Entiers naturels. Chap 9 Exercices "Tout penseur économe de ses pensées est un penseur de radin." P. Dac. Vrai - Faux Exercice 1. Soient E et F des ensembles finis, et f une application de E dans F . Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. Si card(E) = Card(F ) alors f est bijective. 2. Si f est bijective alors Card(E) = Card(F ). 3. Card(E ∩ F ) = Card(E) + Card(F ) − Card(E ∪ F ). 4. R est dénombrable. 5. Si Card(E) = Card(F ). Pour montrer que f est bijective, il suffit de montrer que f est injective. Niveau 1 Exercice 2. Calculer les sommes suivantes : 10 10 10 X X X 1. 1 ; 2k ; k2 ; k=0 2. 2n X k=0 n.j ; j=n 3. 4. 2n X i=n 2n X i=0 k=2 n X x ; i=0 2i+1 ; 1+ 32i ; n X x2 ; i=p 2n X i(i + 1) ; n X i=0 x i/2 i X k ; k=10 n X i=0 2i 100 X ; k ; k=0 (−2)2i ; k=0 2n−1 X i=2 n X i=1 n X i=0 n X 3i + 2n ; 1 3 4 k ; n−1 X k 3 k=0 Ent(i/2) q 3k ; k=0 2 (k + n) k=1 10 X ; 2n i X 3 + 22i i=0 1 2i 2n X 32i ; 2i+1 i=1 ; 10 X k=0 2 k+1 ; 10 X j=0 2.j 2 j Exercice 3. ck Soit Snp = n X k p . Montrer par récurrence que : k=1 Sn1 n(n + 1) = 2 Sn2 n(n + 1)(2n + 1) = 6 Sn3 = n(n + 1) 2 2 j Exercice 4. ck Montrer que : 1. tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un nombre premier pour diviseur. 2. tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est un nombre premier ou est un produit de nombres premiers. j Exercice 5. ck On définie la suite (un )n∈N par u0 = 0 et un+1 = √ 2 + un . 1. Montrer que 0 ≤ un ≤ 2 pour tout n de N. 2. Montrer que (un )n∈N est croissante. En déduire qu’elle converge. 3. Déterminer sa limite. j k R Exercice 6. Soit a dans R+ et la suite (un )n∈N définie par : u0 = a un+1 = a + 1 − 2−n un 2 1. Montrer que (un )n∈N est majorée par 2a. 2. Montrer que (un )n∈N est croissante. 3. En déduire que (un )n∈N converge. Déterminer sa limite. j Exercice 7. ck En utilisant la méthode de simplification diagonale, calculer S1 = n X k=1 n n n X Y Y 1 1 1 , S2 = k.(k!), P1 = 1+ , P2 = 1− 2 k(k + 1) k k k=1 k=1 Exercice 8. Montrer que : n 1. Si a est un entier naturel impair, ∀n ∈ N, 2n+1 / (a2 − 1) 2. Pour tout entier naturel n, (4n + 15n − 1) est un multiple de 9. 3. Pour tout entier naturel n, (32n+1 + 2n+2 ) est un multiple de 7. 2 k=2 Niveau 2 Exercice 9. Montrer par récurrence que : 2 ∀n ∈ N, ∃(pn , qn ) ∈ N , √ √ (2 + 3)n = pn + qn 3 3qn2 = p2n − 1 Exercice 10. Démontrer les critères de divisibilité suivants : – 2 : un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8. – 5 : un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est : 0 ou 5. – 10 : un nombre est divisible par 10 lorsque le chiffre des unités est : 0. – 4 : un nombre est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres forment un multiple de 4. – 25 : un nombre est divisible par 25 lorsque les deux chiffres de droite sont : 00, 25, 50 ou 75. – 100 : un nombre est divisible par 100 lorsque les deux chiffres de droite sont : 00. – 8 : un nombre est divisible par 8 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple de 8 – 125 : un nombre est divisible par 125 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple de 125. – 3 : un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 3 – 9 : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9 – 11 : un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11 Niveau 3 Exercice 11. Soit n ∈ N∗ et a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn des réels. Montrer que : ! !2 ! n n n X X X X 2 2 ai bi + (ai bj − aj bi )2 bi = 1. ai i=1 i=1 i=1 v ! n ! n n u X X X u 2. ai bi ≤ t a2i b2i i=1 i=1 (Identité de Lagrange) 1≤i<j≤n (Inégalité de Cauchy-Schwarz) i=1 3. L’égalité dans l’expression précédente est réalisée uniquement si (a1 , . . . , an ) et (b1 , . . . , bn ) sont proportionnels. Exercice 12. Calculer 2 −1 nX √ 2−E( k) où x 7→ E(x) désigne la fonction partie entière de x. k=0 3 Applications à d’autres disciplines Exercice 13 - Théorie des jeux - Le solitaire. L’anniversaire de votre grand-mère approche et vous avez décidé de lui acheter un solitaire. Vous allez dans votre boutique de jeu favorite et la vendeuse vous en propose de 2 types : • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Solitaire A • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Solitaire B "Vous avez le solitaire classique à gauche, et à droite une nouveauté, beaucoup plus difficile." vous dit-elle. Là vous vous tâtez. Votre grand-mère est une stratège hors pair et peut-être que le second serait plus à la hauteur de ses capacités. Vous devriez à ce moment là demander 1 heure de réflexion à la vendeuse, sortir de votre poche ce super exercice, vous asseoir par terre dans un coin du magasin et cogiter. Vous allez vous rendre compte que la vendeuse a raison dans une certaine mesure : le solitaire B est plus compliqué. . . Tellement plus compliqué qu’il est impossible. Partie I : le corps à quatre éléments F4 Considérons F4 l’ensemble contenant 4 éléments : 0, 1, a et b. Sur cet ensemble, définissons une loi + et une loi × définie par le tableau suivant : + 0 1 a b 0 0 1 a b 1 1 0 b a a a b 0 1 × 0 1 a b b b a 1 0 4 0 0 0 0 0 1 0 1 a b a 0 a b 1 b 0 b 1 a 1. Vérifier que 0 est l’élément neutre pour + et 1 l’élément neutre pour ×. 2. Comment voit-on que + et × sont commutatives ? 3. Quelles sont les éléments inversibles pour + et × ? Quels sont leurs inverses ? On admettra pour la suite que les deux lois sont associatives et que × est distributif par rapport à +. 4. Montrer que 1 + a + a2 = 0. Partie II : Construction d’un invariant. Dans chacun des deux solitaires, donnons à chaque emplacement de billes des coordonnées de façon a ce que la position centrale ait (0, 0) pour coordonnées. On appelle position du solitaire, une configuration des billes sur le plateau. A chaque position P des solitaires, on associe l’ensemble A(P ) de toutes les coordonnées des billes. Par exemple, à la position : P1 = • • • • • • • on associe l’ensemble : A(P ) = (0, 1), (1, 1), (−1, 0), (1, 0), (2, 0), (0, −1), (1, −1) Notons a l’élément de F4 défini dans la partie 1 et posons, si P est une position d’un solitaire : X ∆(P ) = ax+y (x,y)∈A(P ) 1. Déterminer ∆(P1 ) où P1 est la position ci-dessous. 2. Montrer que la valeur de ∆ est identique avant ou après la prise horizontale ou verticale d’un pion. 3. Calculer les valeurs de ∆ dans la position de départ du solitaire A et B. 4. Quelles sont les valeurs possibles de ∆ lorsqu’il ne reste qu’une seule bille sur le solitaire. 5. En déduire que le solitaire B ne peut-être fini. 5