Inégalités

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 4ème
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Inégalités
cours
1. Comparaison de nombres relatifs :
Rappelons que
 « » se lit « est strictement supérieur à »
 « » se lit « est supérieur ou égal à ».
Propriété
• Si
a
et
b
sont deux nombres relatifs tels que
a b 0
alors
ab
• Si
ab
, alors
a b 0
Il est possible de placer deux points
A
et
B
d’abscisses
a
et
b
sur une droite graduée :
Comme le point
A
est placé après le point
B
en suivant le sens de la flèche,
ab
Il est facile de comparer
2
nombres de signes différents car le nombre positif est toujours supérieur
au nombre négatif :
73
;
18
23
;
15 9
2 10 5 10
.
Dans le cas de deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro.
Dans le cas de deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.
Exercice :
 Comparons
15
2
et
2
3
:
Ils sont de signes différents donc
15 2
23
 Comparons
2
5
et
1
2
:
Ils sont de même signe, mais nous allons les mettre au même dénominateur :
24
5 10
et
15
2 10
.
Comme
45
10 10
alors
21
52
.
 Comparons
5
6
et
7
8
:
Ils sont de même signe, mais nous allons les mettre au même dénominateur :
5 20
6 24
et
7 21
8 24
. Comme
20 21
24 24
alors
57
68
.
0
1
B
A
b
a
ab

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2. Inégalités et opérations :
Propriété
a
,
b
et
c
sont trois nombres relatifs.
ac
et
bc
sont rangés dans le même ordre que
a
et
b
.
Exemple 1 :
,a 2 5
,b 3 5
,c 1 5
Comme
,,2 5 3 5
alors
,,,,1 5 123555
Exemple 2 :
a5
b4
,c 0 12
Comme
54  
alors
,,0 12 0 2514
Exemple 3 :
1
a2
1
b3
2
c5
Comme
11
23
alors
2
2
2
5
1
5
1
3
Exemple 4 : Si un nombre
x
est tel que
4x
alors :
141x
(ou
15x
)
114x   
(ou
13x
)
Propriété
a
et
b
sont deux nombres relatifs,
c
est un nombre strictement positif.
ac
et
bc
sont rangés dans le même ordre que
a
et
b
.
Exemple 1 :
,a 2 5
,b 0 7
c3
Comme
,,2 5 0 7  
alors
,,332 5 0 7  
Exemple 2 : Si un nombre
x
est tel que
5x
alors
522x 
(ou
2 10x
)
3. Troncature et arrondi
a. Exemples :
La troncature au dixième de
,365 687
est
,365 6 87
La troncature au centième de
,5 458 96
est
,5 458 96
La troncature au millième de
,12 214 53
est
,12 214 53
L’arrondi au dixième de
,254 36
est
,254 4
car
36
est plus proche de
40
que de
30
L’arrondi au centième de
,1249
est
,1 25
car
49
est plus proche de
50
que de
40
L’arrondi au millième de
,7 5864
est
,7 586
car
64
est plus proche de
60
que de
70
.
L’arrondi au dixième de
,115
est
,12
par convention, puisque
15
est aussi proche de
10
que de
20
.

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Remarquons que la troncature d’un nombre est toujours inférieure ou égale à ce nombre, tandis que
l’arrondi peut être inférieur, égal ou supérieur au nombre.
b. Utiliser la troncature pour encadrer :
Donner un encadrement de
53
21
au millième près :
 La machine affiche : 2.523809524
 La troncature au millième de
53
21
est donc
,2 523
.
 On en déduit :
,,
53
2 523 2 524
21
c. Utiliser l’arrondi pour encadrer
Donner un encadrement d’un nombre
x
dont l’arrondi au dixième est
,87
 L’écriture à deux chiffres après la virgule de
x
peut être
,8 65
;
,8 66
;…
,8 74
mais pas
atteindre
,8 75
.
 On en déduit :
,,8 65 8 75x