Unité de cours Probabilités - Exercices corrigés Chapitre 1

Unité de cours Probabilités - Exercices corrigés
Chapitre 1 : Concepts et Bases élémentaires en probabilité
Exercice 8 :
Edwige a proposé à Albert et Berthe de venir jouer aux cartes ce soir avec elle. Elle sait qu'il y a 2
chances sur 3 qu'Albert vienne, et 2 chances sur 3 que Berthe vienne, mais seulement 1 sur 2 qu'ils
viennent ensembles car ils ne s'apprécient pas beaucoup.
A : « Albert vient jouer aux cartes ».
B : « Berthe vient jouer aux cartes ».
P (A) = P (B) = 23 et P (A \ B) = 12
1. Quelle est la probabilité que l'un des deux au moins vienne ?
P (A [ B) = P (A) + P (B) ¡ P (A \ B) =
2
3
+
2
3
¡
1
2
=
5
6
Afin de diminuer le risque de faire une réussite seule, Edwige propose aussi à Carlos de venir jouer.
Elle sait qu'il vient 9 fois sur 10, mais elle estime qu'il n'y a qu'une chance sur 10 qu'il vienne si Albert
ou Berthe vient, ou les deux, car il n'aime par jouer avec eux.
C : « Carlos vient jouer aux cartes ».
1
1
P (C) = 10
et P (C \ (A [ B)) = 10
2. Cette dernière estimation est-elle cohérente ?
P (C [ (A [ B)) = P (C) + P (A [ B) ¡ P (C \ (A [ B)) =
9
10
+
5
6
¡
1
10
=
49
30
> 1 Incohérent !
Quelle est en réalité la probabilité minimale que Carlos vienne en même temps qu'Albert ou Berthe ou
les deux ?
Au minimum : P (C [ (A [ B)) = 1 donc :
P (C \ (A [ B)) = P (C) + P (A [ B) ¡ P (C [ (A [ B)) =
9
10
+
5
6
¡1=
11
15
Exercice 12 (Probabilités composées)
Soit une urne contenant 6 boules blanches et 4 boules rouges. Quelle est la probabilité de la suite
« blanc, blanc, rouge » si l’on tire sans remise ? (définir l’espace de probabilité, utiliser la formule des
probabilités composées et les événements Bi = {la ième boule est blanche}.
P (B1 \ B2 \ B3 ) = P (B1 )P (B2 jB1 )P (B3 jB1 \ B2 ) =
1
6
10
¤
5
9
¤
4
8
=
1
6
Exercice 15
Deux joueurs de tennis Arthur et Bernard se livrent une partie. On utilise les règles habituelles du
tennis ; le score de chaque joueur passe par 0, 15, 30, 40 à chaque point remporté ; lorsque les deux
joueurs atteignent 40/40, on applique la règle d’égalité-avantage qui veut qu’un joueur soit gagnant
s’il acquiert deux point d’avance. On suppose que tous les points sont perdus ou gagnés de manière
indépendante et que la probabilité de gagner un point pour Arthur est p.
1. On suppose que les deux joueurs arrivent à égalité 40/40. Quelle est la probabilité qu’Arthur
gagne le jeu sachant cette égalité ?
Indication : On considère les événements suivants R : « Arthur gagne » et Wi : « Arthur gagne le ième
point » pour i, i ≥ 1 et on utilise la formule des probabilités avec le système complet formé à partir
de : W1 ∩ W2 , W1 ∩ W2 , W1 ∩ W2 , W1 ∩ W2 .
P (R) = P (RjW1 \ W2 )P (W1 \ W2 ) + P (RjW1 \ W2 )P (W1 \ W2 ) + P (RjW1 \ W2 )P (W1 \ W2 ) +
P (RjW1 \ W2 )P (W1 \ W2 )
Si Arthur gagne les deux premiers points alors il gagne le jeu : P (RjW1 \ W2 ) = 1
Si Arthur gagne le 1er point et perd le second (ou le contraire) alors on revient à égalité :
P (RjW1 \ W2 ) = P (RjW1 \ W2 ) = P (R)
Si Arthur perd les deux premiers points alors il perd le jeu : P (RjW1 \ W2 ) = 0
P (R) = 1 ¤ P (W1 \ W2 ) + P (R)P (W1 \ W2 ) + P (R)P (W1 \ W2 ) + 0 ¤ P (W1 \ W2 )
W1 et W2 sont indépendants donc P (W1 \ W2 ) = P (W1 )P (W2 )
Donc : P (R) = P (W1 )P (W2 ) + P (R)P (W1 )P (W2 ) + P (R)P (W1 )P (W2 )
P (R) = p ¤ p + P (R) ¤ p ¤ (1 ¡ p) + P (R) ¤ p ¤ (1 ¡ p)
P (R) =
p2
1 ¡ 2p(1 ¡ p)
