Raisonnement logique

2nde Raisonnement logique D. Vavasseur
I Les implications dans le raisonnement mathématique
I.1 L’implication - L’équivalence
EXERCICE no1 (De la logique en français)
Une réunion de cosmonautes du monde entier a lieu à Paris. Les cosmonautes américains portent tous
une chemise rouge.
1. À l’aéroport on voit quelqu’un qui porte une chemise blanche. Est-il cosmonaute américain ?
2. À côté de la personne précédente, on voit quelqu’un qui porte une chemise rouge. Est-il cos-
monaute américain ?
3. Le haut-parleur annonce l’arrivée d’un cosmonaute russe. Porte-t-il une chemise rouge ?
4. Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise
rouge ?
Définition 1
La proposition « si A, alors B » est une implication. On dit aussi « A implique B » et on le
note « A ⇒B ».
A représente l’hypothèse et B la conclusion.
Exemple : si la personne est un cosmonaute américain, alors elle porte une chemise rouge.
Pour démontrer que l’implication « A ⇒B » est vraie, on suppose que A est vraie et on montre
que B est alors vraie.
La proposition réciproque de « si A, alors B » est « si B, alors A ».
La réciproque d’une implication vraie peut être vraie ou fausse.
Exemple : si la personne porte une chemise rouge, alors c’est un cosmonaute américain
EXERCICE no2 (Géométrie : fabrique d’implications)
1. Étudier si les affirmations suivantes sont vraies. Justifier vos réponses.
(a) Si Kest le milieu de [AB], alors KA =KB.
(b) Si KA =KB, alors Kest le milieu de [AB].
(c) Si Kest le milieu de [AB], alors KA +KB =AB.
(d) Si KA +KB =AB alors Kest le milieu de [AB].
(e) Si Kappartient à [AB], alors KA +KB =AB.
(f) Si KA +KB =AB, alors Kappartient à [AB].
2. On donne ci-dessous des phrases ou des égalités.
M′est l’image de M
IM =IM′par la symétrie de centre I M′appartient à (IM)
Iest le milieu de [MM ′]Iappartient à [MM′]IM +IM ′=M M ′
Écrire toutes les implications vraies.
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Définition 2
Si une proposition et sa réciproque sont vraies, on dit qu’elles forment une équivalence.
Par exemple, la proposition « si les côtés d’un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce
quadrilatère est un parallélogramme » et sa réciproque « si un quadrilatère est parallélogramme,
alors ses côtés sont parallèles deux à deux » sont vraies. Elles forment donc une équivalence et on
peut écrire « un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si, ses côtés sont parallèles
deux à deux. »
EXERCICE no3 (Expression algébrique et notions sur les fonctions)
1. Résoudre l’équation (x−3)2=(x+9)2.
2. Voici quelques propositions, où Aet Bsont des nombres réels :
(P1):A2=B2(P2):A=B(P3):A=−B
(P4):(A+B)(A−B)=0(P5):A=Bou A=−B(P6):A=0ou B=0
(a) Quelles sont les implications du type (P1)⇒... vraies pour tous Aet Bréels ?
(b) Parmi les propositions (P2)à(P6), identifier celles qui impliquent la proposition (P1)
(pour tous Aet Bréels).
(c) Quelles sont les propositions équivalentes (pour tous Aet Bréels) ?
EXERCICE no4 (Géométrie vectorielle)
Dans chaque cas, dire si l’implication « H implique H’ » est vraie puis si l’implication « H’ implique
H » est vraie puis donner les propositions équivalentes.
1. H : « Cest l’image du point Apar la translation de vecteur ÐÐ→ BD »
H’ : « ABCD est un parallélogramme de centre O»
2. H : « ABCD est un parallélogramme de centre O»
H’ : « Oest le milieu de [AC]»
3. H : « Ð→ EF 3
4»
H’ : « E(0; 2)et F(3; 6)»
4. H : « Les points I,Jet Ksont alignés »
H’ : « Ð→ IJ =Ð→ IK »
I.2 Conditions nécessaires et suffisantes
EXERCICE no5 (Inéquations et carrés)
1. On s’intéresse à la condition x2>4. On dresse une liste de 5 propositions :
(1) x>3(2) x>1,9(3) x<−10 (4) x<−3ou x>3(5) x<−2ou x>2.
(a) L’implication (1)⇒x2>4est-elle vraie ?
(b) Dresser la liste des implications du type ⋅⋅⋅⇒x2>4qui sont vraies.
(c) Dresser le liste des implications du type x2>4⇒... qui sont vraies.
2. Conditions nécessaires - suffisantes :
Ex : x>3implique x2>4:
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(a) On dit que x>3est une condition suffisante pour que x2>4. Cette condition n’est pas
nécessaire : par exemple x>2,5convient aussi.
Indiquer si chacune des conditions est suffisante pour que x2>4:
x>100 x>106x>1,9x<−2x<−2ou x>2
x<−10 x<−2,1x<−3ou x>3x<0x<−1
(b) Parmi celles qui sont suffisantes, indiquer celle qui est également nécessaire.
EXERCICE no6 (Géométrie)
Sur un forum mathématique, P31415 a posé la question suivante : « Pour demain, je dois faire un
exercice où on me demande de démontrer que ABCD est un parallélogramme, je ne sais pas comment
m’y prendre. »
Prof répond : « Connais-tu une condition suffisante pour que ABCD soit un parallélogramme ? »
P31415 : « Non ! »
M271 : « Ð→ AB =ÐÐ→ DC »
X007 : « AB =CD »
Z97910 : « Ð→ AB et ÐÐ→ DC colinéaires »
GNI : « (AB)et (BC)parallèles »
E=MC2: « Ð→ AD =Ð→ BC »
A000 : « AC =AB +AD »
1. (a) Parmi ces conditions, certaines sont effectivement suffisantes. Lesquelles ?
