2 Théorème des nombres premiers

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Introduction à la théorie des nombres
1
Définition :
Notion de base
On étudie les propriétés des nombres entiers : −3, −2, −1, 0,
1, 2, 3, 4

nombres naturels



 nombres entires
Division :
d ∈
est un diviseur de n ∈  s’il existe un k ∈  tel que :
n = k ⋅d
Notation :
d |n
Exemple :
2|6
−3 | 6
ou « | » veut dire « divise » (d divise n).
parce que 6 = (−2 )⋅ (−3)
5| 6
Nombres
premiers :
Un nombre p > 1 est un nombre premier si seulement ±1 et ± p sont des
diviseurs.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …
Y a-t-il une infinité de nombres premiers ?
Euclide dit : OUI !
Raison :
Supposons qu’il y ait seulement un nombre fini de nombre
premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …, P
(P plus grand nombre premier)
On forme un nombre : N = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅11⋅13 ⋅ ... ⋅ P + 1
Fait :
Exemple :
Chaque nombre possède au moins un diviseur premier.
36 = 6 ⋅ 6 = 6 ⋅ 2 ⋅ 3
3|36 et 3 premier
Soit Q un diviseur premier de N :
:
Q≠3 :
Q≠5 :
Q≠P :
Q≠2
N impair
3 | N − 1 alors 3| N
4 | N − 1 alors 5 | N
P | N − 1 alors P | N
-1-
Q | N = (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ P ) + 1
Q premier
 contradiction !!
Définition :
Soit
= nombre de nombres premiers
Exemple :
.
Devoir : Programmer en MATLAB la fonction
2
en utilisant « isPrime() ».
Théorème des nombres premiers
(1896 par Hadamard et De la Vallée-Poussin)
Définition :
au sens
Devoir : « Vérifier » à l’aide de MATLAB.
Question :
Combien de nombre premiers avec 100 décimales y a-t-il environ ?
(chaque 200ème est un nombre premier)
Densité :
Donc la probabilité qu’un nombre avec 100 décimales est premier est de :
Devoir :
1) Estimer la densité des nombres premiers avec 200 décimales :
(chaque 460ème est un nombre premier)
Densité :
2) Soit m un nombre naturel.
Montrer : Il existe une suite de m nombres naturels consécutives n, n+1, n+2, …
…, n+(m-1) qui ne contient aucun nombre premiers. p.ex. :
distance entre 2 nombres premiers
-2-
3
Problèmes ouverts
1) Conjecture de Goldbach a écrit dans une lettre à Gauss : « Tout nombre pair (>2) est la somme
Goldbach
de deux nombres premiers. »
(pas unique)
2) Jumeaux
premiers
On dit que deux nombres premiers sont des jumeaux si leur différence est 2.
Question ouverte : Y a-t-il une infinité ?
On sait :
(Leibniz)
(Euler)
« Le
dernier Un problème enfin résolu :
théorème
de
Fermat »
polynôme :
solutions entières :
 « triples de Pythagore »
polynôme :
Euler a montré que ce polynôme n’admet pas de
solution entières positives.
Conjecture de Fermat : Soit
. Alors le polynôme
solutions x,y,z entières positions.
1997 démonstration par A. Wiles
-3-
n’a pas de
Euler a observé :
La formule suivante retourne un nombre premier :
Lucky number Soit
de Euler :
Quel est le m, tel que
m = 79
est premier pour tout
?
p est un « lucky number de Euler » si :
est
premier
pour
tout
Remarque :
Un exemple :
Devoir :
Trouver tous les « lucky numbers »
Réponse :
Nombre
Mersenne :
1000.
3, 5, 11, 17, 41
de Un nombre premier de Mersenne est un nombre de la forme
Le plus grand nombre connu aujourd’hui est :
(nombre à 6'320'429 chiffres)
Théorème :
Si un nombre
est premier.
de la forme
Exemple :
donc
pas premier p. q.
pas premier p. q.
est premier, alors
pas premier
Démonstration :
|
| soustraction des deux lignes
-4-
et
Supposons que
 Si

, N n’est pas premier
Si N est premier, alors
Supposons que
. (p.ex.
est divisible par
)
n’est pas premier :
Soit

