Chapitre 3.10 – L`impulsion et la conservation de la quantité de

Chapitre 3.10 – L’impulsion et la conservation
de la quantité de mouvement
L’impulsion d’une force constante
v
L’impulsion correspond au transfert de quantité de mouvement causé par une force F
v
appliquée durant un intervalle de temps ∆t :
J
v v
J = F ∆t
où
v
J : Impulsion appliquée sur un objet ( Ns )
v
F : Force qui effectue l’impulsion (N)
∆t : Durée d’application de la force ( ∆t = t f − t i ) (s)
v
F
ti
tf
La quantité de mouvement
La quantité de mouvement est une mesure de l’état de mouvement d’un objet ayant une
v
vitesse de translation v et une masse m. On définit classiquement1 la quantité de
mouvement de la façon suivante :
v
v
p = mv
où
v
v
v
p : La quantité de mouvement associé à un objet ( kg ⋅ m/s )
m : La masse de l’objet (kg)
v
v : La vitesse de l’objet (m/s)
v
p
m
Théorème de la quantité de mouvement
Le théorème de la quantité de mouvement nous permet d’affirmer que l’impulsion est
l’agent qui fait varier la quantité de mouvement dans le temps :
Puisque qu’une impulsion produit une variation de la quantité de mouvement, nous
pouvons ajouter ce terme à notre théorème de la conservation de la quantité de
mouvement :
v
v v
p f = pi + J
où
Unité :
1
v
p f : Quantité de mouvement final ( Ns ou kg ⋅ m/s )
v
p i : Quantité de mouvement initiale ( Ns ou kg ⋅ m/s )
v
J : Impulsion totale extérieure appliquée ( Ns )
Ns =
kg m
kg m
m
s=
= kg
2
s
s
s
v
En mécanique relativiste, la quantité de mouvement est égale à p =
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
mv
1− v2 / c2
.
Page 1
Preuve :
À partir de la 2ième loi de Newton, appliquons une force durant un intervalle de temps
v
v
(impulsion J ) afin de produire une variation de la quantité de mouvement p :
v
v
v
v
dv
v
v dv
F =m
F = ma
⇒
(Remplacer a =
)
dt
dt
v
v
⇒
Fdt = m dv
(Multiplier par dt )
v
v
⇒
Fdt = d (mv )
(Distribuer m dans la dérivée)
v
v
v
v
⇒
F dt = d p
(Remplacer p = mv )
v
v
⇒
F∆t = ∆p
(Relaxer notation d → ∆ )
v v
v v
v
⇒
J = p f − pi
(Remplacer J = F∆t )
v
v
v
⇒
p f = pi + J ■
(Réécriture)
Situation A : On pousse une boîte. Une boîte 2 kg ayant une vitesse initiale de 2 m/s selon
l’axe négatif des x est poussée à l’aide d’une force de 5 N selon l’axe positif des x pendant
3 secondes. On désire déterminer la vitesse de la boîte après 3 secondes de poussée.
Appliquons le théorème de la quantité de mouvement selon l’axe x afin d’évaluer la vitesse
de la boîte après 3 secondes de poussée constante :
px f = pxi + J x
⇒
(mv ) = (mv ) + J
⇒
mv x f = mv x i + (Fx ∆t )
(Remplacer J x = Fx ∆t )
⇒
(2)v x f
(Remplacer valeurs num.)
