Entiers naturels.

Chap 9 Entiers naturels.
Exercices
"Tout penseur économe de ses pensées
est un penseur de radin."
P. Dac.
Vrai - Faux
Exercice 1.
Soient Eet Fdes ensembles finis, et fune application de Edans F. Déterminer si les propositions
suivantes sont vraies ou fausses :
1. Si card(E) = Card(F)alors fest bijective.
2. Si fest bijective alors Card(E) = Card(F).
3. Card(E∩F) = Card(E) + Card(F)−Card(E∪F).
4. Rest dénombrable.
5. Si Card(E) = Card(F). Pour montrer que fest bijective, il suffit de montrer que fest injective.
Niveau 1
Exercice 2.
Calculer les sommes suivantes :
1.
10
X
k=0
1 ;
10
X
k=0
2k;
10
X
k=2
k2;
100
X
k=10
k;
i
X
k=0
k;
10
X
k=0
4k;
n−1
X
k=0
k3;
10
X
k=0
2k+1 ;
10
X
j=0
2.j2
2.
2n
X
j=n
n.j ;
n
X
i=0
x;
n
X
i=p
x2;
n
X
i=2
(−2)2i;
2n−1
X
i=0 1
3Ent(i/2)
3.
2n
X
i=n
2i+1 ;
2n
X
i=0
i(i+ 1) ;
n
X
i=1
3i+ 2n;
n
X
k=0
q3k;
4.
2n
X
i=0
1+2i
32i;
n
X
i=0
xi/2;
n
X
k=1
(k+n)2;
2n
X
i=0
3i+ 22i
2i;
2n
X
i=1
32i
2i+1
1

kj
cExercice 3.
Soit Sp
n=
n
X
k=1
kp. Montrer par récurrence que :
S1
n=n(n+ 1)
2S2
n=n(n+ 1)(2n+ 1)
6S3
n=n(n+ 1)
22
kj
cExercice 4.
Montrer que :
1. tout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un nombre premier pour diviseur.
2. tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est un nombre premier ou est un produit de nombres
premiers.
kj
cExercice 5.
On définie la suite (un)n∈Npar u0= 0 et un+1 =√2 + un.
1. Montrer que 0≤un≤2pour tout nde N.
2. Montrer que (un)n∈Nest croissante. En déduire qu’elle converge.
3. Déterminer sa limite.
kj
RExercice 6.
Soit adans R+et la suite (un)n∈Ndéfinie par : 
u0=a
un+1 =a+1−2−n
2un
1. Montrer que (un)n∈Nest majorée par 2a.
2. Montrer que (un)n∈Nest croissante.
3. En déduire que (un)n∈Nconverge. Déterminer sa limite.
kj
cExercice 7.
En utilisant la méthode de simplification diagonale, calculer
S1=
n
X
k=1
1
k(k+ 1), S2=
n
X
k=1
k.(k!), P1=
n
Y
k=1 1 + 1
k, P2=
n
Y
k=2 1−1
k2
Exercice 8.
Montrer que :
1. Si aest un entier naturel impair, ∀n∈N,2n+1 /(a2n−1)
2. Pour tout entier naturel n,(4n+ 15n−1) est un multiple de 9.
3. Pour tout entier naturel n,(32n+1 + 2n+2)est un multiple de 7.
2

