Table des matières - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Table des matières
1 Yves Benoist.
Pavages Périodiques en Géométrie Projective 3
1.1 Introduction...................................... 3
1.2 Rappelssurlespavages................................ 5
−Pavageseuclidiens ................................. 5
−Pavageshyperboliques............................... 6
−Pavagesaffines ................................... 10
1.3 Pavagesprojectifs................................... 11
1.4 Espacedesmodules.................................. 15
1.5 Propriétés algébriques de Γ.............................. 16
1.6 Enpetitedimension ................................. 17
−Découpagesenpantalons ............................. 17
−Ωnonstrictementconvexe ............................ 18
1.7 Encoredesexemples ................................. 19
Questions .......................................... 24
Bibliographie ........................................ 27
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Chapitre 1
Yves Benoist.
Pavages Périodiques en Géométrie
Projective
Leçon donnée à l’IMB en 2009 dans le cadre des "Leçons de Mathématiques d’Aujourd’hui".
Rédaction, illustration, annotation : N. Gourmelon (2014).
1.1 Introduction
Je vais présenter ce sujet par analogie avec les pavages périodiques du plan que vous connais-
sez bien. Je vais en particulier faire quelques rappels des résultats connus dans les géométries
plus classiques comme la géométrie euclidienne et la géométrie hyperbolique. Après ces rappels,
je me concentrerai sur le thème principal de cet exposé : le cas de la géométrie projective réelle.
On peut commencer par considérer
X=Rn(euclidien)
l’espace vectoriel euclidien de dimension n. On peut paver cet espace avec des transformations
qui vivent dans un groupe d’automorphismes de X, ici c’est le groupe
Aut(X) = O(n)n Rn
des isométries de l’espace euclidien, engendré par le groupe des isométries O(n)et le groupe
des translations identifié à Rn.
Un exemple plus intéressant est l’espace hyperbolique
X=Hn,
dont je rappellerai plus tard la définition et dont le groupe des automorphismes est noté
Aut(X) = O+(1, n).
Un troisième exemple, peut-être plus familier puisqu’il ressemble beaucoup au premier
exemple, est l’espace affine
X=Rn(affine).
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4Yves Benoist
On peut munir cet espace d’un groupe plus grand de transformations que pour l’espace eucli-
dien : c’est le groupe des transformations affines
Aut(X) = GL(n)n Rn
qui contient à la fois le groupe GL(n)des applications linéaires et le groupe des translations de
Rn.
Ces exemples seront seulement des motivations. Je m’intéresse en réalité à la géométrie
projective, où Xest l’espace noté
X=Sn={demi-droites vectorielles de Rn+1}.
Il ne faut pas voir Xcomme l’ensemble des droites vectorielles, mais bien comme l’ensemble des
demi-droites de Rn+1 d’origine 0, c’est donc une sphère de dimension n. On l’appelle l’espace
projectif de dimension n. Le groupe des automorphismes de Xsera l’ensemble des transforma-
tions préservant l’alignement. A partir de n= 2, c’est l’ensemble des applications linéaires
Aut(X) = SL±(n+ 1,R)
de Rn+1 de déterminant ±1. En effet les homotéties de rapport positif, elles, laissent fixes les
demi-droites de Rn: elles agissent par l’identité sur X.
Je fais donc agir une application linéaire sur l’ensemble des demi-droites de Rn+1, qui est
une sphère, mais c’est une sphère qu’on ne sait pas situer dans Rn+1 car je n’ai pas de norme
sur Rn+1. Cette sphère est simplement un quotient de Rn+1 \{0}par les homotéties de rapport
positif. C’est cette géométrie qui va m’intéresser le plus.
Je veux décrire dans ces géométries les pavages, autrement dit, je cherche un sous-groupe
discret
Γ⊂Aut(X)
qui préserve un ouvert Ω, de telle sorte que le quotient de l’action de Γsur Ω, c’est-à-dire
l’ensemble des orbites dans Ωsous l’action de Γ, que l’on note
Γ\Ω,
est compact. Je mettrai des hypothèses sur Ωdans la suite.
Dire que le quotient est compact me permet d’obtenir dans Ωun domaine fondamental
compact. Plus précisément, il existe un compact K⊂Ωtel que Ωsoit exactement la réunion
des translatés de ce compact par tous les éléments de mon groupe discret :
Ω = [
γ⊂Γ
γK,
ces compacts translatés étant 2 à 2 d’intérieurs disjoints :
γ˚ K∩˚ K=∅,∀γ∈Γ\ {1}.
Ceci me donne donc un pavage de mon ouvert Ωpar le pavé K. Les images de ce pavé Kpar
les éléments du groupe Γpavent l’ouvert Ω. Le groupe Γpréserve le pavage dans sa globalité.
C’est donc un groupe d’automorphismes du pavage.

Pavages Périodiques en Géométrie Projective 5
1.2 Rappels sur les pavages
Je vais commencer par rappeler quelques exemples et théorèmes connus sur les pavages dans
les géométries euclidienne, hyperbolique et affine. Je me servirai de ces exemples pour motiver
et introduire par analogie les pavages en géométrie projective.
Pavages euclidiens
L’étude des pavages euclidiens remonte à une centaine d’années. Un exemple simple est de
choisir un parallélépipède Kdans le plan et considérer ses images par translations, comme dans
le dessin suivant :
K
Figure 1.1 – Pavage euclidien de pavé K
Dans cet exemple, le groupe Γest formé de translations de R2et le pavé Kest l’une des
tuiles du pavage. Dans le monde euclidien, on a forcément Ω = Rn.
Montrons-le par l’absurde : dans le cas contraire, le bord de Ωdans Rnserait non-vide
et la fonction distance au bord de Ω,x7→ d(x, ∂Ω) serait alors continue et Γ-invariante. Elle
atteindrait donc son minimum entre autres en un point du compact K. Ceci contredit le fait
qu’elle est par ailleurs une fonction ouverte.
Il y a un théorème très important, dû à Bieberbach :
Théorème 1.2.1 (Bieberbach).Γcontient un réseau de translations d’indice fini (le quotient
de Γpar ce réseau est fini).
Autrement dit, Γcontient un sous-groupe discret et isomorphe à Znde translations de Rn.
Dans les tentatives de constructions de pavages il y a une méthode qui a beaucoup été
développée et qui va intervenir dans cette exposé à plusieurs reprises. On va donc lui donner
un nom :
Définition 1.2.1. Un pavage euclidien est dit de Coxeter lorsque le pavé Kest un polyèdre
convexe, et le groupe Γest engendré par les symétries par rapport aux faces de ce polyèdre.
Remarque 1.2.1. Dans toutes les géométries que nous considérons, la notion de polyèdre
convexe a un sens. Les symétries sont bien définies par les faces du polyèdre pour les géométries
euclidienne et hyperbolique. Dans le cas de l’espace affine et de l’espace projectif, il faudra
choisir les directions des symétries, c’est-à-dire des droites vectorielles transverses à chaque
face. Ce choix n’est pas unique.