3. Etude du cas p = 2. Résultats généraux - E

3. Etude du cas p = 2. Résultats généraux
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 20 (1974)
Heft 3-4:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
26.05.2017
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3.
Etude du cas p =
2.
Résultats généraux
Ce paragraphe regroupe quelques résultats valables pour tous les corps
dyadiques.
3.1. Proposition
Soit u une unité de A, anneau des entiers du corps dyadique
de Q 2 ).
K
(extension
finie
Le plus petit entier impair 2k +1 tel que un 2k +1 soit somme de carrés
d'entiers est 2d+ 1 ; (d est la partie entière de e/2).
1.
Pour que u soit somme de carrés d'entiers (ueV), il faut et il suffit
> e. De plus, si on a S (u) > e + 1, alors u est somme de deux
carrés d'entiers.
2.
qu 'on
ait S (u)
-
1 est somme de carrés dans A, ce
qui permet d'affir
Remarquons que
dans
de
bien
l'anneau
est
A:
sous-anneau
un
2 des entiers
merque 2
dyadiques, ?7 est un carré car 2 est une uniformisante et ?7 est congru à 1
modulo 8. Il en résulte que -1 = 1 + I+4-7 est somme de quatre carrés
dans A. Ceci étant:
Z2Z
A2A
1.
Pour tout élément a de A on a l'égalité 2a =
(a+l) 2
- (a
2
+l);
par conséquent 2a est somme de carrés dans A. Plus précisément, si b est
une racine carrée de -7 dans Z 2 , on a l'égalité obtenue à partir de la pro
priétéde multiplicativité de la norme des quaternions:
Par ailleurs, il existe une unité £deA satisfaisant àne = 2e. Dans ces condi
tionson a bien un e eA2 pour toute unité ude A. En particulier, on a
un 2d+l eA2 pour toute unité udeA.
2/c +lun entier impair tels qu'on
Réciproquement, soit u une unité de
ait un 2k+l e A 2 ; il existe une famille finie { 1? ..., a N } d'éléments de A
telle que:
?
a1?a
de chacun des termes écrits ci-dessus;
Comparons les valuations
N
on avK (un 2k+l )
> min { 2v K (£
1
a,),
e+vK (
£
l^i<j^N
ap>) }. On ne peut
N
avoir 2v K (
£
aj)
<e+
On en conclut que 2fc+
égal à
£
vK (
afij)
car
vK
(un 2k+l ) est impair.
l >eetde façon plus précise que k est supérieur ou
<£
2. Si wg£/ est une somme de carrés dans A,
d'éléments de A, soit { a l9 ..., a N }, telle que
il
existe une famille finie
ceci prouve que ô (u) est supérieur ou égal à e. Réciproquement, si ô (u)
est supérieur ou égal à e, il existe une unité v de A et un entier è tels que
m=y2 + n e b; or on vient de voir que n eb est somme de carrés dans A.
3. Si l'unité w satisfait
entier b tels qu'on ait:
hô
e+l, il
(u)
existe une unité
vdeAetun
De l'égalité (CAR) obtenue au paragraphe (1.3.2.) on déduit:
Alors u est somme de deux carrés dans A puisque pour tout
n>l(
est un nombre pair.
3.2.
W
)
Théorème
Soit T la sous-extension non ramifiée maximale de K et soit B l 'anneau des
entiers de T. Alors :
1.
Les anneaux
Betß2
coïncident, c'est-à-dire que tout entier de
T est
somme de carré d 'entiers de T.
L 'anneau 2 est un anneau local, n?thérien, de dimension 1; son idéal
maximal est ty n A 2 . En tant que B-môdule, 2 est libre de rang e. En tant
2.
A2A
A2A
que B-algèbre,
A2A
2
est égal
àB [n
2
,
2n],
3.
Avec les notations 1, on
ala
double égalité
Puisque B est non ramifié sur Z 2 , 2 est une uniformisante de B;
de B s'écrit donc de façon unique sous la forme
2*(l+ 2a) avec neN et aeß, et on a dans 5: l+2a = (a+l) 2 + 2
1.
tout élément non nul
a2a
+
a2a
2
G/^V.
2
+ 4a +
L'anneau est une extension totalement ramifiée de B; il en résulte
que 7i, uniformisante de A, est racine d'un polynôme d'Eisenstein à coeffi
cientsdans B; en d'autres termes, il existe une unité b 0 de Bet (e- 1) élé
mentsb u ..., _ x de i? tels qu'on ait:
2.
Z?
ee
Par ailleurs, on sait que A = B [n] et que la famille {I,n, ..., n e 1} est
A. On va montrer que si e est pair, (resp. impair),
une base du
la famille {1, 2tt, tc 2 , ..., nn e 2 , 2n ~ 1 } (resp. {1, 2tt, tt 2 , ..., 27i ~ 2 , tc 6 " 1 })
constitue une base de 2 considéré comme
En premier lieu, il
est clair que B est un sous-anneau de 2 et que la famille considérée est
libre sur B.
