Compacité

Cours M2 - MIT
Compacité
V. Poupet
19 septembre 2016
I. Prologue
Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
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Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
Preuve: Induction à partir de la
racine
sous-arbre en n infini
nombre fini de fils
un fils de n a un sous-arbre infini
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Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
Preuve: Induction à partir de la
racine
sous-arbre en n infini
nombre fini de fils
un fils de n a un sous-arbre infini
1 / 11
Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
Preuve: Induction à partir de la
racine
sous-arbre en n infini
nombre fini de fils
un fils de n a un sous-arbre infini
1 / 11
Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
Preuve: Induction à partir de la
racine
sous-arbre en n infini
nombre fini de fils
un fils de n a un sous-arbre infini
1 / 11
Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
Preuve: Induction à partir de la
racine
sous-arbre en n infini
nombre fini de fils
un fils de n a un sous-arbre infini
1 / 11
Lemme de König
Théorème
Tout arbre infini à branchement fini
contient un chemin infini.
Preuve: Induction à partir de la
racine
sous-arbre en n infini
nombre fini de fils
un fils de n a un sous-arbre infini
Le processus n’est jamais bloqué
→ chemin infini
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Topologie 101
Def.
(E, O) espace topologique si
E est un ensemble
O ⊆ P(E) vérifiant
∅∈O
E∈O
O est stable par union quelconque
O est stable par intersection finie
Les éléments de O sont appelés
ouverts de E .
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Topologie 101
On peut définir un espace
topologique en donnant une base
d’ouverts
O est alors la plus petite partie de
P(E) contenant ces ouverts de
base vérifiant la définition
Def.
(E, O) espace topologique si
E est un ensemble
O ⊆ P(E) vérifiant
∅∈O
E∈O
O est stable par union quelconque
O est stable par intersection finie
Les éléments de O sont appelés
ouverts de E .
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Topologie 101
On peut définir un espace
topologique en donnant une base
d’ouverts
O est alors la plus petite partie de
P(E) contenant ces ouverts de
base vérifiant la définition
Def.
(E, O) espace topologique si
E est un ensemble
O ⊆ P(E) vérifiant
∅∈O
E∈O
O est stable par union quelconque
O est stable par intersection finie
Exemples :
Les intervalles ouverts dans R
Les boules ouvertes dans un
espace métrique
Les éléments de O sont appelés
ouverts de E .
La topologie triviale O = {∅, E}
La topologie discrète O = P(E)
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Quelques définitions
Soit (E, O) un espace topologique
Def.
V ⊆ E est un voisinage de x ∈ E si
V est ouvert et x ∈ V
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Quelques définitions
Soit (E, O) un espace topologique
Def.
V ⊆ E est un voisinage de x ∈ E si
V est ouvert et x ∈ V
Def.
Une fonction f de E → E est continue si pour tout ouvert V , f −1 (V )
est un ouvert
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Quelques définitions
Soit (E, O) un espace topologique
Def.
V ⊆ E est un voisinage de x ∈ E si
V est ouvert et x ∈ V
Def.
Une fonction f de E → E est continue si pour tout ouvert V , f −1 (V )
est un ouvert
Def.
Une suite (un ) ∈ E N converge vers
x ∈ E si pour tout voisinage V de
x, il existe n0 ∈ N tel que un ∈ V
pour tout n ≥ n0
3 / 11
Compacité
Def.
Un espace topologique est compact
si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini
4 / 11
Compacité
Def.
Un espace topologique est compact
si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini
Def.
Un espace topologique vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass si de
toute suite infinie on peut extraire
une sous-suite convergente
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Compacité
Def.
Un espace topologique est compact
si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini
Prop.
Les définitions sont équivalentes sur
les espaces admettant une base
dénombrable d’ouverts
Def.
Un espace topologique vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass si de
toute suite infinie on peut extraire
une sous-suite convergente
4 / 11
Compacité
Def.
Un espace topologique est compact
si de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini
Prop.
Les définitions sont équivalentes sur
les espaces admettant une base
dénombrable d’ouverts
Def.
Un espace topologique vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass si de
toute suite infinie on peut extraire
une sous-suite convergente
Prop.
Les définitions sont équivalentes sur
les espaces métriques
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II. Retour sur les
configurations
Distance
On munit l’espace des configurations
de la distance
QZ × QZ → R
d
d
C1 , C2 7→
1
2min{∥x∥, C1 (x)̸=C2 (x)}
Deux configurations sont proches si
elles coïncident sur un grand
voisinage autour de l’origine.
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Distance
On munit l’espace des configurations
de la distance
QZ × QZ → R
d
d
C1 , C2 7→
1
2min{∥x∥, C1 (x)̸=C2 (x)}
Deux configurations sont proches si
elles coïncident sur un grand
voisinage autour de l’origine.
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Distance
On munit l’espace des configurations
de la distance
QZ × QZ → R
d
d
C1 , C2 7→
1
Topologie métrique
2min{∥x∥, C1 (x)̸=C2 (x)}
Ouverts de base sont les boules
ouvertes
B(c, ϵ) = {c′ ∈ QZ , d(c, c′ ) < ϵ}
d
Deux configurations sont proches si
elles coïncident sur un grand
voisinage autour de l’origine.
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Interprétations
d
On se place dans l’espace des configurations QZ
Interprétation
Les voisinages d’une configuration c sont des ensembles de configurations qui coïncident avec c sur une zone autour de l’origine. Plus la zone
est grande, plus le voisinage est fin.
