Le site : http://www.mathadonfe.fr/ Problèmes de géométrie pure

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Problèmes de géométrie pure – Niveau troisième et plus - 1
Exercice 1.
1) Construire un triangle ABC tel que AB = 8 cm AC = 6,4 cm BC = 4,8 cm.
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. Préciser le sommet de l’angle droit.
3) Soit O le milieu de [AB].
La parallèle à (AC) passant par O coupe [BC] en I.
Montrer que I est milieu de [BC].
4) Justifier que C appartient au cercle de diamètre [AB].
5) Les droites (AI) et (CO) se coupent au point G.
Démontrer que (BG) coupe [AC] en son milieu.
6) Placer un point E tel que AOE est équilatéral.
En justifiant, calculer la longueur BE.
Exercice 2
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R.
A , B et C sont 3 points quelconques du cercle (C).
A’ , B’ et C’ sont les milieux des côtés [BC] , [CA] et [AB].
I , J et K sont les symétriques de O par rapport aux points A’ , B’ et C’.
1) a) Démontrer que le triangle AKJ est isocèle en A.
b) Justifier que les triangles BIK et CJI sont également isocèles.
2) a) Démontrer que les droites (JK) et (BC) sont parallèles.
b) Justifier que les droites (IK) et (AC) sont parallèles ainsi que les droites (IJ) et (AB).
3) Démontrer que l’orthocentre du triangle ABC est le centre du cercle circonscrit au triangle IJK.
Exercice 3.
Soit ABCD un carré de centre O, I le milieu de [AD], J celui de [AB].
L’objet de ce problème est de montrer que les droites (CJ) et (BI) sont perpendiculaires.
1) Soit K le point d’intersection de (BC) et de la parallèle à (BI) passant par A.
Faire une figure.
2) Montrer que J est milieu de [KI].
3) Montrer que la droite (IK) est perpendiculaire à la droite (AC).
4) Montrer que J est l’orthocentre de ACK.
5) Montrer que les droites (BI) et (CJ) sont perpendiculaires.
Exercice 4. Triangle orthique.
Dans la figure ci-contre, le triangle ABC a trois angles aigus.
Le point H désigne l’orthocentre du triangle et les points
A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs issues de A, B et C.
On se propose de démontrer que les hauteurs du triangle ABC
sont les bissectrices intérieures du triangle A’B’C’.
( Le triangle A’B’C’ est appelé triangle orthique du triangle ABC ).
1) Montrer que les points A’HB’C d’une part et les points
A’HC’B d’autre part sont sur un même cercle.

2) Comparer les angles
''HA B
et
'HCB
, puis les angles
''HA C
et
'HBC
.
3) Comparer les angles
'ABB
et
'ACC
.
Prouver alors que (HA’) est la bissectrice intérieure du triangle A’B’C’.
Achever la démonstration du résultat énoncé et conclure.
Exercice 5.
Soit C un cercle. A , B et C sont 3 points quelconques du cercle.
1) La perpendiculaire à (AB) passant par A coupe le cercle C en D. Placer le point D.
2) Construire H point d’intersection des hauteurs du triangle ABC.
3) Montrer que [BD] est un diamètre du cercle C.
4) Montrer que (CD) est perpendiculaire à (BC).
5) Montrer que (AH) est parallèle à (CD).
6) Montrer que ADCH est un parallélogramme.
Exercice 6.
Partie 1. Soit ABC un triangle. On suppose que tous ses angles sont aigus.
Soit P le pied de la hauteur issue de B et Q le pied de la hauteur issue de C.
1) Faire une figure.
L’objet de ce problème est de montrer que les triangles ABC et APQ sont semblables.
2) Démontrer que les points B, C, P et Q appartiennent à un même cercle.
Préciser de quel cercle il s’agit.
3) Démontrer que les angles
PQC
et
PBC
sont égaux.
4) En déduire que les angles
AQP
et
BCP
sont égaux.
5) Montrer alors que les triangles ABC et APQ sont semblables.
Partie 2. Traiter ce problème lorsque ABC est un triangle quelconque.