Si N est premier 
3.1
Définition :
premier
Nombre parfait
Un nombre n est parfait, si la somme de tous ses diviseurs est égale à 2n.
 8 pas parfait
Théorème :
 N n’est pas premier
(Euler)
a) Soit
un nombre premier (Mersenne),
alors
est parfait.
b) Si N est parfait et paire, alors N est de la forme
où P est un nombre de Mersenne
-5-
4
Théorème fondamental de l’arithmétique
Introduction :
Tout nombre naturel peut uniquement être factorisé comme produit de nombres
premiers.
Exemples :
Application :
est irrationnelle
Supposons le contraire :
On peut supposer que
paires.
est réduit, en particulier m et n ne sont pas tous les deux
pair
2 divise
pair
pair
Devoir :
Montrer que
n’est pas rationnel.
-6-
pair
5
Algorithme d’Euclide
Définition :
Soit a et b deux nombres naturels.
Le plus grand nombre d qui divise a et b est appelé le plus grand diviseur
commun :
GGT(…)
Exemple :
factoriser :
Algorithme :
Pour calculer (a, b) on utilise l’algorithme d’Euclide qui évite la factorisation :
Si a & b sont des nombres avec 100 décimales, quelle est le nombre maximale de
récursions de cet algorithme :
,
Les nombres sen rouge représentent
les nombres Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …  on reconnaît la suite de Fibonacci.
Théorème de
Lamé :
Soient
et
. Alors le nombre de récursions de l’algorithme d’Euclide
pour calculer (a, b) est plus petit que .
Formule de
Binet :
donc
où
(nombre d’or)
-7-
est le nombre d’or
Supposons que
Le nombre de récursion est plus petit où égale à
Supposons que b est un nombre de 100 décimales.
-8-
.
(101 décimales)
6
Congruence
Définition :
On dit que deux nombres a & b sont congruent modulo n si
On écrit :
Exemple :
Si on a un nombre a, on trouve toujours un nombre
Exemple :
Propriétés :
tel que :
,
1.
2.
Si
Si
et
et
, alors
, alors
Exemple :
Anneau
de
contient :
(Restklassenring)
avec addition et multiplication mod n.
-9-
et
Exemple :
table d’addition de
table de multiplication de
table de multiplication de
On constate les propriétés suivantes :
Propriétés :
(addition)
3.
4.
5.
6.
(associativité)
(commutativité)
il existe un « élément neutre » 0 tel que
Pour tout élément
il existe (élément réciproque) tel que
Un groupe qui suit ces 4 propriétés, on dit que (
abélien.
Propriétés :
(multiplication)
, pour l’addition) est un groupe
Considérons ( , pour la multiplication)
7.
(associativité)
8.
(commutativité)
9.
il existe un « élément neutre » 1 tel que
10. Pour tout élément
il existe
(élément réciproque) tel que
on écrit
Un groupe qui suit ces 4 propriétés, on dit que ( , pour la multiplication) est un
groupe abélien. Ceci est seulement vrai, si est un nombre premier.
- 10 -
Démonstration :
(
, pour la multiplication) est un groupe abélien is et seulement si p est premier.
Supposons que p n’est pas premier, alors
Mais
Application :
(Neunerprobe)
Devoir :
. Considérons
Quersumme der (Quersumme a mal Quersumme b) =
Quersumme c !!
Trouver un test similaire pour
Un nombre est congruent mod 9 à sa « Quersumme ».
Donc un nombre est divisible par 9 si et seulement si sa « Quersumme » est égale à
9.
Décider sans calculatrice si :
a)
11 | 49'016'437'701'679'311’612
b)
7 | 37'196’301
- 11 -
7
Résolution des équations
Théorème :
(Bézout)
Exemple :
Si
Soient
Soient
, alors il existe
,
,
tel que
.
,
,
pas de solution
On aimerait résoudre l’équation
.
En général :
…..
Question :
Comment résoudre l’équation de Bézout
Algorithme d’Euclide :
,

- 12 -
?
8
Algorithme de Euclide augmenté
On veut résoudre l’équation de Bézout
où
1) Algorithme d’Euclide :
2) autre variante :
Exemple :
Résoudre :
Application :

,
Devoir :
- 13 -
(mettre la plus grande variable en
1ère posotion)
Exemple :
Résoudre
L’inverse :
est le nombre tel que
Définition :
L’inverse
de a mod n est le nombre
tel que
Comment résoudre
o Trouver
o
Ex. :
Comment
trouver
combien vaux
?
A l’aide de l’algo d’Euclide augmenté trouver x, y tel que :
Reprenons
. A l’aide d’Euclide on trouve (devoir) :

- 14 -
Comment calculer
quand b est grand ?
Calculer :
Complexité :
de cette algorithme :
- nombre de multiplications :
- 15 -
8.1
Théorème (petit) de Fermat
Pierre Fermat (1601 - 1665)
Soit
a un nombre premier et
alors :
Exemple :
,
Si
n’est pas premier, p. ex.
Que faire si
8.2
un nombre qui n’est pas un multiple de
,
n’est pas premier ?
Fonction d’Euler
= nombre de nombres < n qui n’ont pas de diviseur commun avec
Exemple :
Si
est premier 
Euler a trouvé la formule :
Théorème :
Exemple :
Soit a et n deux nombres tel que
,

,
,
, alors :



- 16 -
,