⇒
2v x f = −4 + 15
(Calcul)
⇒
v x f = 5,5 m/s
(Évaluer v x f )
xf
xi
x
= (2 )(− 2 ) + (5)(3)
(Remplacer p x = mv x )
La 2ième loi de Newton avec la quantité de mouvement
La 2ième loi de Newton peut être réécrite à l’aide de la définition de la quantité de
v
mouvement p . Sous cette forme2, cette loi permet plus facilement de mette en relation
l’influence d’une force et la modification de l’état de mouvement d’un objet :
v dpv
F=
dt
où
v
F : La force appliquée en newton (N)
v
p : Quantité de mouvement associé à un objet ( kg ⋅ m/s )
t : Le temps en seconde (s)
2
C’est plutôt sous cette forme qu’Isaac Newton a énoncé sa 2ième loi.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Preuve :
À partir de la 2ième loi de Newton, effectuons une réécriture de cette loi introduisant la
v
notion de quantité de mouvement p :
v
v
v
dv
v
v
v
F = ma
⇒
F =m
(Définition de l’accélération, a = dv / dt )
dt
v d (mvv )
F=
⇒
(Entrer la constante m dans la dérivée)
dt
v dpv
v
v
⇒
F=
■
(Remplacer p = mv )
dt
L’impulsion d’une force non constante
v
v
Pour évaluer l’impulsion J d’une force F , nous avons besoin d’évaluer l’aire sous la
courbe d’un graphique de force en fonction du temps t . Ce calcul peut s’effectuer grâce à
l’intégrale d’une fonction Fx (t ) :
Force constante
Force non constante
Fx (N )
Fx
Jx
ti
∆t
tf
t (s )
tf
(selon l’axe x)
∫ F dt
Jx =
x
t =ti
J x = Fx ∆t
(vectoriel)
v
J=
tf
v
F
∫ dt
t =ti
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Chapitre 3.12 - Situation 1 : Une balle rebondit.
Une balle de 0,1 kg rebondit sur le sol. L’interaction
entre le sol et la balle dure 0,04 s. Pendant cet
intervalle de temps, la force résultante agissant sur la
balle (selon un axe y dont le sens positif est orienté
vers le haut) est donnée par le graphique ci-contre.
Immédiatement avant le début de l’interaction, la
v
vitesse de la balle est égale à − 20 j m/s . On désire
déterminer sa vitesse immédiatement après la fin de
l’interaction.
ΣFy (N)
300
200
100
t (s)
0
0
0,02
0,04
Évaluons la quantité de mouvement avant l’impact :
v
v
v
v
v
v
pi = −2 j Ns
pi = mv i
⇒
pi = (0,1)(− 20 j )
⇒
Évaluons l’impulsion donnée par le sol :
1 carré = 1 un = 50 N × 0,005 s = 0,25 Ns
Avec :
v
J=
ΣFy (N)
tf
v
F
∫ dt = aire sous la courbe
t = ti
300
200
⇒
v
v
v
J = 8 carrés (1 un) j + 6 triangles (1 un) j
⇒
v
v
J = 14 × 0,25 j
⇒
v
v
J = 3,5 j Ns
100
t (s)
0
0
0,02
0,04
Nous pouvons évaluer la quantité de mouvement
quantité de mouvement :
v
v
v
v
v
v
p f = pi + J
⇒
p f = (− 2 j ) + (3,5 j )
v
v
⇒
p f = 1,5 j
v
v
⇒
mv f = 1,5 j
v
(0,1)vv f = 1,5 j
⇒
v
v
v f = 15 j m/s
⇒
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
finale à partir de la conservation de la
(Remplacer num.)
(Calcul)
v
v
(Quantité de mouvement, p = mv )
(Remplacer num.)
v
(Isoler la vitesse finale v f )
Page 4
La collision
Lors d’une collision entre deux
objets, puisque les objets ne
peuvent occuper le même espace
au même moment, il se produit des
forces de contact entre les objets
que nous avons nommées forces
normales. Ces forces de nature
électrique peuvent être appliquées
pendant de très court intervalle de
temps. Ces forces permettent aux
objets de ralentir, s’immobiliser
ou changer de direction.
http://pages.videotron.com/sell
ig01/ saviezvous/saviez1.html
http://www.foozine.com/photo/automoto/3844petit-carambolage/
Une balle de golf se
déforme à la collision.
Un carambolage représente plusieurs
collisions à plusieurs corps.
Puisque la force normale est difficile à étudier, car elle est non-constante pendant la durée de
v
v
l’impact et qu’elle est habituellement difficile à mesurer, la 2ième loi de Newton ( F = ma )
semble être un chemin difficile à prendre pour résoudre un tel problème.
