Cycle de transition – Année 2016

esiea – école d’ingénieurs du monde numérique
1A – Cycle de transition – Année 2016-2017
Renforcement numérique : devoir du jeudi 15 septembre
Questions de cours [3,5 points]
1. Comment appelle-t-on usuellement l’ensemble Q? Comment est-il défini ?
2. Donner un exemple d’ensemble dénombrable, puis un exemple d’ensemble discret.
3. Lister les neuf types d’intervalles de R; illustrer chaque type par un exemple.
4. Qu’appelle-t-on racine cubique d’un nombre complexe ? Une racine cubique est-elle tou-
jours unique ? Expliquer soigneusement et étayer à l’aide d’exemples.
5. Qu’est-ce que la factorielle d’un entier naturel ? Donner un exemple.
Exercice 1 [3,5 points]
Sur l’annexe, relier un élément de la colonne de gauche à un élément de la colonne de
droite afin de former des égalités correctes. À gauche comme à droite, chaque élément peut
servir zéro, une ou plusieurs fois.
Une réponse correcte apporte 0,5 point ; une réponse incorrecte enlève 0,5 point. Un éventuel
total négatif sera ramené à 0.Aucune justification n’est attendue.
Exercice 2 [3 points]
On désigne par xet ydeux réels strictement supérieurs à 1vérifiant x6=y. Simplifier au
maximum les expressions suivantes, en faisant figurer le détail des calculs.
A=
x+xy
x−y
y+xy
y−x
B=1
1 + √x−√x−1
x−1C=1
1 + x
y
+1
1 + y
x
Exercice 3 [2,5 points]
On considère la somme Ssuivante :
S=
99
X
k=1
1
√k+√k+ 1 .
1. Simplifier l’expression √x+√x+ 1√x−√x+ 1pour tout xde ]0,+∞[.
2. Calculer Sen utilisant une autre écriture de 1
√x+√x+ 1 pour tout xde ]0,+∞[.

Exercice 4 [1 point]
Factoriser chacun des trinômes suivants en un produit de deux polynômes de degré 1.Aucune
justification n’est attendue.
P= 6X2+X−1Q= 4X2+ 12X+ 9
Exercice 5 [2 points]
Soit xun nombre réel quelconque. Développer les expressions suivantes à l’aide de la formule
du binôme ; réduire et ordonner les résultats obtenus.
A= (x+ 2)4B= (x−1)5
Exercice 6 [3 points]
Résoudre l’inéquation et l’équation suivantes, d’inconnue réelle x.
−x2−6x>8x2+ 1 
x2+ 2x = 1
Exercice 7 [1,5 point]
Calculer en donnant les résultats sous la forme la plus simple possible. Le détail des calculs
n’est pas exigé.
A1=
3
X
k=1
2
kA2=
3
Y
k=1
k2
k+ 1 A3=
100
X
k=0
k
Exercice 8 [3 points]
1. On considère deux réels aet bnon nuls vérifiant a
b= 2. Donner la valeur des expressions
suivantes, en faisant figurer le détail des calculs.
A=a+ 2b
a−3bB=a2−b2 a2+b2
2. On considère quatre réels non nuls p,q,ret svérifiant p
q=r s, avec r6=set r6=−s.
Montrer que les égalités suivantes sont vraies.
p+q
2q=r+s 2s
p2+q2
r2+s2=p2−q2 r2−s2
Exercice 9 [2 points]
Des deux nombres suivants, lequel est le plus grand ? Répondre en expliquant la démarche.
143 987 659 321
143 987 659 322
143 987 659 322
143 987 659 323

annexe
(à rendre avec la copie)
Prénom NOM :
On a l’égalité 4
√49 = ... •
On a l’égalité 35
93×32=... • • ... √7.
On a l’égalité 6
2=... • • ... 3.
On a l’égalité √8
4×√6 = ... • • ... 15.
On a l’égalité p2√34
=... • • ... 12.
On a l’égalité 5
√243 = ... • • ... √3.
On a l’égalité 4!
2=... •