Cycle de transition – Année 2016

esiea – école d’ingénieurs du monde numérique
1A – Cycle de transition – Année 2016-2017
Renforcement numérique : devoir du jeudi 15 septembre
Questions de cours [3,5 points]
1. Comment appelle-t-on usuellement l’ensemble Q ? Comment est-il défini ?
2. Donner un exemple d’ensemble dénombrable, puis un exemple d’ensemble discret.
3. Lister les neuf types d’intervalles de R ; illustrer chaque type par un exemple.
4. Qu’appelle-t-on racine cubique d’un nombre complexe ? Une racine cubique est-elle toujours unique ? Expliquer soigneusement et étayer à l’aide d’exemples.
5. Qu’est-ce que la factorielle d’un entier naturel ? Donner un exemple.
Exercice 1 [3,5 points]
Sur l’annexe, relier un élément de la colonne de gauche à un élément de la colonne de
droite afin de former des égalités correctes. À gauche comme à droite, chaque élément peut
servir zéro, une ou plusieurs fois.
Une réponse correcte apporte 0,5 point ; une réponse incorrecte enlève 0,5 point. Un éventuel
total négatif sera ramené à 0. Aucune justification n’est attendue.
Exercice 2 [3 points]
On désigne par x et y deux réels strictement supérieurs à 1 vérifiant x 6= y. Simplifier au
maximum les expressions suivantes, en faisant figurer le détail des calculs.
xy
x−y
A=
xy
y+
y−x
x+
√
1
x−1
√ −
B=
x−1
1+ x
C=
1
1
x +
y
1+
1+
y
x
Exercice 3 [2,5 points]
On considère la somme S suivante :
S=
99
X
k=1
√
k+
1
√
k+1
.
√
√
√
√
x+ x+1
x − x + 1 pour tout x de ]0, +∞[.
1
√
2. Calculer S en utilisant une autre écriture de √
pour tout x de ]0, +∞[.
x+ x+1
1. Simplifier l’expression
Exercice 4 [1 point]
Factoriser chacun des trinômes suivants en un produit de deux polynômes de degré 1. Aucune
justification n’est attendue.
P = 6X 2 + X − 1
Q = 4X 2 + 12X + 9
Exercice 5 [2 points]
Soit x un nombre réel quelconque. Développer les expressions suivantes à l’aide de la formule
du binôme ; réduire et ordonner les résultats obtenus.
A = (x + 2)4
B = (x − 1)5
Exercice 6 [3 points]
Résoudre l’inéquation et l’équation suivantes, d’inconnue réelle x.
2
x + 2x = 1
−x2 − 6x > 8x2 + 1
Exercice 7 [1,5 point]
Calculer en donnant les résultats sous la forme la plus simple possible. Le détail des calculs
n’est pas exigé.
3
100
3
Y
X
X
k2
2
k
A2 =
A3 =
A1 =
k
k
+
1
k=1
k=0
k=1
Exercice 8 [3 points]
a
1. On considère deux réels a et b non nuls vérifiant = 2. Donner la valeur des expressions
b
suivantes, en faisant figurer le détail des calculs.
a + 2b
A=
a − 3b
a2 − b 2
B= 2
a + b2
2. On considère quatre réels non nuls p, q, r et s vérifiant
p
r
= , avec r 6= s et r 6= −s.
q
s
Montrer que les égalités suivantes sont vraies.
p+q
r+s
=
2q
2s
p2 + q 2
p2 − q 2
=
r 2 + s2
r 2 − s2
Exercice 9 [2 points]
Des deux nombres suivants, lequel est le plus grand ? Répondre en expliquant la démarche.
143 987 659 321
143 987 659 322
143 987 659 322
143 987 659 323
Prénom NOM :
49 = ... •
35
× 32 = ... •
93
√
4
4!
= ... •
2
243 = ... •
On a l’égalité
√
5
p √ 4
2 3 = ... •
8 √
× 6 = ... •
4
On a l’égalité
On a l’égalité
On a l’égalité
√
6
On a l’égalité
= ... •
2
On a l’égalité
On a l’égalité
annexe
(à rendre avec la copie)
√
7.
• ...
√
3.
• ... 12.
• ... 15.
• ... 3.
• ...