Question :
Est-ce qu’il y a de la conservation dans une collision?
Force interne et force externe
Une force interne est une force appliquée sur un objet d’un système qui est jumelée à une
autre force appliquée sur un autre objet pour former une paire action-réaction. Des forces
internes ne propulsent pas le système, car la somme
des
v
v forces internes d’un système est
toujours égale à zéro par la 3ième loi de Newton ( FAB = − FBA ).
Une force externe est une force appliquée sur un objet d’un système dont la source de la
force ne fait pas partie du système. Il n’y a donc pas d’association de paire action-réaction
avec ces forces. Ce sont les forces externes qui sont responsable de la propulsion du système
v
v
par la 2ième loi de Newton ( ∑ Fext = msys a ).
Exemple : Le système de bloc A et B frotte contre le sol et est tiré par une corde.
v
nBA
A
B
v
mB g
v
f AB
v
f BA
v
nAB
v
T
v
n
v
fc
Forces internes de somme nulle :
v
v
v
v
f AB + f BA + n AB + n BA = 0
v
mB g
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Forces externes de somme nulle :
v
v v
m A g + mB g + n = 0
Forces externes résiduelles :
v v
v
f c + T = (m A + m B )a
(supposant que les blocs A et B restent collés)
Page 5
La conservation de la quantité de mouvement
Lorsqu’un système de masses est parfaitement isolé
de toutes formes de force externe ou que la somme
des force externes est égale à zéro en tout temps, il y
v
a conservation de la quantité de mouvement p dans
le temps pour l’ensemble du système :
v
∑ Fext = 0
où
v
∑p
v
∑p
i
f
⇔
v
p
∑ = constante
⇒
∑p
v
f
v
= ∑ pi
http://fr.wikipedia.org/wiki/Billard
Une casse au billard est un bon exemple de conservation
de la quantité de mouvement, car il n’y a que des forces
normales de contact en jeu (force internes) si l’on néglige
le frottement de contact durant la collision (force externe).
: Somme de la quantité de mouvement avant la collision ( kg ⋅ m/s )
: Somme de la quantité de mouvement après la collision ( kg ⋅ m/s )
Preuve :
Considérons un système à deux corps A et B. Appliquons la 2ième loi de Newton dans la
condition où la somme des forces externes est égale à zéro afin de démonter la conservation
de la quantité de mouvement dans une telle situation :
v
v
v
v
dp A
dp B
(2ième loi de Newton sur A et B)
∑ FA = dt et ∑ FB = dt
v
v
v
v
dp A dp B
⇒
(Créer le système en add. nos deux éq.)
∑ FA + ∑ FB = dt + dt
v
v
v v
v
v
v
v
v
dp A dp B
(
)
(
)
+
(Remplacer ∑ F = Fext + Fint )
⇒
FA ext + FBA + FB ext + FAB =
dt
dt
v
v
v
v
v
v
dp
dp
⇒
FBA + FAB = A + B
(Supposer FA ext = 0 et FB ext = 0 )
dt
dt
v
v
v
v
dp
dp
⇒
0= A + B
(3ième loi Newton : FAB = − FBA )
dt
dt
v
v
⇒
dp A + dp B = 0
(Indépendante du temps, simplifier dt)
v
v
⇒
∆p A + ∆p B = 0
(Différentielle relaxée, d → ∆ )
v v
v
( pv B f − pv B i ) + ( pv A f − pv A i ) = 0
⇒
( ∆p = p f − pi )
⇒
v
v
v
v
pB f + pA f = pA i + pB i
⇒
∑p
v
A ,B
f
v
= ∑ pi
■
(Séparer terme initial et final)
(Remplacer par une sommation)
A ,B
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Collision élastiques, inélastiques et parfaitement inélastiques
Puisque la conservation de la quantité de mouvement est toujours applicable dans tous les
problèmes de collision, nous pouvons distinguer deux grandes familles de collision :
Collision
Quantité de
mouvement conservée
v
v
( p f = pi )
Énergie cinétique
conservée
( K f = Ki )
Objets restent
collés après la
collision
Élastique
Oui
Oui
Non
Inélastique
Oui
Non
Possiblement
Parfaitement
inélastique
(sous catégorie)
Oui
Non
Oui
N.B.