2. On reprend le jeu au début. Quelle est la probabilité pour qu’Arthur gagne le jeu ?
On note G : « Arthur gagne le jeu ».
Indication : On considère les événements suivants : Ak : « Arthur gagne le jeu et Bernard a k points »
et Ae = {Arthur gagne le jeu après égalité 40/40}. Utiliser la réunion des ensembles A0, A1, A2 et Ae.
P (G) = P (A0 ) + P (A1 ) + P (A2 ) + P (Ae )
P (A0 ) = p4
Arthur gagne les 4 premiers points.
P (A1 ) = C41 (1 ¡ p)p4 = 4(1 ¡ p)p4 Jeu en 5 points
Arthur perd 1 point parmi les 4 premiers et gagne les 4 autres (dont le dernier)
P (A2 ) = C52 (1 ¡ p)2 p4 = 10(1 ¡ p)2 p4
Jeu en 6 points
Arthur perd 2 points parmi les 5 premiers et gagne les 4 autres (dont le dernier)
Soit l’événement E : « les 2 joueurs arrivent à 40/40 ».
P (Ae ) = P (Ae jE)P (E) = P (R)P (E)
P (E) = C63 (1 ¡ p)3 p3 = 20(1 ¡ p)3 p3
Jeu en 6 points
Arthur perd 3 points parmi les 6 premiers et gagne les 3 autres
20p5 (1 ¡ p)3
P (Ae ) =
1 ¡ 2p(1 ¡ p)
Donc P (G) = p4 + 4(1 ¡ p)p4 + 10(1 ¡ p)2 p4 +
20p5 (1 ¡ p)3
1 ¡ 2p(1 ¡ p)
2
Exercice 16 (Annales Partiel Octobre 2007)
Un sondage en Licence d’informatique a donné les résultats suivants :
a) 2/3 des étudiants disent aimer les maths, parmi eux :
• 70% préfèrent un examen sans documents,
• 20% sont pour l’interdiction de fumer.
b) 1/3 des étudiants disent ne pas aimer les maths :
• 20% préfèrent un examen sans documents,
• 90% sont pour l’interdiction de fumer.
On appelle M, D et F les événements suivants :
M = {aimer les maths}
D = {préférer un examen sans documents}
F = { être pour l’interdiction de fumer }
et M , D et F les événements contraires.
Sachant qu’un étudiant aime les maths, les événements D et F sont indépendants.
De même sachant qu’un étudiant n’aime pas les maths, les événements D et F sont indépendants.
1- Donner l’ensemble O. Après avoir rappelé la définition d’une tribu, indiquer une tribu
(évidente) à laquelle appartiennent les événements M, D et F.
Cf. cours.
2- En traduisant les hypothèses, calculer P(M), P(D|M), P(F|M), P( M ), P( D |M), P( F |M),
P( D | M ), P(D| M ), P( F | M ) et P(F| M ).
P (M ) =
2
3
et
P (M ) =
1
3
P (DjM ) =
7
10
et
P (DjM ) =
3
10
P (F jM ) =
1
5
et
P (F jM ) =
4
5
P (DjM ) =
1
5
et
P (DjM ) =
4
5
P (F jM ) =
9
10
et
P (F jM ) =
1
10
3- Sachant que l’étudiant e préfère un examen sans document et qu’il est pour l’interdiction de
fumer, quelle est la probabilité que cet étudiant aime les maths ?
Hypothèses : P (D \ F jM ) = P (DjM)P (F jM ) et P (D \ F jM ) = P (DjM )P (F jM ).
