Analyses simples des données

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Analyses simples des données
Les trois chapitres précédents ont été consacres aux différentes manières de présenter
les données, en tableaux de fréquences, en graphiques et enfin sous forme résumée.
La plupart des services d’évaluation permanente recevront aussi des demandes d’analyses des données plus détaillées. Ce chapitre décrira comment les résultats de deux
échantillonspeuvent être comparés pour voir s’ils proviennent de la même population
OU de populations différentes;la procédure pour estimer les relations entre les variables
sera également expliquée.
Les analyses peuvent être faites manuellement OU sur une petite calculatrice.
27.1
Compara ison d’éc hant iIlons
La majeure partie des échantillons dont l’évaluation a été suivie auront été choisis
pour representer différentes populations (par exemple cultivateurs dans le projet OU
en dehors du projet) OU les strates d’une population (par exemple cultivateurs pris
dans des zones agro-climatologiquesdifférentes). Les demandeurs d’informationssur
ces populations OU ces strates voudront qu’elles soient comparées pour savoir si elles
diffèrent. Une différenceseulement dans les moyennes ne peut le montrer, étant donné
que cette différencepeut être due à des facteurs aleatoireset au processus d’échantillonnage. La distribution des données, indiquée par leur dispersion, doit également être
prise en compte.
Dans le chapitre sur le choix de l’échantillon(chapitre 17) i1 a été dit qu’un échantillon
doit avoir au moins de dix à quinze éléments dans chaque strate. Ceci rend possible
d’appliquer une methode relativement simple pour comparer deux échantillons et tirer
des conclusions sur les deux populations dans lesquelles les échantillons ont été pris.
Par cette méthode, on teste si les deux échantillons ont été tires de populations ayant
une même moyenne et si les populations peuvent être considérées comme étant les
mêmes. Si le test indique qu’il n’en pas ainsi, on peut en conclure que les deux échantillons ont été pris en partant de populations qui ont des moyennes différentes.
La procedure du test est la suivante: supposonsqu’il y a deux échantillons(par exemple
les revenus de cultivateurs dans deux villages). Le premier échantillon a un nombre
d’éléments n, appeles Xi(i = l....n). Le second échantillon a-m éléments, appelés Yj
(i = I....m). Pour les deux échantillons, la moyenne o( et Y) et l’écart-type (sx et
sy) peuvent être calculés.
257
La moyenne et l’écart-type des deux exemples peuvent être combinés dans un quotient
z, qui est exprimé comme étant:
Ce quotient sera petit si les deux moyennes X et sont proches l’une de l’autre. Comme
i1 a été montré au chapitre 26, l’écart-type est un indicateur de la dispersion d’un
échantillon; plus l’écart-type est élevé, plus la dispersion de I’échantillon est grande.
I1 est logique que plus un échantillon est dispersé (et donc aussi la population dont
i1 provient) plus la moyenne de chaque échantillon est influencée par le mode de sélection de l’échantillon; la différence entre les deux moyennes des échantillons doit par
conséquent être plus grande pour être statistiquement significative.
La conclusion tirée d’une comparaison d’échantillons n’est jamais absolument fiable.
La fiabilité de la conclusion est indiquée par le niveau de signification. I1 existe des
tables qui indiquent les limites de z dans lesquellesi1 peut &re conclu que les moyennes
de deux échantillons sont égales à différentsniveaux de signification. En règle générale,
si z se situe entre -2 et + 2, on peut conclure que les moyennes des deux échantillons
sont égales. Autrement, leur différence est statistiquement significative.
Exemple de comparaison d’échantillons
Dans les Villages A et B, qui ont des sources de revenus différentes, toutes les activités génératrices de revenu ont été évaluées au cours de l’année pour savoir si le
revenu moyen dans un village différait significativementde celui dans l’autre village.
A l’origine, 25 cultivateurs ont été choisis au hasard dans chaque village, mais quelques séries de données étant incomplètes, elles n’ont pas PU être toutes utilides pour
I’analyse. Les résultats finalement obtenus étaient:
- dans le Village A: l’échantillon utilisabie comprenait 16 cultivateurs, qui avaient
un revenu moyen de 110.000CFA, avec un écart-type de 32.000 CFA;
- dans le Village B: l’échantillon utilisable comprenait 20 cultivateurs, qui avaient
un revenu moyen de 200.000 CFA, avec un écart-type de 40.000 CFA.