Lors d’une collision inélastique, l’énergie cinétique initiale n’est pas perdue mais
prend une forme autre qu’en mouvement (ex : chaleur, déformation permanente
d’un objet, bruit, émission de lumière).
Situation 4 : Deux blocs entrent en collision. Les blocs
A (0,5 kg) et B (1,5 kg) entrent en collision.
Immédiatement avant la collision, A voyage vers la
droite à 4 m/s et B voyage vers la gauche à 6 m/s.
Immédiatement après la collision, le bloc A voyage vers
la gauche à 11 m/s. On désire déterminer la vitesse du
bloc B après la collision ainsi que la quantité d’énergie
cinétique perdue lors de la collision.
6 m/s
4 m/s
A
0,5 kg
B 1,5 kg
Avant
?
11 m/s
A
B
Après
Voici les informations de notre situation : (axe x positif vers la droite)
v
v
v
v
Vitesse initiale :
v Ai = 4 i m/s
v Bi = −6 i m/s
v
v
v
Vitesse finale :
v A f = −11 i m/s
vB f = ?
Appliquons la conservation de la quantité de mouvement au système :
v
v
v
v
v
v
⇒
p A f + pB f = p Ai + pB i
∑ p f = ∑ pi
v
v
v
v
⇒
m A v A f + mB v B f = m A v A i + mB vB i
v
v
v
(0,5) − 11 i + (1,5)vvB f = (0,5) 4 i + (1,5) − 6 i
⇒
v
v
v
v
⇒
− 5,5 i + 1,5v B f = 2 i − 9 i
v
v
⇒
1,5v B f = −1,5 i
v
v
v B f = −1 i m/s
⇒
(
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
( )
(
(Développer éq.)
v
v
( p = mv )
)
(Remplacer num.)
(Calcul)
v
(Isoler v B f )
v
(Évaluer v B f )
Page 7
Évaluons l’énergie cinétique :
K i = K Ai + K B i
⇒
⇒
K f = KA f + KB f
⇒
⇒
1
1
2
2
m Av Ai + mB vB i
2
2
1
1
2
2
K i = (0,5)(4 ) + (1,5)(6 )
2
2
Ki =
1
1
2
2
m A v A f + mB vB f
2
2
1
1
2
2
K f = (0,5)(11) + (1,5)(1)
2
2
⇒
K i = 31 J
⇒
K f = 31 J
⇒
∆K = 0 J
Kf =
Évaluons la variation de l’énergie cinétique :
∆K = K f − K i
⇒
∆K = (31) − (31)
Nous avons ici une collision élastique.
Situation 5 : Une interaction explosive. Une carabine C à injection de 4 kg initialement
immobile expulse un dard D tranquillisant de 20 g avec une vitesse horizontale de
1000 m/s. On désire déterminer la vitesse de recul de la carabine et comparer les énergies
cinétiques du dard et de la carabine immédiatement après le tire.
Voici les informations de la situation : (x positif vers la droite)
Notation
Vitesse initiale
C : Carabine
D : Dart
•
•
Vitesse finale
•
v xC i = 0
•
vx C f = ?
•
vx D i = 0
•
v x D f = 1000m/s
Appliquons la conservation de la quantité de mouvement :
∑p
= ∑ pxi
⇒
p xC f + p xD f = p xC i + p xD i
(Développer éq.)
⇒
mC v xC f + mD v xD f = mC v xC i + m D v xD i
( p x = mv x )
⇒
(4)v xC f + (0,02)(1000) = (4)(0 ) + (0,02)(0)
(Remplacer num.)
