Série n°36 Exercice : ( Bac Math 2008 p ) 1/ Soit dans l`équation ( E

Série n°36
Exercice : ( Bac Math 2008 p )
1/ Soit dans  l’équation ( E ) : 3x  8y  5
Montrer que les solutions de ( E ) sont les couples (x, y) tels que x  8k  1 et y  3k  1 avec k 
n  3x  2
2/a) Soit n, x et y trois entiers tel que 
n  8y  7
Montrer que  x, y  est une solution de ( E )
n  2(mod 3)
b) On considère le système (s) 
où n est un entier.
n  7(mod 8)
Montrer que n est solution du système (S) si et seulement si n  23(mod 24) .
3/a) Soit k un entier naturel.
Déterminer le reste de 22k modulo 3 et le reste de 72k modulo 8.
b) Vérifier que 1991 est une solution de (S) et montrer que l’entier 19912008  1 est divisible par 24
Exercice : ( Bac Math 2009 c )
On considère dans  l’équation ( E ) : 3x  4y  8
1/a) Vérifier que  0, 2  est une solution de ( E )
b) Résoudre dans  l’équation ( E ) .


2/ Dans le plan rapporté à un repère orthonormé o , i , j , on considère la droite  dont une
équation est : 3x+4y+8=0 et on désigne par A le point de  d’abscisse 0.
a) Montrer que si M est un point de  à pour coordonnées entières alors AM est un multiple de 5.
5
b) Soit N un point de  de coordonnées  x, y  . Vérifier que AN  x .
4
c) En déduire que si AN est un multiple de 5 alors x et y sont des entiers.
Exercice : ( Bac Math 2010 p )
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse
1) Le quotient de (-23) par ( -5) est 4 .
2) si a et b sont deux entiers tels que 64a + 9b = 1 alors b et 64 sont premiers entre eux .
3) 147146  2( mod12)
4) x 2  0( mod 8) équivaut x  0( mod 8) .
x  3( mod 4)
alors x  19 (mod 20 )
5) si 
x  4( mod 5)
6) si p est un entier premier distinct de 2 alors p2  1 ( mod 4) .
*) contrôle 2008


Soit n un entier non nul tel que (5n)  32  53  7  35. Alors
a) n  0(mod 3)
b) n  0(mod 5)
c) n  0(mod 7)
Exercice : ( Bac Math 2010 c )
On pose a  72009  72010  72011.
1/ Soit n un entier naturel. Discuter suivant les valeurs de n, le reste de 7n modulo 100.
2/ En déduire qu’il existe un entier naturel k tel que a = 100 k – 1.
3/a) En utilisant la formule du binôme, montrer que a100  1(mod1002 ).
b) Déterminer les quatre dernier chiffres de a100
Exercice : ( Bac Math 2011 p )
Dans ce qui suit, x et y désignent des entiers.
Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.
a) x3  x(mod 2).
b) Si x  2(mod14) alos x  1(mod 7).
c) Si 4x  10y(mod 5) alos x  0(mod 5).
x  4(mod 5)
d) Si 
alors 8x  5y  7
 y  5(mod8
Exercice : ( Bac Info 2008 p )
1/ Déterminer les couples  a, b  d ' entier tels que 19a  7b.
2/ On considère dans  l’équation ( E ) : 19x  7y  1
a) Vérifier que  3,8  est une solution de ( E )
b) Résoudre dans  l’équation ( E ) .
Exercice : ( Bac Info 2008 c )
1/ Soit dans  l’équation ( E ) : 11x  5y  2
a) Vérifier que  2, 4  est une solution de ( E ).
b) Montrer que  x, y  est solution de ( E ) si et seulement si : 11 x  2   5  y  4 
c) En déduire les solutions de ( E ).
2/ Soit n un entier naturel non nul. On pose a  5n  2 et b  7n  5.
a) Calculer 7 a – 5 b et en déduire que P.G.C.D  a, b   1 ou P.G.C.D  a, b   11.
b) Déterminer en utilisant 1) les entiers naturels non nuls n tels que P.G.C.D  a, b   11
Exercice : ( Bac Info 2009 p )
1/ Résoudre dans  l’équation ( E ) : 2x  3y  5
2/ Dans la suite les âges sont exprimés en années.
En 2009, un père, dont l’âge n est compris entre 50 et 55, a deux fils A et B d âges respectifs a et b.
On suppose que :
 En 2001, l’âge du père était le double de l’age du fils A.
 En 2006, l’âge du père dépassait de trois ans le triple de l’âge du fils B
n  2a  8.
a) Montrer que n, a et b vérifient 
n  3b  3.
b) Vérifier que  a, b  est une solution de ( E )
c) En déduire les âges n, a et b du père et de ses deux fils.
Exercice : ( Bac Info 2009 c )
On considère dans  l’équation ( E ) : 4x  5y  7
1/a) Vérifier que  2, 3  est une solution de ( E )
b) Résoudre dans  l’équation ( E ) .

2/ Dans l’espace muni un repère orthonormé o , i , j , k
 , on considère les plans P et Q d’équations
respectives : x + 6y – z - 8=0 et 3x – y + z + 1 = 0.
a) Montrer que P et Q sont sécants suivant une droite D.
b) Déterminer l’ensemble F des points de D dont les coordonnées sont des entiers.
Exercice : ( Bac Info 2010 p )
Une usine fabrique deux types d’ordinateurs :
Types 1 : Des ordinateurs équipés de quatre ports USB
Types 2 : Des ordinateurs équipés de sept ports USB
Le nombre total de port USB utilisés par jour est 400.
On désigne par a et b respectivement le nombre d’ordinateurs du type 1 et le nombre d’ordinateurs du
type 2fabriqués par jour dans cette usine.
1/ Calculer 4a + 7b
2/ Résoudre dans  l’équation ( E ) : 4x  7y  400
3/ Déduire le nombre d’ordinateurs de chaque type fabriqués par jour, sachant que la capacité total de
production de l’usine est comprise entre 68 et 72 ordinateurs par jour.
Exercice : ( Bac Info 2010 c )
Choisir la bonne réponse
1/ L’équation ( E ) : 21x  4y  25, admet dans 
a) Une infinité de solutions.
b) une seule solution.
c) zéro solution.
2/ Pour tout entier naturel non nul n, P.G.C.D  2n, 2n  1 est égale à
a) 1.
b) 2n.
c) 2n + 1.
3/ Soit n un entier naturel et A  1  32n . Le reste de la division euclidienne de A par 4 et
a) 0.
4/ L’entier 9
a) 3.
2010
b) 1.
c) 2.
 4 est divisible par
b) 4.
c) 5.
Exercice ( bac blanc Benbla )
On considère, dans  l ' équation(E) :148x  97y  1 .
1/a) Vérifier que le couple ( 19, 29) est une solution particulière de ( E ).
b) Résoudre dans  l ' équation(E) .
c) Déterminer l’inverse de 97 modulo 148.
2/a) Vérifier que 149 est premier.
b) Soit p un entier naturel non nul tel que p  148. Montrer que p148  1149
3/ Soit a 2, 3, 4,........,148 , On pose S(a)  1  a  a 2  ......  a147
a) Montrer que a148  (a  1)S(a)  1.
b) En déduire que a148 et (a  1) sont premier entre eux.
c) Montrer que 149 divise S(a).