Le quotient z est calculé pour tester si les villages ont OU non des revenus différents.
Pour simplifier, l’information est posée en unités de 1.O00 CFA.
Z=
x-7
1 IC120
-90 = -90 = -7,5
-- ,/(32)’/16 + (40)’/20
12
Jm
fi
On obtient ici z = -73, ce qui est plus petit que -2. On peut donc colure que les
deux échantillons ont des moyennes différenteset viennent de populations différentes, et que les deux villages ont des revenus significativement différents, apparemment dus à leurs activités différentes.
L‘information qui est obtenue en comparant des échantillons (et par conséquent des
populations) peut être d‘une grande valeur pour un projet.
Les comparaisons peuvent faire ressortir les groupes différents dans une population
de cultivateurs, et indiquer, par exemple, leurs potentialités quant a l’acceptation de
258
nouvelles technologies. L’indication de différences entre des groupes de cultivateurs,
OU son absence, peut mener dans le projet àdes programmes mieux adaptés aux besoins
des cultivateurs.
27.2
Sér ies chrono Iogiques
Une série chronologique est une série de valeurs de la même variable dans le temps,
généralement à des intervalles régulièrement espacés. I1 a été montré au chapitre 25
comment des données de ce genre pouvaient le mieux être présentées dans un graphique. Maintenant, la discussion sera centrée sur la façon dont on peut extrapoler en
partant d’une série chronologique, OU, autrement dit, comment estimer la tendance
que les valeurs futures ont toutes chances de suivre.
Un exemple très simple d’une série chronologique est la façon dont un prix change
avec le temps, mais une série chronologique peut aussi décrire des choses telles que
le développement de la production agricole dans une région, OU l’offre en main-d’oeuvre, et beaucoup d’autres variables qui changent dans le temps.
27.2.1
Extrapolation à partir d‘un graphique
L’analyse d’une série chronologique commence généralement par une présentation
graphique de la variable dans le temps. Ceci montre si la série semble suivre une séquence régulière OU non, et si une tendance peut être discernée. Parfois une tendance peut
être interrompue.
Par exemple: les prix du pétrole sur le marché mondial ont monte en flèche en 1973,
de sorte que dans une série chronologique des prix mondiaux du pétrole, deux tendances séparées se manisfesteraient; une jusqu’en 1973, et une autre ensuite.
Dans une série de prix de marché des céreales sur les marchés locaux en Afrique, le
prix fluctue au cours de l’année, mais de façon autre que son evolution d’année en
année, de sorte que pour découvrir une tendance à long terme dans une série de ce
genre, i1 faut exclure les fluctuations mensuelles (ou journalières).
Une façon simple de déterminer une tendance est de préparer un graphique dans lequel
chaque valeur est représentée par un point, et de tracer enite une ligne qui soit aussi
proche que possible de chaque point. Ce n’est pas une méthode tres précise, mais elle
est rapide et donne souvent une idée générale de ce qui se passe. En partant de cette
ligne i1 est possible d’extrapoler la tendance au proche futur, en lisant graphiquement
quelle valeur la ligne représenterait par exemple I’année qui suit.
27.2.2
Moyenne mobile
Une méthode plus précise pour estimer une tendance est celle de la moyenne mobile.
Elle est particulierement utile pour les données qui suivent un régime cyclique. C’est
une méthode relativement simple, dans laquelle on commence par déterminer combien
de temps dure un cycle. Pour les prix des céréales sur les marchés locaux, par exemple,
259
en admettant qu’il y a une saison agricole par an, le cycle dure un an. La tendance
peut donc être estimée par la moyenne mobile calculée sur 12 mois.
Pour calculer la moyenne mobile sur 12 mois, on calcule la moyenne arithmétique
des valeurs de douze mois, d’abord pour les valeurs des mois 1 à 12, puis de 2 à 13,
de 3 à 14, etc. Ceci signifie que douze mois sont toujours représentés dans la moyenne,
de sorte que les influences mensuelles peuvent être considérées comme ayant été éliminées. La moyenne mobile indique la tendance de la variable, en excluant les influences
cycliques.
