Nombres univers et normaux - Jean

STH2, Maple 2011
Nombres univers et normaux
On s’intéresse ici à l’écriture décimale des nombres réels et aux propriétés sta-
tistiques de cette écriture. Par exemple, quand on observe le nombre
π= 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307 · · ·
on a l’impression que la suite de ses décimales ne suit aucune règle et que c’est une
suite aléatoire de chiffres. Au contraire, dans le nombre
1
7= 0,142857142857142857142857142857 · · ·
on constate que la suite des décimales est périodique. Nous allons formaliser ce genre
de remarques.
Nous dirons qu’un nombre est univers si toute séquence finie de chiffres apparaît
dans son écriture décimale. Par exemple, on voit que tous les chiffres de 0 à 9 (i.e.
les séquences de taille 1) apparaîssent dans l’écriture de π, ce qui n’est pas le cas
dans celle de 1
7. De même, la séquence “265” apparaît dans π(au début).
Nous dirons qu’un nombre est normal si pour toute séquence de chiffres de taille
k, sa fréquence d’apparition dans le nombre est égale à 1
10k. Plus précisemment, soit
xun nombre réel et soit sune séquence de kchiffres. Notons N(x, s, n)le nombre
d’apparitions de la séquence sdans la suite des npremiers termes de l’écriture de
x. On dit que le nombre xest normal si pour toute séquence finie s,
lim
n→+∞
N(x, s, n)
n=1 10k.
Si on prend les séquences à un chiffre, cette propriété signifie que tous les chiffres de
0 à 9 apparaîssent dans xet qu’ils apparaîssent avec la même régularité.
Nous n’étudierons ces propriétés qu’expêrimentalement. En particulier, nous
n’aurons pas accès à l’écriture complète des nombres et devrons nous contenter
de regarder les npremières décimales pour nassez grand.
L’expression floor(10kx)−10floor(10k−1x)permettra d’extraire la k-ième décimale
d’un nombre x.
1

1. Séquences de taille 1.
(a) Écrire un programme Apparition(x,a,n) qui teste si le chiffre aapparaît
dans l’écriture de x.
(b) Écrire un programme Univers1(x,n) qui teste l’universalité de xpour les
séquences de taille 1.
(c) Écrire un programme Frequence(x,a,n) qui calcule le nombre d’appari-
tions de aparmi les npremiers termes de x.
(d) Écrire un programme Normal1(x,n) qui teste la normalité de xpour les
séquences de taille 1.
Cette propriété ne peut pas être parfaitement testée. Il faut fixer des bornes
pour décider si un nombre a l’air normal.
(e) Tester vos programmes sur π,e, sur des rationnels et sur d’autres nombres
de votre choix.
2. Généralisation : écrire des programmes similaires testant les propriétés d’uni-
versalité et de normalité pour des séquences de tailles 2.
3. Un nombre algébrique est un nombre qui est racine d’un polynôme à coeffi-
cients entiers. Une conjecture prétend que tout nombre algébrique irrationnel
est normal. Tester cette conjecture sur quelques nombres.
4. Constructions de nombres.
(a) Construire un nombre irrationnel qui ne soit pas univers.
(b) Construire un nombre univers qui ne soit pas normal.
(c) Construire un nombre aléatoire (i.e. dont les décimales sont tirées au
hasard) et tester son universalité et sa normalité.
5. Dynamique topologique : on considère l’application de [0,1] dans [0,1] définie
par T:x7→ 10xmod 1. Cette application consiste simplement à décaler
l’écriture d’un nombre vers la gauche et à ne garder que la partie fractionnaire.
(a) Choisir un nombre réel x. On note Tk(x) = T◦ · · · ◦ T(x). Représenter
l’ensemble Ox={Tk(x), k = 0 . . . n}pour nassez grand. recommencer
pour différentes valeurs de x.
(b) Quel lien observe-t-on entre les propriétés d’universalité et de normalité
de xet les propriétés de densité et d’équirépartition de l’ensemble Ox?
Fonctions utiles : evalf[n](x), rand, pointplot
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