des solutions forment un parallélogramme.
4) Soit A le point d’affixe , B d’affixe 1 et C d’affixe –1.
a) Prouver que
Error!
est imaginaire pur.
b) En déduire la nature du triangle ABC.
Exercice 4:
1) On considère dans
Ê
, l'équation (E) : z² – 2z +
Error!
– i
Error!
= 0
a) Vérifier que
i
( e )
2
3
2
= – 2 + 2i 3 .
b) Résoudre dans
Ê
l'équation (E) .
2) Le plan étant rapporté à un repère orthonormé
(O,u,v)
. On désigne par A , B et C les points
d'affixes respectives zA = 2 ; zB =
i
e 3 1
et zC =
i
e 3 1
.
a) Montrer que pour tout réel  on a :
i
i
e cos( )e   2 12
2
et
i
i
e i.sin( )e     2 12
2
.
b) Ecrire zB et zC sous forme exponentielle .
c) Calculer
B
C
z
z
en déduire que le triangle OBC est rectangle en O .
d) Montrer que OBAC est un rectangle .
Exercice 5:

Exercice 6:
Exercice 7:
1) a) Calculer (1+i 3)2
b) Résoudre dans
Ê
, l'équation (E) : 2z²  4z + 3  i 3 = 0
c) Ecrire les solutions sous la forme exponentielle
2) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O,Å;u,Å;v), on considère les points A et
B du plan d’affixes respectives : a=
Error!
et b=
Error!
a) Montrer que OAB est un triangle rectangle
b) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB est un rectangle
3) Soit  ]0,[. On considère l’équation (E’): z²  2z  2isin
i
e
= 0
a) Vérifier que z’=1
i
e
est solution de l’équation (E’)
b) Déterminer l’autre solution z’’ de (E’)
c) Déterminer  pour que l’on ait z’=a et z’’=b