Exemple de moyenne mobile
Les prix de marché du sorgho au Marche A sont présentés dans le tableau 27.1.
Le prix moyen pour les premiers 12 mois est de 61 CFA.
I1 est porté au milieu de cette année là. La moyenne mobile pour les mois 2 à 13
est également 61. Comme on peut le voir sur le tableau, les séries des moyennes
mobiles fluctuent beaucoup moins que les séries originales. Ceci signifie que, les
fluctuations saisonnières mises à part, le niveau de prix change très peu.
TABLWU
27.1. Prix mensuels du sorgho sur deux années au Marché A (CFA/kg)
Année
Mois
1978
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
AoÛt
Septembre
Octobre
Novembre
Dkembre
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Juillet
AoÛt
Septembre
Octobre
Novembre
m b r e
1979
Prix
(CFA/kg)
Moyenne mobile
sur 12 mois
(CFA/kg)
59
60
66
62
60
69
65
62
62
64
50
53
56
61
65
68
62
63
68
66
64
58
49
45
260
61
61
61
61
61
61
61
61
62
62
61
61
60
27.3
Corrélat ion I inéaire
La plupart des projets agricoles ont pour objectif de promouvoir des techniques culturales qui sont nouvelles pour les cultivateurs. Souvent des variétés sont introduites
qui ont un haut rendement potentie1 si elles sont combinées à I’emploi de fertilisants
et de méthodes culturales appropriées. Sur les parcelles d’essai d’une station expérimentale agricole, les rendements potentiels ont été déterminés pour divers niveaux
d’emploi de fertilisant. Sous les conditions réelles de culture, néanmoins, le fertilisant
peut ne pas être appliqué au bon moment OU au niveau correct, de sorte que la relation
entre fertilisant et rendement identifiée sur les parcelles d’essai ne reste plus valable
au niveau du cultivateur. La relation réellement existante, OU corrélation, intéresse
generalement les dirigeants de projet, étant donné que l’emploi de fertilisant joue un
rBle important dans de nombreux programmes d’innovations techniques.
En statistisque, un problème de corrélation peut être décrit comme la recherche d’une
relation entre des variables. La corrélation la plus simple est la corrélation linéaire
a deux variables. Une variable est supposée dépendre d’une autre par suite de principes
théoriques et il est estimé que leur relation peut être approchée par une fonction linéaire. La linéarité de la relation semble une contrainte sévhe, mais dans la pratique de
nombreuses fonctions non linéaires peuvent être approchées par une OU plusieurs formes linéaires. De mime, de nombreuses relations non linéaires peuvent être transformées en relations linéaires par un simple transformation mathématique des variables.
Les deux variables entre lesquelles on présume une relation peuvent être représentées
par Y et X, Y étant la variable dépendante (par exemple le rendement) et X la variable
indépendante (par exemple le fertilisant).
Leur relation estimée ne veut pas dire que l’emploi de fertilisant explique completement
les variations en rendements, mais seulement qu’il est un facteur important. 11 y a
en général d’autres facteurs (le moment des activités agricoles, la repartition des pluies,
etc.) qui influent sur le rendement, mais la corrélation linéaire considère seulement
le facteur le plus important et essaye de quantifier la relation.
27.3.1
Analyse par graphique
Avant de commencer le processus d’estimation de la relation mathématique on établit
tout d’abord un graphique dit ‘nuage de corrélation’ pour voir si la relation attendue
peut être montrée graphiquement.
Le ‘nuage de corrélation’ est une representation graphique de toutes les valeurs de
la variable indépendante (X), mesurée le long de l’axe horizontal, et des valeurs correspondantes de la variable dépendante (Y) mesurée le long de l’axe vertical. Chaque
couple de valeurs est représenté par un point. Un exemple d’un nuage de corrélation
indiquant la relation entre emploi de fertilisant et rendement de sorgho est montré
sur la figure 27.1.
26 1
... .
. .. .. .
. . .. .
.. . .
. .. .
. *
*
.
1OOO-
*
.
