Série n°36 Exercice : ( Bac Math 2008 p ) 1/ Soit dans l`équation ( E

Série n°36
Exercice : ( Bac Math 2008 p )
1/ Soit dans l’équation ( E ) :
3x 8y 5
Montrer que les solutions de ( E ) sont les couples
(x, y) tels que x 8k 1 et y 3k 1 avec k    
2/a) Soit n, x et y trois entiers tel que
n 3x 2
n 8y 7
Montrer que
x, y
est une solution de ( E )
b) On considère le système
n 2(mod 3)
(s) où n est un entier.
n 7(mod8)
Montrer que n est solution du système (S) si et seulement si
n 23(mod 24)
.
3/a) Soit k un entier naturel.
Déterminer le reste de
2k
2
modulo 3 et le reste de
2k
7
modulo 8.
b) Vérifier que 1991 est une solution de (S) et montrer que l’entier
2008
1991 1
est divisible par 24
Exercice : ( Bac Math 2009 c )
On considère dans l’équation ( E ) :
3x 4y 8  
1/a) Vérifier que
0, 2
est une solution de ( E )
b) Résoudre dans l’équation ( E ) .
2/ Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
o, i , j
, on considère la droite dont une
équation est : 3x+4y+8=0 et on désigne par A le point de d’abscisse 0.
a) Montrer que si M est un point de à pour coordonnées entières alors AM est un multiple de 5.
b) Soit N un point de de coordonnées
5
x, y . Vérifier que AN x .
4
c) En déduire que si AN est un multiple de 5 alors x et y sont des entiers.
Exercice : ( Bac Math 2010 p )
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse
1) Le quotient de (-23) par ( -5) est 4 .
2) si a et b sont deux entiers tels que 64a + 9b = 1 alors b et 64 sont premiers entre eux .
3)
146
147 2( mod12)
4)
2
x 0( mod8) équivaut x 0( mod8)
.
5)
x 3( mod 4)
si alors x 19 (mod 20 )
x 4( mod 5)
6) si p est un entier premier distinct de 2 alors
2
p 1 ( mod 4)
.
*) contrôle 2008
Soit n un entier non nul tel que
23
(5n) 3 5 7 35. Alors   
a)
n 0(mod3)
b)
n 0(mod5)
c)
n 0(mod7)

Exercice : ( Bac Math 2010 c )
On pose
2009 2010 2011
a 7 7 7 .  
1/ Soit n un entier naturel. Discuter suivant les valeurs de n, le reste de
n
7
modulo 100.
2/ En déduire qu’il existe un entier naturel k tel que a = 100 k – 1.
3/a) En utilisant la formule du binôme, montrer que
100 2
a 1(mod100 ).
b) Déterminer les quatre dernier chiffres de
100
a
Exercice : ( Bac Math 2011 p )
Dans ce qui suit, x et y désignent des entiers.
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.
a)
3
x x(mod 2).
b) Si
x 2(mod14) alos x 1(mod 7).
c) Si
4x 10y(mod5) alos x 0(mod5).
d) Si
x 4(mod5) alors 8x 5y 7
y 5(mod8
Exercice : ( Bac Info 2008 p )
1/ Déterminer les couples
a, b d 'entier tels que 19a 7b.
2/ On considère dans l’équation ( E ) :
19x 7y 1
a) Vérifier que
3,8
est une solution de ( E )
b) Résoudre dans l’équation ( E ) .
Exercice : ( Bac Info 2008 c )
1/ Soit dans l’équation ( E ) :
11x 5y 2
a) Vérifier que
2, 4
est une solution de ( E ).
b) Montrer que
x, y
est solution de ( E ) si et seulement si :
11 x 2 5 y 4  
c) En déduire les solutions de ( E ).
2/ Soit n un entier naturel non nul. On pose
a 5n 2 et b 7n 5.   
a) Calculer 7 a – 5 b et en déduire que
P.G.C.D a, b 1 ou P.G.C.D a, b 11.
b) Déterminer en utilisant 1) les entiers naturels non nuls n tels que
P.G.C.D a, b 11
Exercice : ( Bac Info 2009 p )
1/ Résoudre dans l’équation ( E ) :
2x 3y 5
2/ Dans la suite les âges sont exprimés en années.
En 2009, un père, dont l’âge n est compris entre 50 et 55, a deux fils A et B d âges respectifs a et b.
On suppose que :
 En 2001, l’âge du père était le double de l’age du fils A.
 En 2006, l’âge du père dépassait de trois ans le triple de l’âge du fils B
a) Montrer que n, a et b vérifient
n 2a 8.
n 3b 3.
b) Vérifier que
a, b
est une solution de ( E )
c) En déduire les âges n, a et b du père et de ses deux fils.
Exercice : ( Bac Info 2009 c )

On considère dans l’équation ( E ) :
4x 5y 7
1/a) Vérifier que
2, 3
est une solution de ( E )
b) Résoudre dans l’équation ( E ) .
2/ Dans l’espace muni un repère orthonormé
o, i , j , k
, on considère les plans P et Q d’équations
respectives : x + 6y – z - 8=0 et 3x – y + z + 1 = 0.
a) Montrer que P et Q sont sécants suivant une droite D.
b) Déterminer l’ensemble F des points de D dont les coordonnées sont des entiers.
Exercice : ( Bac Info 2010 p )
Une usine fabrique deux types d’ordinateurs :
Types 1 : Des ordinateurs équipés de quatre ports USB
Types 2 : Des ordinateurs équipés de sept ports USB
Le nombre total de port USB utilisés par jour est 400.
On désigne par a et b respectivement le nombre d’ordinateurs du type 1 et le nombre d’ordinateurs du
type 2fabriqués par jour dans cette usine.
1/ Calculer 4a + 7b
2/ Résoudre dans l’équation ( E ) :
4x 7y 400
3/ Déduire le nombre d’ordinateurs de chaque type fabriqués par jour, sachant que la capacité total de
production de l’usine est comprise entre 68 et 72 ordinateurs par jour.
Exercice : ( Bac Info 2010 c )
Choisir la bonne réponse
1/ L’équation ( E ) :
21x 4y 25, admet dans  
a) Une infinité de solutions. b) une seule solution. c) zéro solution.
2/ Pour tout entier naturel non nul n,
P.G.C.D 2n, 2n 1
est égale à
a) 1. b) 2n. c) 2n + 1.
3/ Soit n un entier naturel et
2n
A 1 3
. Le reste de la division euclidienne de A par 4 et
a) 0. b) 1. c) 2.
4/ L’entier
2010
94
est divisible par
a) 3. b) 4. c) 5.
Exercice ( bac blanc Benbla )
On considère, dans
l 'équation(E) :148x 97y 1  
.
1/a) Vérifier que le couple
( 19, 29)
est une solution particulière de ( E ).
b) Résoudre dans
l 'équation(E)
.
c) Déterminer l’inverse de 97 modulo 148.
2/a) Vérifier que 149 est premier.
b) Soit p un entier naturel non nul tel que
148
p 148. Montrer que p 1 149
3/ Soit
2 147
a 2,3, 4,........,148 , On pose S(a) 1 a a ...... a     
a) Montrer que
148
a (a 1)S(a) 1.  
b) En déduire que
148
a et (a 1)
sont premier entre eux.
c) Montrer que 149 divise S(a).