CHIMIE LE 1 Octobre 2011 - PCSI

Samedi 1ier Octobre
Optique géométrique
DEVOIR DE PHYSIQUE N°1
Durée : Trois heures
Instructions générales :
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Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 6 pages.
Les candidats sont invités à porter une attention toute particulière à la qualité de la
rédaction, de l’orthographe et des justifications.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu’il est amené à prendre.
L’usage d’une calculatrice n’est pas autorisé pour cette épreuve.
Les parties sont indépendantes. Elles peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le
candidat.
Problème 1 : Propagation de la lumière dans les fibres optiques (38 %)
De nos jours, les autoroutes de l’information offrent la possibilité de transmettre des données,
de la voix, des images d’un bout à l’autre de la planète. Aujourd’hui, 80 % du trafic mondial
longue distance se fait par fibres optiques. Ces dernières ont en effet de multiples avantages
par rapport aux câbles électriques classiques : elles sont plus robustes et sont très peu
sensibles aux interférences électromagnétiques. Mais surtout, les technologies de
télécommunications par fibres optiques, en constante amélioration depuis une trentaine
d’années, permettent de transmettre des informations sur de très longues distances et à de
très hauts débits.
A. Phénomène de réflexion totale
A.1 Que signifie le terme « lumière monochromatique » en optique.
Dans toute la suite de l’énoncé, les rayons lumineux sont tous supposés issus d’une radiation
monochromatique. On considère un rayon lumineux arrivant sur l’interface plane séparant
deux milieux d’indices différents (notés n1 et n2) sous un angle d’incidence i par rapport à la
normale à l’interface (cf. figure ci dessous).
A.2 Enoncer les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion (on pourra reproduire
et compléter avantageusement la figure ci-dessus).
A.3 Citer et décrire une expérience montrant la dépendance de l’indice de réfraction du
verre par rapport à la longueur d’onde.
On suppose dans la suite de cette partie n1 > n2.
A.4 Montrer alors que si i > i0, aucun rayon réfracté ne peut émerger et le rayon
incident est donc entièrement réfléchi. Donner l’expression de sini0 en fonction de n1 et n2.
Dans cette situation, on dit que le rayon incident subit une « réflexion totale ».
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A.5 Dans le cas où n1 = 1, 500 et n2 = 1, 470, donner la valeur numérique de i0 exprimée en
degré.
B. Fibre à saut d’indice
Une fibre optique à saut d’indice (représentée sur la figure ci-dessous) est formée d’un cœur
cylindrique en verre d’axe Ox, de diamètre 2a et d’indice nc, entouré d’une gaine optique
d’indice ng légèrement inférieur à nc. Un rayon situé dans le plan Oxy entre dans la fibre au
point O avec un angle d’incidence θ.
B.1 A quelle condition sur i, angle d’incidence à l’interface cœur/gaine, le rayon restet-il confiné à l’intérieur du cœur ? On note iL l’angle d’incidence limite. Faire un dessin du
trajet ultérieur du rayon en faisant apparaître plusieurs réflexions.
B.2 Montrer que la condition précédente est vérifiée si l’angle d’incidence θ est inférieur à
un angle limite θL tel que sin θL = nc cos iL. En déduire l’expression de l’ouverture
numérique ON de la fibre, définie par ON = sinθL, en fonction de nc et ng uniquement.
B.3 Donner la valeur numérique de ON pour nc = 1, 500 et ng = 1, 470.
B.4 Exprimer la vitesse de propagation de la lumière dans le cœur de la fibre en fonction
de la vitesse de la lumière dans le vide, notée c, et l’indice nc du cœur.
On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entre dans la fibre avec un angle
d’incidence θ variable compris entre 0 et θL.
B.5 Quel est le rayon qui traverse le plus rapidement la fibre ? Calculer la durée de
parcours τ1 de ce rayon.
B.6 Quel est le rayon qui met le plus de temps à traverser la fibre ? Calculer la durée
de parcours τ2 de ce rayon en fonction de L, c, nc et siniL.
B.7 En déduire l’intervalle de temps δτ entre le temps de parcours minimal et maximal
en fonction de L, c, nc et ng.