*
OL
O
50
100
150
Fertilisant appliqué (kg/ha)
Figure 27.1 . Nuage de corrélation montrant la relation entre quantités de fertilisant appliqubes (kg/ha) et rendements en sorgho
(kg /ha 1
Rien qu’en regardant ce nuage de corrélation, on peut voir s’il existe une relation
linéaire entre les valeurs de X et celles des Y correspondants. Si X et Y ont une relation
quelconque, le nuage de points sera tel qu’une ligne (qui ne sera pas nécessairement
droite) peut être tracée à travers ces points.
Pour que la forme de nuage de points puisse être observée correctement, i1 faut que
le diagramme soit à peu près carré (les X mesurés occupant la même distance le long
de l’axe horizontal que les Y mesurés le long de’axe vertical). Quelques nuages possibles
présentés par les points ainsi que leur signification seront expliqués ci-après.
Si la corrélation (linéaire) est parfaite, les points seront exactement alignés de la façon
montrée sur les figures 27.2 et 27.3. Dans les deux figures, i1 est évident qu’il existe
une relation linéaire entre les variables. La différence entre les figures est que la première montre une corrélation positive ( si X croît, Y croît) alors que la seconde montre
une corrélation négative (si X croît, Y décroît).
I1 est peu probable que des données provenant d’enquêtes agricoles montrent une corrélation parfaite, mais le nuage de points peut souvent confirmer qu’il existe une relation. La figure 27.4, par exemple, indique une corrélation positive et la figure 27.5
une corrélation négative.
Ces deux figures montrent qu’une relation lineaire peut être estimée exister entre les
variables, mais le nuage de points indique aussi qu’il y a d’autres facteurs qui influent
et pertubent leur alignement.
262
Y
i
*.'
X
X
Figure 27.3. Nuage de correlation montrant une corrélation negative parfaite
Figure 27.2. Nuage de corrélation montrant une corrélation positive parfaite
L'absence de correlation est montree sur les figures 27.6,27.7, et 27.8. Dans la première, le nuage de points ne peut (même avec beaucoup d'imagination) être representé
par une ligne, alors que dans les deux autres les observations sont alignees mais avec
les mêmes valeurs X OU OU Y. Ceci montre une indépendance parfaite des deux variables.
Rendement
kgha
Rendement
kgha
. .. .. .
. .
.. .
*
f
Date de
semis
Fertilisant
(kQ/h4
Figure 27.4. Nuage de correlation montrant une corrklation positive entre deux
varia bles
Figure 27.5. Nuage de correlation moQtrant une corrélation negative entre
deux variables
263
. ..
......:
. .. ..
Figure 27.6. Nuage de correlation montrant I’absence de correlation entre deux
variables
Y
Figures 27.7,27.8. Nuages de correlation de deux variables compldtement indépendantes
Un nuage de corrélation montre si cela vaut la peine OU non de continuer le processus
d’estimation. Si aucune ligne (de quelque forme que ce soit) ne peut être tracee en
partant des données (OU d’une partie des données) i1 est inutile de continuer car on
ne trouvera pas de relation, même si théoriquement on s’attendait à une relation.
Un nuage de corrélation montre aussi quelles sont les données qui s’écartent totalement de I’ensemble des données. Ces données devront être à nouveau vérifiées pour
s’assurer qu’elles ne sont pas le résultat d’erreurs. Si aucune erreur n’est trouvée et
que les données s’avèrent en vérité exceptionnelles,elles devront être exclues du processus de corrélation.
Si I’entière série de données ne montre aucune corrélation, un meilleur résultat peut
être obtenu en considérant seulement une partie de I’intervalle sur I’axe des X.