Niveau 2
Exercice 9.
Montrer par récurrence que :
∀n∈N,∃(pn, qn)∈N2,(2 + √3)n=pn+qn√3
3q2
n=p2 n−1
Exercice 10.
Démontrer les critères de divisibilité suivants :
– 2 : un nombre est divisible par 2 lorsque le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8.
– 5 : un nombre est divisible par 5 lorsque le chiffre des unités est : 0 ou 5.
– 10 : un nombre est divisible par 10 lorsque le chiffre des unités est : 0.
– 4 : un nombre est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
– 25 : un nombre est divisible par 25 lorsque les deux chiffres de droite sont : 00, 25, 50 ou 75.
– 100 : un nombre est divisible par 100 lorsque les deux chiffres de droite sont : 00.
– 8 : un nombre est divisible par 8 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple de 8
– 125 : un nombre est divisible par 125 lorsque les 3 chiffres de droite forment un nombre multiple
de 125.
– 3 : un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 3
– 9 : un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9
– 11 : un nombre est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang pair
et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11
Niveau 3
Exercice 11.
Soit n∈N∗et a1, . . . , an, b1, . . . , bndes réels. Montrer que :
1. n
X
i=1
a2
i! n
X
i=1
b2
i!= n
X
i=1
aibi!2 +X
1≤i<j≤n
(aibj−ajbi)2(Identité de Lagrange)
2. 
n
X
i=1
aibi≤v
u
u
t n
X
i=1
a2
i! n
X
i=1
b2
i!(Inégalité de Cauchy-Schwarz)
3. L’égalité dans l’expression précédente est réalisée uniquement si (a1, . . . , an)et (b1, . . . , bn)sont
proportionnels.
Exercice 12.
Calculer
n2−1
X
k=0
2−E(√k)où x7→ E(x)désigne la fonction partie entière de x.
3

Applications à d’autres disciplines
Exercice 13 - Théorie des jeux - Le solitaire.
L’anniversaire de votre grand-mère approche et vous avez décidé de lui acheter un solitaire. Vous allez
dans votre boutique de jeu favorite et la vendeuse vous en propose de 2 types :
Solitaire A
• • •
• • •
• • •
•••••••••
• • • • • • • •
•••••••••
• • •
• • •
• • •
Solitaire B
• • •
• • •
•••••
•••••••••
• • • • • • • •
•••••••••
•••••
• • •
• • •
"Vous avez le solitaire classique à gauche, et à droite une nouveauté, beaucoup plus difficile." vous
dit-elle.
Là vous vous tâtez. Votre grand-mère est une stratège hors pair et peut-être que le second serait
plus à la hauteur de ses capacités. Vous devriez à ce moment là demander 1 heure de réflexion à la
vendeuse, sortir de votre poche ce super exercice, vous asseoir par terre dans un coin du magasin et
cogiter. Vous allez vous rendre compte que la vendeuse a raison dans une certaine mesure : le solitaire
Best plus compliqué. . . Tellement plus compliqué qu’il est impossible.
Partie I : le corps à quatre éléments F4Considérons F4l’ensemble contenant 4 éléments : 0, 1, a
et b. Sur cet ensemble, définissons une loi +et une loi ×définie par le tableau suivant :
+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1 0 b a
a a b 0 1
b b a 1 0
×0 1 a b
0 0 0 0 0
1 0 1 a b
a0a b 1
b0b1a
4

1. Vérifier que 0 est l’élément neutre pour +et 1 l’élément neutre pour ×.
2. Comment voit-on que +et ×sont commutatives ?
3. Quelles sont les éléments inversibles pour +et ×? Quels sont leurs inverses ? On admettra pour
la suite que les deux lois sont associatives et que ×est distributif par rapport à +.
4. Montrer que 1 + a+a2= 0.
Partie II : Construction d’un invariant. Dans chacun des deux solitaires, donnons à chaque
emplacement de billes des coordonnées de façon a ce que la position centrale ait (0,0) pour coordonnées.
On appelle position du solitaire, une configuration des billes sur le plateau. A chaque position Pdes
solitaires, on associe l’ensemble A(P)de toutes les coordonnées des billes. Par exemple, à la position :
P1=
• •
• • •
• •
on associe l’ensemble :
A(P) = (0,1),(1,1),(−1,0),(1,0),(2,0),(0,−1),(1,−1) 
Notons al’élément de F4défini dans la partie 1 et posons, si Pest une position d’un solitaire :
∆(P) = X
(x,y)∈A(P)
ax+y
1. Déterminer ∆(P1)où P1est la position ci-dessous.
2. Montrer que la valeur de ∆est identique avant ou après la prise horizontale ou verticale d’un
pion.
3. Calculer les valeurs de ∆dans la position de départ du solitaire Aet B.
4. Quelles sont les valeurs possibles de ∆lorsqu’il ne reste qu’une seule bille sur le solitaire.
5. En déduire que le solitaire Bne peut-être fini.
5