2 Théorème des nombres premiers

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Introduction à la théorie des nombres
1 Notion de base
Définition :
On étudie les propriétés des nombres entiers :
3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4
nombres naturels
nombres entires
− − −
Division :
d∈
est un diviseur de
n∈
s’il existe un
k∈
tel que :
n k d=⋅
Notation :
|d n
ou « | » veut dire « divise » (d divise n).
Exemple :
2 | 6
3 | 6−
parce que
( ) ( )
6 2 3=− ⋅ −
5| 6
Nombres
premiers :
Un nombre
1p>
est un nombre premier si seulement
1±
et
p±
sont des
diviseurs.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Y a-t-il une infinité de nombres premiers ?
Euclide dit : OUI !
Raison : Supposons qu’il y ait seulement un nombre fini de nombre
premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, P
(P plus grand nombre premier)
On forme un nombre :
2 3 5 7 11 13 ... 1NP=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
Fait : Chaque nombre possède au moins un diviseur premier.
Exemple :
36 6 6 263=⋅=⋅ ⋅
3|36 et 3 premier
Soit Q un diviseur premier de N :
( )
| 2 3 5 ... 1Q N P=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
Q premier
2Q≠
: N impair
3Q≠
:
3 | 1N−
alors
3| N
5Q≠
:
4 | 1N−
alors
5 | N
Q P≠
:
| 1P N −
alors
|P N
 contradiction !!

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Définition :
Soit = nombre de nombres premiers .
Exemple :
Devoir : Programmer en MATLAB la fonction en utilisant « isPrime() ».
2 Théorème des nombres premiers
(1896 par Hadamard et De la Vallée-Poussin)
Définition :
au sens
Devoir : « Vérifier » à l’aide de MATLAB.
Question :
Combien de nombre premiers avec 100 décimales y a-t-il environ ?
Densité : (chaque 200ème est un nombre premier)
Donc la probabilité qu’un nombre avec 100 décimales est premier est de :
Devoir :
1) Estimer la densité des nombres premiers avec 200 décimales :
Densité : (chaque 460ème est un nombre premier)
2) Soit m un nombre naturel.
Montrer : Il existe une suite de m nombres naturels consécutives n, n+1, n+2, …
…, n+(m-1) qui ne contient aucun nombre premiers. p.ex. :
distance entre 2 nombres premiers

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3 Problèmes ouverts
1) Conjecture de
Goldbach
Goldbach a écrit dans une lettre à Gauss : « Tout nombre pair (>2) est la somme
de deux nombres premiers. »
(pas unique)
2) Jumeaux
premiers
On dit que deux nombres premiers sont des jumeaux si leur différence est 2.
Question ouverte : Y a-t-il une infinité ?
On sait :
(Leibniz)
(Euler)
« Le dernier
théorème de
Fermat »
Un problème enfin résolu :
polynôme :
solutions entières :
 « triples de Pythagore »
polynôme : Euler a montré que ce polynôme n’admet pas de
solution entières positives.
Conjecture de Fermat : Soit . Alors le polynôme n’a pas de
solutions x,y,z entières positions.
1997 démonstration par A. Wiles

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Euler a observé :
La formule suivante retourne un nombre premier :
Lucky number
de Euler :
Soit
Quel est le m, tel que est premier pour tout ?
m = 79
p est un « lucky number de Euler » si : est premier pour
tout
Remarque :
Un exemple :
Devoir :
Trouver tous les « lucky numbers » 1000.
Réponse : 3, 5, 11, 17, 41
Nombre de
Mersenne :
Un nombre premier de Mersenne est un nombre de la forme
Le plus grand nombre connu aujourd’hui est :
(nombre à 6'320'429 chiffres)
Théorème :
Si un nombre de la forme donc est premier, alors et
est premier.
Exemple : pas premier p. q.
pas premier p. q. pas premier
Démonstration :
|
| soustraction des deux lignes