27.3.2
Estimation de la relation
Si l’existence d’une relation est justifiée par le nuage de corrélation et également sur
des fondements théoriques, la démarche suivante est d’estimer son équation mathématique. D’une manière generale, le relation peut être estimk s’écrire:
Y=a+bX
où
X
= variable indépendante
Y
= variable dépendante
a, b = paramètres indiquant la relation entre X et Y
264
Le X dans la relation ci-dessus est le facteur principal, mais n’est pas le seul, qui explique la valeur de Y: i1 y a de nombreux autres facteurs qui ne sont pas pris en considération. Par conséquent la relation Y = a + bX est une approximation de la réalité,
et les valeurs ne seront pas exactement conformes à l’équation. La meilleure approximation possible sera obtenue en calculant les paramètres a et b comme suit:
n
b=
. c (xi-x)(Yi-Y)
1=1
n
1. c
= 1 (xi-x)2
a = Y-bX
où
Xi
- représente chaque valeur de X tour à tour
X = moyenne arithmétique de Xi
xi représente chaque valeur de Y tourà tour
Y = moyenne arithmétique de Yi
n = nombre de valeurs appariées (Xi, Yi)
I1 est important de verifier si l’approximation de la ligne Y = a + bX aux points telle
qu’elle est observée est suffisamment bonne. On le fait en calculant le coefficient de
corrélation r(X, Y).
27.3.3
Coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation se calcule de la façon suivante:
n
. c (xi-x)(Yi-Y)
1=1
r(X,Y)=
n
.1 c
. x (Yi-k)2
1=1
=1
I
accroissement de X a pour résultat un décroissement de Y, est indiquée par r = -1.
En règle genbrale, un coefficient de corrélation de 0,6 OU moins est considéré comme
trop bas pour indiquer une relation.
265
Exemple de corrélation
Pendant toute l’année 1979, un service d’évaluation permanente a collecté des donn k s sur le revenu agricole, la superficie cultivée, etc., auprès d’un échantillon de
ménages. Une analyse preliminaire des données a montré qu’il existe une relation
entre la superficie cultivée par travailleur et le revenu brut total par travailleur.
Dans un pays oÙ des méthodes culturales extensives sont appliquées, ceci n’est pas
illogique. Les données de base disponibles sont reprises dans le tableau 27.2.
La première démarche dans le processus de corrélation est d’établir un nuage de
corrélation des données, ainsi que montré sur la figure 27.9, afin de savoir si on
peut considérer que les données ont une relation. et dans l’affrmative, de quelle
sorte de relation i1 s’agit.
Revenu par
travailleur (CFA)
130
tm
110
100
90
80
70
Bo
50
40
30
20
10
O
0.5
1.o
1.5
2.0
2.5
-
3.0
Superficie cultivk
par travailleur (ha)
Figure 27.9. Nuage de corr6lation montrant la relation entre la superficie cultiv6e par travailleur et le revenu brut total par travailleur
Le nuage de conélation (figure 27.9) montre que cela vaut certainement la peine de
continuer la proddure pour estimer une relation lineaire.
Estimer ì’equation de correlation Y = a + bX, exige le calcul de a et de b a partir
des données du tableau 27.3.
266
TABLEAU
27.2. Donnks de base sur la superficie cultivée par travailleur (ha) et le revenu brut total de la culture par travailleur (CFA),
pour I’année 1979
Numéro
de code du
ménage
Revenu brut par
travailleur
( x IWCFA)
Superficie cultivée
par travailleur
(ha)
1
2
3
4
1I6
5
105
6
7
8
9
IO
20
21
22
23
24
72
78
83
1O0
67
66
109
113
76
64
68
69
129
96
44
42
89
83
61
2.1
2.6
0.6
0.7
2.2
1,3
I ,9
1,1
1.6
0,9
n = 24
Y=Sl
% = 1,5
126
56
32
11
12
13
14
15
16
17
18
19
12
1.5
1,o
1,6
1.7
13
1,1
1,3
1.6
1.4
2,6
13
12
L’estimation du b de l’équation de corrélation peut être faite par:
b=
27 1,2
C(X - %)(Y- y ) -_
_--41,34
C(X-X)*
6,56
et celle de a par:
a = Y-bX
=
81-41,34 x 1 3 = 18,99
L’equation est par conséquent Y = 18,99
19 41X.