⇒
v xC f = −5 m/s
v
(Isoler vC f )
KC f =
⇒
KC f =
⇒
K C f = 50 J
KD f
⇒
KD f
⇒
K D f = 10000 J
xf
Énergie cinétique :
1
2
mC v C f
2
1
2
= mD vD f
2
1
(4)(5)2
2
1
2
= (0,02 )(1000 )
2
Nous avons 200 fois plus d’énergie cinétique dans le dard que dans la carabine.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
Situation 6 : Une situation, deux principes de conservation. Sur
une surface horizontale sans frottement, un cube de bois C de 2 kg
est placé contre un ressort horizontal dont la constante de rappel
vaut 500 N/m. Une balle de fusil B de 20 g voyageant
horizontalement à 800 m/s pénètre dans le bloc et s’y incruste. On
désire déterminer la compression maximale du ressort.
B
C
Avec la conservation de la quantité de mouvement selon l’axe x, nous pouvons déterminer
la vitesse du groupe cube + balle après l’impact en utilisant la collision parfaitement
inélastique :
∑p
xf
= ∑ pxi
⇒
p xC f + p xB
⇒
mC v xC f + mB v xB
⇒
(mC + mB )v x f
⇒
((2) + (0,02))v x f
⇒
v x f = 7,92 m/s
f
= p xC i + p xB i
f
= m C v xC i + m B v xB i
= m C v xC i + m B v xB i
= (2 )(0 ) + (0,02 )(800 )
(Développer éq.)
( p x = mv x )
( v xC f = v xB f = v x f )
(Remplacer num.)
(Isoler et évaluer v x f )
Avec la conservation de l’énergie, nous pouvons évaluer la compression maximale du
ressort : ( Wnc = 0 )
E f = Ei + Wnc
⇒
K f + U f = K i + U i + (0 )
(Développer éq.)
⇒
(0) + 1 ke f 2 = 1 (m B + mC )vi 2 + (0)
( U f = U rf , K i = K iB + K iC )
2
2
2
(m B + mc )vi 2
⇒
ef =
⇒
ef
2
⇒
e f = ± 0,503 m
k
2
0,02 ) + (2 ))(7,92 )
(
(
=
(500 )
2
(Isoler e f )
(Remplacer, vi = v x f )
(Évaluer e f )
La compression maximale du ressort est de 0,503 m.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9
Situation 7 : Une collision en deux dimensions. Sur une
table horizontale sans frottement, deux rondelles rebondissent
l’une sur l’autre. Avant la collision, la rondelle A, dont la
masse est égale à 500 g, se déplace à 5 m/s vers l’est et la
rondelle B, dont la masse est égale à 1 kg, se déplace à 4 m/s à
30o au sud de l’ouest. Après la collision, la rondelle A se
déplace à 4 m/s vers le sud. On désire (a) déterminer la vitesse
de la rondelle B après la collision ainsi que (b) la quantité
d’énergie cinétique perdue lors de la collision.
Voici nos vitesses sous forme vectorielle :
•
•
v
v
v A i = 5i m/s
v
v
v A f = −4 j m/s
N
1 kg
E
O
0,5 kg
4 m/s
S
B
30°
A
5 m/s
A
vue de
haut
4 m/s
Résolution graphique :
v
pA i
v
v
v
• v B i = (− 4 cos(30°)i − 4 sin (30°) j ) m/s
v
v
v
• v B f = v xB f i + v yB f j
30o
v
pA f
v
pB i
v
v
p B f = mB vB f
v
v
∑ pi = ∑ p f
Avec la conservation de la quantité de mouvement :
v
v
v
v
v
v
∑ p f = ∑ pi ⇒ p A f + p B f = p A i + p B i
v
v
v
v
⇒ mA vA f + mB vB f = mA vA i + mB v B i
v
v
v
v
v
v
⇒ (0,5)(− 4 j ) + (1) v xB f i + v yB f j = (0,5)(5i ) + (1)(− 4 cos(30° )i − 4 sin (30°) j )
v
v
v
v
v
⇒ − 2 j + v xB f i + v yB f j = −0,964i − 2 j
v
v
v
⇒ v xB f i + v yB f j = −0,964i
(
Pour satisfaire cette équation vectorielle, il faut que :
)
v xB f = −0,964 m/s et v yB f = 0 m/s
v
v