On injecte à l’entrée de la fibre une impulsion lumineuse de durée t0 formée par un faisceau de
rayons ayant un angle d’incidence compris entre 0 et θL. La figure ci-dessous représente
l’allure du signal lumineux en fonction du temps.
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B.8 Reproduire la figure en ajoutant à la suite l’allure du signal lumineux à la sortie de
la fibre. Quelle durée a approximativement l’impulsion lumineuse en sortie de fibre ?
Si le rayon de la fibre est trop petit, le modèle de l’optique géométrique, utilisé jusqu’à présent,
n’est plus valable : on ne peut plus décrire la propagation de la lumière avec de simples
rayons lumineux. Il faut alors traiter la lumière comme une onde.
B.9 Indiquer un phénomène relatif à la lumière mettant en évidence son caractère
ondulatoire.
Problème 2 : Etude d’un téléobjectif (22 %)
Un téléobjectif est un objectif de longue focale, c’est-à-dire un objectif dont la focale est
supérieure à la diagonale de la pellicule pour un appareil photographique argentique ou de la
matrice de cellules photosensibles dans le cas d’un appareil photographique numérique.
Ces objectifs permettent un cadrage serré des sujets photographiés grâce à un angle de
champ étroit.
Dans les deux parties suivantes, largement indépendantes, le sujet photographié est constitué
par la tour Eiffel culminant à une hauteur h = 324 m du sol et située à une distance d = 2,
0 km du photographe.
A. Objectif standard
On s’intéresse dans un premier temps à un objectif standard d’appareil photographique
argentique constitué d’une lentille convergente unique de centre O et de focale f’ = 50 mm.
A.1 Construire sur un schéma l’image de l’objet sur la pellicule (sans respecter l’échelle).
A.2 Quelle doit être la distance D entre la lentille et la pellicule pour que la photographie
soit nette ? Justifier votre réponse.
A.3 On appelle h1la hauteur de l’image de la tour Eiffel sur la pellicule. Déterminer son
expression en fonction de f’, d et h puis calculer sa valeur numérique.
B. Réalisation d’un téléobjectif par association de deux lentilles
Afin de raccourcir les téléobjectifs, en particulier les plus puissants, on peut réaliser un autre
montage en associant deux lentilles distantes d’une distance e : une lentille convergente L1 de
centre O1 et de focale f’1 et une lentille divergente L2 de centre O2 et de focale f’2. On prendra
pour les applications numériques : f’1 = 50 mm, f’2 = - 25 mm et e = O1O2 = 31 mm. On note
P l’intersection du plan de la pellicule avec l’axe optique et F’ l’image par le téléobjectif d’un
point à l’infini sur l’axe optique.
B.1 Déterminer littéralement la position de F’ en fonction de f’1, f’2 et e. En déduire
l’expression de l’encombrement O1 P de l’appareil en fonction de ces mêmes grandeurs.
Après l’avoir calculé approximativement, déterminer laquelle de ces trois valeurs : O1 P = 14
cm, O1 P = 11 cm et O1 P = 8,0 cm correspond à l’encombrement du téléobjectif.
B.2 Déterminer l’expression de h3, hauteur de l’image de la tour Eiffel sur la pellicule en
fonction de f’1 , f’2 , e, d et h. Après l’avoir calculée approximativement, déterminer laquelle
de ces trois valeurs : h3 = 14 mm, h3 = 34 mm et h3 = 54 mm correspond à la hauteur de
l’image sur la pellicule.
B.3 Commenter les résultats précédents.
Problème 3 : Etude de miroirs sphériques (40 %)
Un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante sur l’une de ses faces. Le
centre de la sphère est noté C et le point d’intersection S de la calotte avec l’axe optique
est appelé sommet du miroir. Les miroirs sphériques étudiés seront utilisés dans
l’approximation de Gauss.
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A. Caractère convergent ou divergent d’un miroir sphérique
A.1 Un miroir convexe est-il un système optique convergent ou divergent ?
A.2 Représenter la modélisation d’un miroir sphérique divergent.
A.3 En plaçant notre œil loin d’un miroir sphérique M3 , on constate que l’image de notre
œil est droite et réduite. Le miroir M3 est-il convergent ou divergent ?
