Energie mécanique - Probl`emes `a un degré de liberté

Mécanique 1 - Energie
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Énergie potentielle - Énergie
mécanique - Problèmes à un
degré de liberté
Table des matières
1 Puissance et énergie cinétique
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Théorème de la puissance cinétique . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Énergie potentielle
2.1 Définition d’une force conservative .
2.2 Force de pesanteur . . . . . . . . .
2.3 Force de rappel élastique . . . . . .
2.4 Force de frottement . . . . . . . . .
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2
2
3
3
4
3 Énergie mécanique
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Application à la chute libre verticale . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
4 Problème à un degré de liberté
4.1 Positions d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Équilibre stable - Exemple du ressort . . . . . . . . . .
4.1.2 Équilibre instable - Exemple du pendule . . . . . . . .
4.1.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Petits mouvements au voisinage d’une position d’équilibre stable
4.2.1 Exemple du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
8
9
9
9
1
1.1
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Puissance et énergie cinétique
Définitions
→
−
La puissance de la résultante des forces F qui s’exercent sur le point ma→
tériel M où −
v est la vitesse de M, est définie par :
→→
−
P = F .−
v
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→
On définit l’énergie cinétique de M où m est la masse de M et −
v sa vitesse
par :
1
Ec = mv 2
2
1.2
Théorème de la puissance cinétique
Dans un référentiel galiléen, la puissance instantanée de la résultante des
forces exercées sur M est égale à la dérivée par rapport au temps de son
énergie cinétique.
dEc
=P
dt
→
Démonstration : Multiplions scalairement la 2e loi de Newton par −
v
2
2.1
Énergie potentielle
Définition d’une force conservative
Une force est conservative (on dit aussi qu’elle dérive d’une énergie potentielle) s’il existe une fonction Ep (x, y, z) appelée énergie potentielle telle que
la puissance de cette force peut s’écrire
P=−
dEp
dt
L’énergie potentielle est définie à une constante près.
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2.2
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Force de pesanteur
z
g
v0
alpha
O
x
→
−
→
L’énergie potentielle de pesanteur Epp associée au poids P = m−
g d’un point
matériel, s’écrit
Epp (z) = mgz + cte
Pour déterminer la constante, on fixe une valeur particulière de Epp , par
exemple Epp (0) = 0 nous donne cte = 0.
Attention à l’orientation des axes : Epp change de signe si l’orientation de
(Oz) change de sens.
2.3
Force de rappel élastique
→
−
L’énergie potentielle élastique Epe associée à la force de rappel du ressort T ,
s’écrit
1
1
Epe (x) = k(l − l0 )2 + cte = kx2 + cte
2
2
Pour déterminer la constante, on fixe une valeur particulière de Epe , par
exemple Epe (0) = 0 nous donne cte = 0.
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2.4
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Force de frottement
Dans le cas de l’oscillateur horizontal ci-dessus, la force de frottement fluide
→
−
→
est de la forme f = −α−
v . La puissance de cette force s’écrit :
→→
−
Pf = f . −
v = −αv 2
Pf ne peut pas se mettre sous la forme de la dérivée d’une énergie potentielle,
cette force est non conservative.
3
3.1
Énergie mécanique
Définition
L’indice c fait référence aux forces conservatives et l’indice nc aux forces
→
−
non conservatives. On désigne par F c la résultante des forces conservatives
→
−
et par F nc la résultante des forces non conservatives. On a alors :
Ec + Ep = Em est appelé énergie mécanique
Dans un référentiel galiléen, la dérivée de l’énergie mécanique par
rapport au temps est égale à la puissance des forces non conservatives :
dEm
= P nc
dt
Démonstration :
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3.2
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Conservation
Si la puissance dissipée par les forces non conservatives est nulle à
tout instant alors Em = cte (équation appelée intégrale première
du mouvement ou encore intégrale première de l’énergie).
Exemple du ressort : Ecrire l’intégrale première du mouvement et retrouver
l’équation différentielle du mouvement.
Exemple du pendule : Ecrire l’intégrale première du mouvement et retrouver
l’équation différentielle du mouvement.
3.3
Application à la chute libre verticale
Une bille de plomb, assimilable à un point matériel M de masse m = 10g,
est lâchée à l’instant t = 0 depuis une altitude h = 1m au dessus du sol (où
se situe l’origine de l’axe (Oz) vertical ascendant). Les frottements peuvent
être négligés, la bille n’est soumise qu’à son poids. On note g = 10m.s−2 le
module de l’accélération de la pesenteur et z l’altitude (ou cote) de la bille.