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Interprétations
d
On se place dans l’espace des configurations QZ
Interprétation
Les voisinages d’une configuration c sont des ensembles de configurations qui coïncident avec c sur une zone autour de l’origine. Plus la zone
est grande, plus le voisinage est fin.
Interprétation
Une suite (cn ) converge vers c si pour tout r ∈ N il existe n0 tel que
c et cn coincident sur J−r, rKd pour tout n ≥ n0
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Preuve de compacité
Théorème
d
L’espace des configurations QZ est
compact
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Preuve de compacité
Théorème
d
L’espace des configurations QZ est
compact
Preuve. On montre que de toute
suite infinie on peut extraire une
sous-suite convergente
Soit (cn ) une suite de
configurations
...
Pour tout r il existe un
remplissage de J−r, rKd qui
coïncide avec une infinité de cn
On obtient une suite extraite
(cϕ(n) ) qui converge vers une
configuration c
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III. Exemples
Sous-shifts
États
Déf.
Un sous-shift est un ensemble de
configurations ne contenant pas un
ensemble de motifs finis (appelés
motifs interdits)
Motifs interdits
Configuration valide
Déf.
Un sous-shift qui peut être caractérisé par un ensemble fini de motifs
interdits est dit de type fini
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Sous-shifts
États
Déf.
Un sous-shift est un ensemble de
configurations ne contenant pas un
ensemble de motifs finis (appelés
motifs interdits)
Motifs interdits
Configuration valide
Déf.
Un sous-shift qui peut être caractérisé par un ensemble fini de motifs
interdits est dit de type fini
Prop.
S’il existe des carrés arbitrairement
grands ne contenant pas de motifs
interdits, alors il existe une configuration n’en contenant aucun
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Sous-shifts
Déf.
Un sous-shift est un ensemble de
configurations ne contenant pas un
ensemble de motifs finis (appelés
motifs interdits)
Preuve. Par compacité
Soit (cn ) une suite de
configurations telle que cr n’a pas
de motif interdit sur J−r, rK2
Déf.
Un sous-shift qui peut être caractérisé par un ensemble fini de motifs
interdits est dit de type fini
Il existe une sous-suite
convergente
La limite c de la sous-suite ne
contient aucun motif interdit
Prop.
S’il existe des carrés arbitrairement
grands ne contenant pas de motifs
interdits, alors il existe une configuration n’en contenant aucun
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Surjectivité des AC
Prop.
Si tout motif fini apparaît dans l’image d’une configuration par un AC A,
alors A est surjectif.
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Surjectivité des AC
Prop.
Si tout motif fini apparaît dans l’image d’une configuration par un AC A,
alors A est surjectif.
Preuve. Par compacité
Soit c une configuration
Soit (cn ) telle que pour tout r, A(cr ) coïncide avec c sur J−r, rKd
(cr existe par hypothèse)
Soit une sous-suite convergente vers c′
Pour tout r, c′ coïncide avec une infinité de cn sur
J−(r + 1), r + 1Kd
Pour tout r, A(c′ ) coïncide avec une infinité de A(cn ) sur
J−r, rKd
Pour tout r, A(c′ ) coïncide avec c sur J−r, rKd
A(c′ ) = c
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Attention à la convergence
Définition
Un AC est nilpotent s’il existe un état q0 ∈ Q tel que de toute configud
ration c ∈ QZ on arrive dans la configuration uniforme ne contenant
que l’état q0
Proposition
Si un AC est nilpotent, il existe un temps t tel que pour toute configud
ration c ∈ QZ , At (c) = q0
Preuve. Par compacité sur la contraposée ?
On considère une suite (cn ) telle que An (cn )(0) ̸= q0
On extrait une sous-suite convergente vers c
On ne sait pas grand chose sur c...
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Attention à la convergence
Définition
Un AC est nilpotent s’il existe un état q0 ∈ Q tel que de toute configud
ration c ∈ QZ on arrive dans la configuration uniforme ne contenant
que l’état q0
Proposition
Si un AC est nilpotent, il existe un temps t tel que pour toute configud
ration c ∈ QZ , At (c) = q0
Preuve. Directe
Soit c une configuration univers (contenant tout motif fini)
Il existe un temps t tel que At (c) = q0
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Caractérisation topologique
Th. (G. A. Hedlund)
Les automates cellulaires de dimension d et d’états Q sont exactement
d
d
les fonctions continues de QZ → QZ qui commutent avec le shift.
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Caractérisation topologique
Th. (G. A. Hedlund)
Les automates cellulaires de dimension d et d’états Q sont exactement
d
d
les fonctions continues de QZ → QZ qui commutent avec le shift.
. Exercice : Prouvez le théorème.
Un sens évident, l’autre par compacité en montrant que toute fonction
continue est uniformément continue.
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Caractérisation topologique
Th. (G. A. Hedlund)
Les automates cellulaires de dimension d et d’états Q sont exactement
d
d
les fonctions continues de QZ → QZ qui commutent avec le shift.
. Exercice : Prouvez le théorème.
Un sens évident, l’autre par compacité en montrant que toute fonction
continue est uniformément continue.
Corollaire
Si un automate cellulaire est bijectif, son inverse est également un automate cellulaire.
Remarque : Le théorème ne donne aucune information sur le
voisinage de l’inverse.
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