P (D \ F jM)P (M )
P (DjM )P (F jM)P (M )
P (M jD \ F ) =
=
P (D \ F )
P (D \ F )
P (D \ F ) = P (D \ F \ M ) + P (D \ F \ M ) = P (D \ F jM)P (M ) + P (D \ F jM)P (M )
P (D \ F ) = P (DjM )P (F jM )P (M ) + P (DjM)P (F jM )P (M)
7
2
9
23
P (D \ F ) = 10
¤ 10
¤ 23 + 15 ¤ 10
¤ 13 = 150
7
¤1¤2
14
P (M jD \ F ) = 10 235 3 =
23
150
3
Exercice 17 (Annales Partiel Octobre 2010)
Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6% sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à
une unité de contrôle dont la fiabilité n’est cependant pas parfaite.
Cette unité de contrôle rejette 98% des lecteurs MP3 défectueux et 5% des corrects.
Soit Ω un ensemble de MP3 fabriqués qui subit l’ensemble du circuit de contrôle.
On note les événements suivants : D = {MP3 défectueux}, R = {MP3 rejetés par l’unité de contrôle}
1) Quelles sont les probabilités dont vous disposez à partir des données de l’énoncé ? En
particulier, quelles sont les probabilités conditionnelles dont vous disposez ?
P (D) =
3
50 ,
P (RjD) =
49
50
et
P (RjD) =
1
20
2) a. Calculez la probabilité pour que le MP3 soit défectueux et ne soit pas rejeté.
P (D \ R) = P (RjD)P (D) = (1 ¡ P (RjD)) ¤ P (D) = (1 ¡
49
3
50 ) ¤ 50
=
3
2500
= 0; 0012
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas
défectueux (« faux rejet ») ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux (fausse
acceptation). Calculez la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
P (Err) = P (R \ D) + P (R \ D)
P (R \ D) = P (RjD) ¤ P (D) = P (RjD) ¤ (1 ¡ P (D)) =
P (Err) = 0; 047 + 0; 0012 = 0; 0482
1
20
¤ (1 ¡
3
50 )
=
47
1000
= 0; 047
3) Montrer que la probabilité qu’un MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942
P (R) = P (D \ R) + P (R \ D) = P (D \ R) + P (RjD)P (D)
P (R) = P (D \ R) + (1 ¡ P (RjD)) ¤ (1 ¡ P (D)) = 0:0012 + (1 ¡
P (R) = 0:8942
1
20] )
¤ (1 ¡
3
50] )
= 0:0012 + 0:893
4) Quatre contrôles successifs sont maintenant réalisés de manière indépendante pour savoir si un
lecteur peut être commercialisé. Un lecteur MP3 est :
- commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles
successifs,
- détruit s’il est rejeté au moins deux fois sur les quatre,
- commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d’un lecteur MP3 est de 50€. Son prix de vente est de 120€ pour un
lecteur avec logo, 60€ sans logo. On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque MP3
fabriqué, associe le gain algébrique en € (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.
1) Déterminez la loi de probabilité de la variable G (donnez l’ensemble de ses valeurs E,
la tribu associée B et les éléments de base qui caractérisent la loi de G).
E = f¡50; 10; 70g
B= P(E)
PG (E = 70) = P (R) ¤ P (R) ¤ P (R) ¤ P (R) = 0; 89424 = 0; 639
(4 contrôles indépendants)
PG (E = 10) = P (R) ¤ P (R) ¤ P (R) ¤ P (R) ¤ C43 = 0; 89423 ¤ 0; 1058 ¤ 4 = 0; 303
PG (E = ¡50) = 1 ¡ PG (E = 70) ¡ PG (E = 10) = 1 ¡ 0; 639 ¡ 0; 303 = 0; 058
2) Déterminez P(G ≥ 0).
P (G ¸ 0) = PG (E = 10) + PG (E = 70) = 0; 639 + 0; 303 = 0; 942
4
(1 rejet sur 4)
E(G) =
3) Calculez l’espérance et la variance de cette variable aléatoire.
X
xi PG (x = xi ) = ¡50 ¤ 0; 058 + 10 ¤ 0; 303 + 70 ¤ 0; 639 = 44; 86
i2f¡50;10;70g
var(G) = E(G2 ) ¡ E(G)2
X
E(G2 ) =
x2i PG (x = xi ) = ¡502 ¤ 0; 058 + 102 ¤ 0; 303 + 702 ¤ 0; 639 = 3016; 4
i2f¡50;10;70g
var(G) = 3016; 4 ¡ 44; 862 = 1003
4) Donnez une interprétation de ces résultats.
La vente du lecteur rapporte de l’argent !
5