3. Etude du cas p = 2. Résultats généraux - E

3. Etude du cas p = 2. Résultats généraux
Objekttyp: Chapter
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 20 (1974)
Heft 3-4: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am: 26.05.2017
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3. Etude du cas p=2. Résultats généraux
Ce paragraphe regroupe quelques résultats valables pour tous les corps
dyadiques. 3.1. Proposition
Soit uune unité de A, anneau des entiers du corps dyadique K(extension
finie de Q2).
1. Le plus petit entier impair 2k +1 tel que un2k +1 soit somme de carrés
d'entiers est 2d+ 1;(d est la partie entière de e/2).
2. Pour que usoit somme de carrés d'entiers (ueV), ilfaut et il suffit
qu 'on ait S(u) >e. Deplus, si on a S(u) >e+1, alors uest somme de deux
carrés d'entiers.
Remarquons que -1est somme de carrés dans A, ce qui permet d'affir
merque A2A 2est bien un sous-anneau de A: dans l'anneau Z2Z 2des entiers
dyadiques, ?7 est un carré car 2est une uniformisante et ?7 est congru à1
modulo 8. Il en résulte que -1 =1+I+4-7 est somme de quatre carrés
dans A. Ceci étant:
1. Pour tout élément ade Aon al'égalité 2a =(a+l)2-(a2+l);
par conséquent 2a est somme de carrés dans A. Plus précisément, si best
une racine carrée de -7 dans Z2,on al'égalité obtenue àpartir de la pro
priétéde multiplicativité de la norme des quaternions:
Par ailleurs, il existe une unité £deA satisfaisant àne =2e. Dans ces condi
tionson abien uneeA2 pour toute unité ude A. En particulier, on a
un2d+l eA2 pour toute unité udeA.
Réciproquement, soit uune unité de ?2/c +lun entier impair tels qu'on
ait un2k+l eA2;il existe une famille finie {a1?a 1? ..., aN}d'éléments de A
telle que:
Comparons les valuations de chacun des termes écrits ci-dessus;
N
on avK (un2k+l)>min {2vK(£ a,), e+vK (£ap>) }. On ne peut
1l^i<j^N

N
avoir 2vK(£aj) <e+ vK(£afij) car vK(un2k+l)est impair.
On en conclut que 2fc+ l>eetde façon plus précise que kest supérieur ou
égal à<£
2. Si wg£/ est une somme de carrés dans A, il existe une famille finie
d'éléments de A, soit {al9 ..., aN}, telle que
ceci prouve que ô(u) est supérieur ou égal àe. Réciproquement, si ô(u)
est supérieur ou égal àe, il existe une unité vde Aet un entier ètels que
m=y2 +neb; or on vient de voir que nebest somme de carrés dans A.
3. Si l'unité wsatisfait hô (u) e+l, il existe une unité vdeAetun
entier btels qu'on ait:
De l'égalité (CAR) obtenue au paragraphe (1.3.2.) on déduit:
Alors uest somme de deux carrés dans Apuisque pour tout n>l( )
W
est un nombre pair. 3.2. Théorème
Soit Tla sous-extension non ramifiée maximale de Ket soit Bl'anneau des
entiers de T. Alors :
1. Les anneaux Betß2 coïncident, c'est-à-dire que tout entier de Test
somme de carré d'entiers de T.
2. L'anneau A2A 2est un anneau local, n?thérien, de dimension 1; son idéal
maximal est ty nA2.En tant que B-môdule, A2A 2est libre de rang e. En tant
que B-algèbre, A2A 2est égal àB [n2,2n],

3. Avec les notations 1, on ala double égalité
1. Puisque Best non ramifié sur Z2,2est une uniformisante de B;
tout élément non nul de Bs'écrit donc de façon unique sous la forme
2*(l+2a) avec neN et aeß, et on adans 5: l+2a =(a+l)2+a2a2
+a2a2+4a2+G/^V.
2. L'anneau est une extension totalement ramifiée de B; il en résulte
que 7i, uniformisante de A, est racine d'un polynôme d'Eisenstein àcoeffi
cientsdans B; en d'autres termes, il existe une unité b0de Bet (e- 1) élé
mentsbu..., Z?ee _xde i? tels qu'on ait:
Par ailleurs, on sait que A=B[n] et que la famille {I,n, ..., ne1} est
une base du A. On va montrer que si eest pair, (resp. impair),
la famille {1, 2tt, tc2,..., nne~2,~ 2,2nee ~1}(resp. {1, 2tt, tt2,..., 27iee ~2,tc6"1})
constitue une base de A2A 2considéré comme En premier lieu, il
est clair que Best un sous-anneau de A2A 2et que la famille considérée est
libre sur B.
Remarquons qu'on peut choisir comme système Rde représentants non
nuls de Amodulo un ensemble d'unités de B, ces unités étant elles-mêmes
des carrés dans B. (On aen effet K=K2K 2et toute unité de Best congrue à
un carré modulo 28.) Tout élément ade Aadmet donc un développement
de Hensel de la forme:
En particulier, il résulte de la proposition 3.1.1.) que tout aeA2 admet un
développement de Hensel de la forme:
Remarquons alors les détails suivants:
a) L'ensemble A2A 2est un fermé de Apour la topologie Ceci
est encore une conséquence de la proposition 3.1.1.).
b) L'ensemble B[n2,2n] est un fermé de Apour la topologie

Or sur B[n2,2n] cette topologie coïncide avec l'unique prolongement à
cet espace de la topologie 2-adique de B. En particulier B[n2,2n] est un
fermé de A2.
Il reste en définitive àprouver que B[n2,2n] est dense dans A2.Pour
cela, il suffit de montrer que pour tout neN, ne+n est combinaison linéaire
àcoefficients dans Bdes éléments de la famille considérée plus haut. Faisons
la démonstration dans le cas epair; (dans le cas eimpair, la démonstration
est analogue):
Les remarques faites au début de la démonstration montrent que la
propriété àdémontrer est vraie pour n=0. De plus, on ales égalités:
Apartir de là on raisonne par récurrence sur mpour évaluer if+2m et
ne+l+2m
Enfin, puisque Best un anneau de valuation discrète, la 5-algèbre de
type fini B[n2,n 2,2n] est un anneau n?thérien; puisque Aest un anneau de
valuation discrète entier sur A2,l'unique idéal maximal de A2A 2est nA2.
3. L'égalité (A :A2)=2df résulte de ce que {1, n, ..., n6n6'1}est une
base de Aen tant que tandis qu'une base de A2A 2comme B
moduleest {1, 2tt, ..., 271e"1}ou{l, 2tt, ..., 71e"1}selon que eest pair ou
impair. Reste àdémontrer la dernière égalité.
Pour tout n>1soit Unle sous-groupe 1+tynde U. On sait que {U\U^)
=2f-12f-1et que pour tout n>lona (Un:Un+ ±)=2f.(Pour plus de détails,
voir [4] ou [5].) Il résulte de la proposition 3.1, 1), qu'on a:
Montrons qu'on aU2n U2d+lU2d+1 =UU 2
d+l.L'inclusion UU2
d+l aU2n U2d+lU
2d+1
est évidente. Réciproquement, soit xe Utel que x2x2=1+an2d+l avec
aeA. Quitte àchanger xen ~x on peut écrire xsous la forme l.+bn2avec
e>let beA. On obtient alors b2b 2n2s =an2d+l -2bnEce qui implique
2e >2ûH-1 et e>d+l.