B. Relation de conjugaison et grandissement
On cherche à déterminer la position de l’image A’ d’un point A situé sur l’axe optique.
B.1 Relation de conjugaison de Descartes
On considère un rayon incident AI issu de A qui se réfléchit en I (figure ci-dessous).
A
A’
B.1.1 Déterminer les relations liant les angles α, α’, β aux grandeurs algébriques SA , SA' , SC
et HI dans l’approximation de Gauss. On précisera le cadre de l’approximation de Gauss.
Dans le cadre de cette approximation, on pourra confondre H et S. On rappelle que si i est
petit alors tan(i) = i.
B.1.2 Exprimer la relation entre les angles α, α’, β.
B.1.3 En déduire la relation de conjugaison au sommet du miroir :
k
1
1

 1
SA SA' SC
où k1 est un facteur que l’on déterminera.
B.1.4 Donner les expressions des distances focales image f’ = SF ' et objet f = SF du miroir
sphérique en fonction de SC .
B.2 Relation de conjugaison de Newton
On représente le miroir sphérique de centre C et de sommet S en dilatant l’échelle dans les
directions transverses (Figure ci-dessous).
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B.2.1 Reproduire la figure ci-dessus en indiquant les foyers principaux objet F et image F’ et
construire l’image A’B’ d’un objet AB transverse.
B.2.2 En considérant les propriétés des triangles semblables, montrer que nous obtenons la relation de
conjugaison de Newton :
FA.F ' A'  f . f '
B.3 Grandissement
Si AB a pour image A’B’, nous représenterons le grandissement transversal par le rapport algébrique :

A' B'
AB
Exprimer ce grandissement :
B.3.1 en fonction de SA et SA' .
B.3.2 en fonction de FA , FA' et FS .
B.3.3 en fonction de CA et CA' .
C. Système réflecteur : le télescope de Cassegrain
Données numériques : Diamètre de la Lune : DL = 3456 km; Distance Terre - Lune : DTL =
384000 km
C.1 L’axe optique d’un miroir sphérique concave M, de sommet S, de centre C et de rayon
R  SC est dirigé vers le centre de la Lune.
C.1.1 Déterminer la position de l’image A’B’ de la Lune après réflexion sur M.
C.1.2 Calculer le diamètre apparent ε (Le diamètre apparent, ou diamètre angulaire, souvent
associé à des mesures d'astres en astronomie, est l'angle sous lequel est vu un objet).
C.1.3 En déduire la dimension de l’image A’B’ pour R = 60 cm.
C.2 On réalise l’objectif d’un télescope de type Cassegrain en associant deux miroirs
sphériques :
– un miroir sphérique concave M1, appelé miroir primaire, de sommet S1, de centre C1, de
foyer F1 et de rayon R1  S1C1 .
– un miroir sphérique convexe M2 appelé miroir secondaire, de sommet S2, de centre C2, de
foyer F2 et de rayon R2  S 2 C 2 .
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Le miroir M1 comprend une petite ouverture centrée en S1 pour permettre le passage de la
lumière après réflexion sur M1 puis sur M2. Le miroir M2 est de petite dimension, afin de ne
pas obstruer le passage de la lumière tombant sur le miroir primaire.
C.2.1 Où doit se situer l’image A’B’ de la Lune après réflexion sur M1, afin que le miroir
sphérique convexe M2, caractérisé par S2, C2 et F2, en donne une image réelle A’’B’’ ?
C.2.2 Déterminer la position du foyer image F’, de l’association des miroirs M1 et M2, en
exprimant S 2 F ' en fonction de R1, R2 et d = S 2 S1 .
C.2.3 Exprimer le grandissement transversal de l’objet A’B’ à travers le miroir M2 en
fonction de R1, R2 et d = S 2 S1 .
C.2.4 Calculer S 2 F ' et la dimension finale de l’image A’’B’’ pour : R1 = 60 cm ; R2 = 40 cm
et d = 18 cm.
C.2.5 Quelle serait la distance focale image fL d’une unique lentille mince qui donnerait de la
Lune la même image A’’B’’ ? Commenter.
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