Trouver l’expression de la vitesse de la bille juste avant qu’elle ne touche le
sol puis la calculer.
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Problème à un degré de liberté
4.1
Positions d’équilibre
4.1.1
Équilibre stable - Exemple du ressort
Prenons l’exemple de l’oscillateur harmonique horizontal
1
1
Ep = kx2
2
Ep
F~
F~
Em
Ec
Ep
x
−a
a
Comme Em = cte = Ec + Ep et Ec ≥ 0, Em est la plus grande valeur que
puisse prendre Ep . Le mouvement est donc limité par x = −a et x = +a.
De plus on admettra que :
Fx = −
dEp
= −kx
dx
On en déduit que pour x compris entre 0 et a, Fx ≤ 0 ramène le système en
x = 0.
Et que pour x compris 0 et −a, Fx ≥ 0 ramène aussi le système en x = 0.
x = 0, le minimum d’énergie potentielle, correspond à une position
d’équilibre stable pour le ressort.
1.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.html
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4.1.2
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Équilibre instable - Exemple du pendule
Prenons l’exemple du pendule simple à fil rigide
2
Ep = mgl(1 − cos θ)
Ep
F~
F~
θ
π
Comme pour le ressort, θ = 0, le minimum d’énergie potentielle,
correspond à une position d’équilibre stable pour le pendule.
1 dEp
= −mg sin θ
l dθ
On en déduit que pour θ compris entre 0 et π, Fθ ≤ 0 éloigne le système de
θ = π.
Et que pour θ compris entre π et 2π, Fθ ≥ 0 éloigne aussi le système de
θ = π.
En coordonnées polaires, on admettra que : Fθ = −
θ = π, le maximum d’énergie potentielle, correspond à une position
d’équilibre instable pour le pendule.
2.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/pend_pesant1.html
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4.1.3
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Généralisation
Ep
F~
F~
F~
x1
x2
x
Un minimum d’énergie potentielle x1 correspond à une position d’équilibre
stable :
2 dEp
d Ep
= 0 et
>0
dx x1
dx2 x1
Un maximum d’énergie potentielle x2 correspond à une position d’équilibre
instable :
2 dEp
d Ep
= 0 et
<0
dx x2
dx2 x2
Si Em < Ep (x1 ), le système peut s’échapper vers les x > 0, on a un état de
diffusion.
Si Ep (x1 ) < Em < Ep (x2 ), le système est confiné entre xa et xb , on a un état
lié.
Si Em > Ep (x2 ), on a encore un état de diffusion.
(Représenter ces trois cas possibles sur le schéma ci-dessus)
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4.2
4.2.1
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Petits mouvements au voisinage d’une position d’équilibre stable
Exemple du pendule
Ep
θ
Ep = mgl(1 − cos θ)
Au voisinage de θ = 0, cos θ ≃ 1 −
θ2
2
Ep ≃ mgl
θ2
2
1
θ2
Em = cte = m(lθ̇)2 + mgl
, on obtient en dérivant cette intégrale pre2
2
mière du mouvement : 0 = ml2 θ̇θ̈ + mg lθθ̇
g
θ̈ + θ = 0
l
Ce que l’on retrouve aussi en dérivant d’abord l’intégrale première du mouvement, puis en linéarisant : sin θ ≃ θ.
4.2.2
Généralisation
Une fonction f (x) peut être développée autour de x0 selon
f (x) = f (x0 ) +
∞
X
(x − x0 )n
n=1
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n!
f (n) (x0 )
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(Développement en série de Taylor)
Exemple : f (x) = cos x autour de x = 0
cos x = 1 −
x2 x4
+
+ ...
2
24
Développons Ep (x) autour d’une position d’équilibre x = xe
(x − xe )2 d2 Ep
dEp
+ ...
Ep (x) = Ep (xe ) + (x − xe )
+
dx xe
2
dx2 xe
1
= Ep (xe ) + 0 + k(x − xe )2 + ...
2
2 d Ep
en posant k =
dx2 xe
L’énergie mécanique se conservant :
1
1
Em = cte = mẋ2 + Ep (xe ) + k(x − xe )2 ⇒ mẍ + k(x − xe ) = 0
2
2
ou encore en posant X = x − xe
mẌ + kX = 0
Si k > 0, X = A cos(ωt + ϕ) (on retrouve l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique), le système oscille autour de la position d’équilibre qui
est donc stable.
Si k < 0, X = A cosh(ωt + ϕ) , le système s’éloigne de la position d’équilibre
qui est donc instable.
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