(a) Notre rondelle B se déplace vers l’ouest à 0,964 m/s. ( v B f = −0,964 i m/s )
Évaluons nos énergies cinétiques :
Ki =
1
1
1
1
2
2
2
2
m A v A i + m B v B i = (0,5)(5) + (1)(4 ) = 6,25 + 8
2
2
2
2
Kf =
1
m Av A
2
2
f
+
1
mB v B
2
2
f
=
⇒
K i = 14,25 J
1
(0,5)(4)2 + 1 (1)(0,964)2 = 4 + 0,48 ⇒
2
2
K f = 4,48 J
(b) Nous avons perdu 14,25 − 4,48 = 9,77 J ce qui représente 9,77 / 14,25 = 0,686 = 68,6 %
de l’énergie cinétique initiale.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 10
Exercices
3.10.11 Un pendule balistique. Un pendule balistique
représenté sur le schéma ci-contre sert à déterminer
expérimentalement le module de la vitesse v d’une balle de
fusil. La balle de masse m pénètre et s’incruste dans un bloc
de bois de masse M accroché à deux cordes de longueur L (on
utilise deux cordes pour éviter que le bloc ne tourne sur luimême après l’impact). Une petite cale de masse négligeable
est placée en arrière du bloc et se déplace d’une distance x
lorsque le pendule atteint sa hauteur maximale. Si x = 20 cm,
L = 80 cm, M = 5 kg et m = 0,01 kg, déterminez v.
L
m v
M
x
3.10.12 Deux rondelles rebondissent l’une sur l’autre, en deux dimensions. Deux rondelles
entrent en collision sur une surface horizontale. Immédiatement avant la collision, la rondelle
A, dont la masse est de 500 g, se déplace à 3 m/s vers l’est et la rondelle B, dont la masse est
de 800 g, se déplace à 4 m/s vers le sud. Immédiatement après la collision, la rondelle A se
déplace à 2 m/s vers le sud. Déterminez (a) le module et l’orientation de la vitesse de la
rondelle B immédiatement après la collision et (b) le pourcentage d’énergie cinétique perdue
lors de la collision.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 11
Solutions
3.10.11 Un pendule balistique.
Déterminons l’angle d’élévation du bloc :
sin (θ ) =
x (0,20 )
=
L (0,80 )
⇒
θ = 14,48°
Déterminons la hauteur d’élévation du bloc :
y = L − L cos θ = L(1 − cos θ )
⇒
y = (0,80)(1 − cos(14,48°))
⇒
y = 0,025 m
Déterminons la vitesse du système balle + bloc après l’impact par conservation de
l’énergie : (prenons y = 0 au point d’impact entre la balle et le bloc)
E f = Ei + Wnc
⇒
⇒
⇒
K f + U gf = K i + U gi + Wnc
1
1
2
2
mv f + mgy f = mvi + mgy i + Wnc
2
2
1
2
mgy f = mvi
( yi = 0, v f = 0, Wnc = 0 )
2
⇒
vi = 2 gy f = 2(9,8)(0,025)
⇒
vi = ± 0,7 m/s
⇒
vi = 0,7 m/s
Utilisons la vitesse après l’impact pour évaluer la vitesse initiale de la balle avant l’impact
par conservation de la quantité de mouvement : (prenons l’axe x positif vers la droite)
v
v
v
v
v
v
⇒
pballe f + p bloc f = pballe i + pbloc i
∑ p f = ∑ pi
⇒
mballe vballe
⇒
(mballe + mbloc )v f = mballe vballe i + mbloc vbloc i
(mballe + mbloc )v f = mballe vballe i
(mballe + mbloc )v f (m + M )
⇒
⇒
vballe i =
f
+ mbloc vbloc
f
= mballe vballe i + mbloc vbloc i
mballe
=
m
(selon l’axe x)
(collision p. iné.)
( vbloc i = 0 )
vf
((0,01) + (5))(0,7 )
(0,01)
⇒
vballe i =
⇒
vballe i = 350,7 m/s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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