du chapitre 1 à chapitre 4

SMIA Semestre 3
A. ALAMI-Idrissi et E. Zerouali
6 avril 2010

Table des mati`eres
1 Chapitre I 3
1.1 G´ EN´ ERALIT´ ES........................... 3
1.1.1 S´eries convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 S´ ERIES R´ EELLES A TERMES POSITIFS . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 R´esultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 R´egles de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Comparaison s´eries et int´egrales : . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 S´ ERIES A TERMES QUELCONQUES . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Crit`eres de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 SUITES ET S´ ERIES DE FONCTIONS 11
2.1 SUITES DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Convergence simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Normes sur un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Th´eor`emes de passage `a la limite. . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 S´ ERIES DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Continuit´e des s´eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 D´erivation terme `a terme d’une s´erie. . . . . . . . . . . . 14
2.3 CRIT` ERES DE CONVERGENCE UNIFORME . . . . . . . . . 15
2.3.1 Crit`ere de Cauchy uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Crit`ere d’Abel uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 S´ ERIES ENTI` ERES 16
3.1 G´ EN´ ERALITES........................... 16
3.2 DOMAINE DE CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 Existence du rayon de convergence. . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2 Calcul du rayon de convergence. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 PROPRI´ ETES DES S´ ERIES ENTI` ERES............. 18
3.3.1 Continuit´e........................... 18
3.3.2 D´erivation........................... 18
1

3.4 APPLICATIONS .......................... 19
3.4.1 D´eveloppement en s´erie enti`ere des fonctions usuelles. . . 19
3.4.2 Introduction de nouvelles fonctions. . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 R´esolution de certaines ´equations diff´erentielles. . . . . . 21
4 S´ ERIES DE FOURIER 22
4.1 S´ ERIES TRIGONOM´ ETRIQUES................. 22
4.2 S´ ERIESDEFOURIER....................... 23
4.3 CONVERGENCE UNIFORME DE LA S´ ERIE DE FOURIER . 28
2

Chapitre 1
S´ ERIES NUM´ ERIQUES
Dans tout le polycopi´e, l’ensemble Kd´esignera soit le corps Cdes nombres
complexes, soit le corps Rdes nombres r´eels.
1.1 G´ EN´ ERALIT´ ES
D´efinition 1 Etant donn´ee une suite (un)n∈Nd’´el´ements de K, on appelle
s´erie num´erique de terme g´en´eral unle couple form´e de la suite (un)n∈Net de
la suite (Sn)n∈No`u Sn=
n
P
k= 0
uk;Snest appel´ee la somme partielle d’indice
nde la s´erie de terme g´en´eral un.
– On dit que la s´erie de terme g´en´eral converge vers Sou que Sest la
somme de la s´erie si la suite (Sn)n∈Nconverge vers S. Dans ce cas,
on ´ecrit S= limn→+∞Sn=
+∞
P
n=0
un.
– Si la suite (Sn)n∈Nn’est pas convergente, la s´erie Punest dite
divergente.
Remarque.
1. L’´etude de la s´erie de terme g´en´eral un(en abr´eg´e on ´ecrit Pun), se
ram`ene `a celle la suite (Sn)n∈N.
2. Dans le cas o`u la suite (un)n∈Nn’est d´efinie qu’`a partir d’un certain rang
n0, nous ´etudierons les sommes partielles suivantes : Sn=
n
P
k=n0
ukpour
n≥n0.
Exemples.
1. S´eries g´eom´etriques : Soit k∈K,consid´erons la s´erie de terme g´en´eral
un=kn.Le calcul de la somme partielle d’indice ndonne :
3

Sn=
n
P
k= 0
kn=1−kn+1
1−k
La suite (Sn)n∈Nconverge si et seulement si |k|<1.Dans ce cas , nous
avons :
+∞
P
n=0
kn=1
1−k
2. Soit un=1
n(n+1) . Nous avons
Sn=
n
X
k= 1
1
k(k+ 1) =
n
X
k= 1 1
k−1 k+ 1= 1 −1 n+ 1
Par cons´equent , la s´erie est convergente et l’on a :
+∞
X
n=1
1
n(n+ 1) = 1
L’exemple pr´ec´edent s’´etend de la fa¸con suivante :
Proposition 1 Soit la s´erie Punavec un=an−an+1. Alors la s´erie Pun
est convergente si et seulement si la suite (an)n∈Nest convergente et on a :
+∞
P
n=0
un=a0−a, avec a= limn→+∞an
1.1.1 S´eries convergentes.
Propri´et´e de stabilit´e.
Proposition 2 L’ensemble des s´eries convergentes est un espace vectoriel sur
K. D’autre part la nature d’une s´erie est inchang´ee par la modification d’un
nombre fini de termes.
Preuve : La premi`ere assertion d´ecoule du fait que l’ensemble des suites
d’´el´ements de Kconvergentes est un espace vectoriel sur K.De plus si Pun
et Pvnsont deux s´eries convergentes et λ, µ ∈K, alors nous avons,
+∞
P
n=0
(λun+µvn) = λ
+∞
P
n=0
un+µ
+∞
P
n=0
vn
Soit Punune s´erie d’´el´ements de K, et une s´erie Pvnqui ne diff´ere de
la premi`ere s´erie qu’en un nombre fini de termes. Soit n0assez grand tel que
un=vnpour n≥n0.Notons Snet Tnles sommes partielles respectives
des s´eries Punet Pvn.Pour tout n≥n0, nous avons Sn−Tn=
n0−1
P
k= 0
uk−vk.
Par cons´equent, les suites (Sn)n∈Net (Tn)n∈Nsont de mˆeme nature.
4