+
+ 41,34X, OU en chiffre arrondi: Y
=
Le degré dans lequel cette équation s’ajuste aux données est exprimé par le coefficient de corrélation
267
TABLEAU
27.3.Calculs pour les paramètres du problème de corrélation du tableau 27.2:Relation entre
revenu par travailleur (CFA) et superticie cultivée par travailleur (ha) en 1979
Codedu
ménage
1
2
3
Y
X
1 I6
2,l
2,6
126
56
32
0.6
0,7
105
2.2
8
72
78
83
13
19
12
9
100
IO
67
66
4
5
6
7
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
109
113
76
64
68
69
129
96
1 9 0
1,6
1,7
1,9
1,1
13
(Y-Y) (X-X) (Y-Y)2
X-X
0,6
35
45
-25
49
24
-9
21,o
49.5
223
39,2
I63
1 3 1
-0,9
- 0 9 8
0,7
13
-02
-1,2
4
.
4
6
0,4
-3
2
19
4x3
O
7,o
O
-14
-I5
-0.5
-1,5
031
28
32
5,6
12.8
2,o
3,4
-1.3
0,2
0,4
-0,4
-02
-5
-17
0, I
26
-13
-12
48
1,8
15
0,3
4x3
11,l
-034
15.6
-094
-3,2
02
12.0
1,6
14
44
12
42
89
82
61
1,1
Total
Total
général
1.9
Moyenne
arithmétique Notation
Y
r@,Y) =
1,s
Y-V
-31
-39
1,1
8
16
2
-20
03
- 0 9 1
1.1
-0,6
4
361
196
225
784
1.024
25
289
169
12
144
52,8
2.304
225
1.369
1.521
64
4s
0,l
1.225
2.025
635
2.401
576
81
9
258-258
5,1-5,1
279,O-7,8
44
36,O
O
O
81
X
Z(Y-Y)
4
400
16.050
Z(X - X)(Y - Y)
-
Z(Y-V)(X-X)
271’2
Jc(x-x)2c(Y-Y)* J 6,56 x
0,36
1.21
0,81
0,64
0,49
0,04
0,16
0,09
0,OO
0,25
0,Ol
0.04
0,16
0,16
0,04
O,Ol
0,Ol
1,21
0.09
0,09
0.16
0,16
0,Ol
0,36
6,56
271,2
1 3 5
Zgc-X)
(X-X)2
z(Y-V)2
z(x-X)2
= 0,84
16.050
Ce r est supérieur à 0,6. I1 peut donc être conclu que la relation existe. Ce coefficient
de corrélation explique 1 -&?
= 46 pour cent des valeurs, ce qui est plut6t
élevé pour des données agricoles.
On peut conclure qu’il existe une relation significative entre la superfkie cultivée
par travailleur et le revenu brut total par trailleur. Cette constatation peut donc
être utilisée pour prévoir le revenu par travailleur.
Supposons qu’un travailleur cultive 2 ha. Que1 sera son revenu en 1979? La réponse
se trouve en chiffrant la relation:
Y=a+bX
Y = 19 + 41 x 2 = 101
Son revenu peut être prévu à 1 O1 .OCFA.
268
27.4
Conclusions
Les estimations de relation sont fréquemment calculées lors de l’analyse de données
agricoles. Correctement utilisee, une corrélation lineaire peut révéler l’importance de
facteurs déterminants dans les résultats des cultivateurs. I1 faut cependant se servir
de cette relation avec prudence en prenant en compte les considérationssuivantes:
- les données agricoles sont généralement assez imprécises, de sorte que les relations
sont souvent difficiles à prouver, bien que ceci ne veuille pas toujours dire qu’elles
sont absentes. D’autre part, i1 peut arriver que soit révélée une relation que l’on
n’attendait pas. Une relation de ce genre doit être soigneusement examinée pour
trouver la logique sous-jacente, étant donné que l’existenced’une relation ne peut
être purement et simplementprouvée sur la base d’une fonction de corrélation;
- tout calcul de corrélation aboutira à une relation, mais seul le coefficient de corrélation indiquera si la relation est significative OU non.
C‘est seulement la forme la plus simple de corrélation qui a été présentée ici étant
donné que c’est celle qui est le plus souvent utilisée dans les analyses de données agricoles, et que son calcul peut être fait, sans programmes spéciaux,sur la plupart des calculatrices.
Les méthodes plus complexes incluent plus de deux variables, OU même des formes
non linéaires de corrélation. L’inclusion de plus de variables dans la corrélation peut
sembler attrayante, mais cela compliquera considérablement les calculs et peut mener
à mal interpréter les résultats.
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