Remarquons qu'on peut choisir comme système R de représentants non
nuls de A modulo un ensemble d'unités de B, ces unités étant elles-mêmes
des carrés dans B. (On aen effet K = K2K 2 et toute unité de B est congrue à
un carré modulo 28.) Tout élément a de A admet donc un développement
de Hensel de la forme:
~2,~
ee
ee
A2A
A2A
En particulier, il résulte de la proposition 3.1.1.) que tout aeA2 admet un
développement de Hensel de la forme:
Remarquons alors les détails suivants:
est un fermé de A pour la topologie
est encore une conséquence de la proposition 3.1.1.).
a) L'ensemble
A2A
2
2
b) L'ensemble B [n , 2n] est un fermé de A pour la topologie
Ceci
Or sur B [n 2 , 2n] cette topologie coïncide avec l'unique prolongement à
2
cet espace de la topologie 2-adique de B. En particulier B [n ,2n] est un
fermé de A 2 .
Il reste en définitive à prouver que B [n 2 , 2n] est dense dans A 2 . Pour
e+n est combinaison linéaire
cela, il suffit de montrer que pour tout neN, n
à coefficients dans B des éléments de la famille considérée plus haut. Faisons
la démonstration dans le cas e pair; (dans le cas e impair, la démonstration
est analogue):
Les remarques faites au début de la démonstration montrent que la
propriété à démontrer est vraie pour n = 0. De plus, on a les égalités:
A partir
n e+l+2m
de là on raisonne par récurrence sur m
pour évaluer
if +2m
et
Enfin, puisque B est un anneau de valuation discrète, la 5-algèbre de
2
type fini B [n , 2n] est un anneau n?thérien; puisque A est un anneau de
valuation discrète entier sur A 2 , l'unique idéal maximal de 2 est
n A2
2,n
A2A
.
'
L'égalité (A : A 2 ) = 2df résulte de ce que {1, n, ..., 6 1 } est une
base de A en tant que
tandis qu'une base de 2 comme B
1
moduleest {1, 2tt, ..., 271 e " 1
2tt, ..., 71 e " } selon que e est pair ou
impair. Reste à démontrer la dernière égalité.
Pour tout n > 1 soit Un le sous-groupe 1 + ty n de U. On sait que {U\U^)
= f 1 et que pour tout n>lona (Un :Un+ ± ) = 2f . (Pour plus de détails,
voir [4] ou [5].) Il résulte de la proposition 3.1, 1), qu'on a:
3.
n6n
A2A
}ou{l,
2f-12
-
Montrons qu'on aU2n 2d+1 = UU 2d+l . L'inclusion UU 2d+l aU2n 2d+1
est évidente. Réciproquement, soit xe U tel que 2 = 1 + an 2d+l avec
aeA. Quitte à changer xen ~x on peut écrire x sous la forme l.+bn 2 avec
beA. On obtient alors 2 n 2s = an 2d+l 2bn ce qui implique
2e >2ûH-1 et e>d+l.
U2d+lU
U2d+lU
x2x
e>let
b2b
-
E
Ceci montre l'existence d'un isomorphisme entre le groupe VjU 2d^ 1
et le groupe U 2 /U d+1 . La proposition sera alors une conséquence du lemme
2d+l.2
de
Herbrand:
Lemme de Herbrand, Soit
soit H un sous-groupe de G.
1.
cp :
G -> G r un homomorphisme de groupes et
Les deux assertions suivantes sont équivalentes
H
est d'indice fini dans
a)
le sous-groupe
b)
les indices
2.
Si les assertions ci-dessus sont vraies, alors :
(cp
(G) :cp
:
G;
(H)) et (Ker cp = H n Ker cp) sont finis.
Pour une démonstration, voir [4] § 63.
Appliquons ce lemme au groupe U, à son sous-groupe d+1 Qtk l'homo
2
morphismecp :U->U2 (x\~>x ); puisque -1 appartient à d+1 , on a
l'égalité
Ud+lQtkU
[/d+l,/
et les égalités:
On en conclut:
4.
RÉSULTATS PROPRES AU CAS
p = 2ET
e IMPAIR
Théorème
4.1.
Supposons e impair et soit u e U. Alors :
1
.
Si
S
(u)
>e,u est somme
de deux carrés dans
A;
2. Si Ô (u) =e, il existe a, beU tels que u=a2 +2b; avec
tions,les trois assertions suivantes sont équivalentes :
a) l'unité u est somme de deux carrés dans A (ueV2 ) ;
2
b) la trace absolue de (b/a ) appartient à 2Z 2 ;
c) // existe
De plus :
ce U tel
que b
=
2
a2a
(c
2
- c).
ces
nota