(b) En proposer d’autres.
2. (a) Parmi les conditions ci-dessus certaines ne sont que nécessaires. Lesquelles ?
(b) En proposer d’autres.
II Les quantificateurs
II.1 Quantificateurs et égalités - Quantificateurs et implications
EXERCICE no7
Soit fla fonction définie sur Rpar : f(x)=x2+4x−9
1. Montrer que f(x)=(x+2)2−13.
2. Résoudre f(x)=4x+1.
EXERCICE no8
1. Dans le domaine géométrique :
Aet Bsont deux points distincts du plan. Dans quel cas (conditions sur le point M) ces égalités
sont-elles vraies ?
ÐÐ→
AM +ÐÐ→ MB =Ð→ AB ÐÐ→ MA +ÐÐ→ MB =Ð→ 0ÐÐ→ AM +ÐÐ→ MB =Ð→ 0
2. Dans le domaine algébrique :
Ces égalités et inégalités sont-elles vraies ou fausses ?
(x+1)2=x2+2x+1(x+1)2=x2+1 2x+3>4x−5x2<x+3
x2+1>0x2⩾0x2>−3x2⩾x−2
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Définition 3
On considère les deux égalités suivantes dans lesquelles xest un nombre réel
(x+1)2=x2+2x+1(1)
(x+1)2=x2+1(2)
L’égalité (1) est connue depuis la 3ème comme une identité remarquable, on peut remarquer que
pour tout réel xl’égalité (1) est vérifiée, dans ce cas on écrit : « pour tout xappartenant à R,
(x+1)2=x2+2x+1»
« Pour tout » est appelé quantificateur universel.
On peut penser que l’égalité (2) est fausse. Et pourtant pour x=0, elle est vérifiée. Peut-on dire
que l’égalité (2) est vraie ? Non, car pour x=1, cette égalité n’est pas vérifiée. La phrase est vraie
si on écrit : « il existe un réel xtel que (x+1)2=x2+1» .
« Il existe » est appelé quantificateur existentiel.
Remarque
— « il existe » signifie « il existe au moins un » ; « on peut choisir » peut remplacer « il existe »
— « pour tout » se dit aussi « quel que soit » ou « étant donné »
EXERCICE no9
1. Vrai ou faux ?
(a) Pour tout x∈R, il existe y∈Rtel que y>x.
(b) Pour tout x∈Ret pour tout y∈R, on a y>x.
(c) Pour tout x∈Ret pour tout y∈R, on a y2>x.
(d) Pour tout x∈R−et pour tout y∈R, on a y2⩾x.
(e) Il existe x∈Rtel que pour tout y∈Ron ait y2⩾x2.
(f) Pour tout x∈R−, on a y2⩾pour tout y∈R.
2. En utilisant la représentation graphique de la fonction ci-dessous, recopier et compléter les
phrases suivantes en utilisant soit « pour tout . . . on a . . . », soit « il existe (au moins) un . . .
tel que . . . ».
(a) . . . réel x. . . f(x)>0(b) . . . réel x. . . f(x)<2(c) . . . réel x. . . f(x)=0
(d) . . . x∈[1; 2]. . . f(x)⩾0(e) . . . réel x. . . f(x)=−1(f) . . . réel x. . . f(x)>−3
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II.2 La négation d’une propriété avec quantificateurs
EXERCICE no10
1. Donner la négation des phrases suivantes :
(a) Tous les élèves sont présents.
(b) Sonia a raté au moins un cours cette semaine.
(c) Dorian prend son iPhone ou son iPod.
(d) Pour tout xréel, f(x)>0.
2. Donner l’évènement contraire des évènements suivants :
(a) Tristan gagne au plus 1500 euros.
(b) Sandrine veut une maison qui est de plain pied et qui fait plus de 160 m2.
(c) Tous les enfants de Bruno mesurent plus de 1,80 m.
III Les ensembles et leurs relations
III.1 Ensembles de nombres
Les nombres sont connus depuis l’antiquité, mais il a fallu attendre le XIXesiècle avec des mathéma-
ticiens comme Cantor pour établir une classification des nombres :
—Nest l’ensemble des entiers naturels (1; 2; 10; 1024; ...).
—Zest l’ensemble des entiers relatifs (1; 3; −5; 124; −2048; ...).
—Dest l’ensemble des nombres décimaux, qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule
0,5; 12; −0,458; 1
5;....
—Qest l’ensemble des nombres rationnels, qui sont de la forme a
bavec a∈Zet b∈Z∗
1
3; 5,4; −26; −3 7;10 4;....
—Rest l’ensemble des nombres réels 4
3;−6; π;√2; 0,512; ....
III.2 Ensembles, sous-ensembles, appartenance, inclusion
Définition 4
Appartenance : e∈Esignifie que l’élément eest un élément de E.
e∉Esignifie que l’élément en’est pas un élément de E.
Inclusion : A⊂Bsignifie que tous les éléments de l’ensemble Aappartiennent à
l’ensemble B.
A⊄Bsignifie qu’il existe un élément de l’ensemble Aqui n’appartient
pas à l’ensemble B.
∈et ∉se lisent « appartient à » et « n’appartient pas à ».
⊂et ⊄se lisent « est inclus dans » et « n’est pas inclus dans ».
Propriété des ensembles de nombres : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
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