Exercices chap1 ondes
Exercices chap1 ondes
1- Un violon est immergé dans une piscine à l’occasion du mariage de deux plongeurs. Etant
donné que la vitesse de compression des ondes dans l’eau pure est de 1498 m/s, quelle est la
longueur d’onde d’une note de 440 Hz jouée par l’instrument ?
2- Considérons les fonctions d’onde suivantes :
1
2
4sin 2 0.2x 3t
sin 7x 3.5t
2.5
Donner dans chaque cas les valeurs de la fréquence, la longueur d’onde, la période,
l’amplitude, la vitesse de phase, la direction de propagation. T est en secondes et x est en
mètres.
3- Montrer que
est solution de l’équation d’onde
x,t Acos kx t
4- Considérons l’impulsion décrite à t=0 par
2
t0
C
yx,t 2x
, où C est une constante.
Tracer le profil de l’onde. Ecrire une expression en fonction du temps pour l’onde se
propageant à la vitesse v dans la direction des x négatifs. Si v = 1 m/s, tracer le profil à t = 2
s.
5-
4
. Calculer la vitesse de cette onde
61
y, t A cos 3.10 y 9.10 t
6- Montrer que pour une onde harmonique avec une phase
x,t k x vt
on peut
déterminer la vitesse en posant d0
dt
7- Lesquelles de ces expressions correspondent à des ondes progressives ?
2
2
2
y, t az bt
y, t ax bt c
1
y, t ax b
22 22
ay bt 2abty
22
2
2
y, t e
y, t A sin az bt
xt
y, t A sin 2 ab
y, t A cos 2 t x
Quelle est la vitesse et la direction de propagation de l’onde ? les constantes a, b, c sont
positives
8- Quelle est la longueur d’onde, la vitesse, la fréquence et la période de cette onde. Donner
une expression pour la fonction d’onde
9- L’hypothèse de De Broglie stipule que chaque particule a une longueur d’onde associée
donnée par la constante de Planck (h = 6,6.10-34 J.s) divisée par la quantité de mouvement
de la particule. Comparer la longueur d’onde d’une pierre de 6 kg se déplaçant à la vitesse
de 1,0 m/s avec celle de la lumière.
10- Ecrire une expression en coordonnées cartésiennes pour une onde plane harmonique
d’amplitude A, de fréquence se propageant dans la direction du vecteur k, porté par une
ligne partant de l’origine et passant par le point (4, 2, 1)
Exercices chap2 ondes électromagnétiques
1- Démontrer que l’induction magnétique B satisfait l’équation d’onde au même titre que le
champ électrique E.
2- En considérant des ondes harmoniques, montrer que chaque composante du champ
électrique ou de l’induction magnétique satisfait l’équation de Helmholtz.
3- La moyenne temporelle d’une fonction f(t) prise sur un intervalle de temps T est donnée
par :
tT
Tt
1
ft ftdt
T
Si 2
est la période d’une fonction harmonique, montrer que
21
sin k r t 2
,
21
cos k r t 2
et que
sinkrtcoskrt 0
Quand T = et quand T >> .
4- Considérons une onde plane électromagnétique (unités SI) dont le champ électrique est
donné par :
14
0
x
E2cos2.10t
c2
0
4.1- Quelles sont la fréquence, la longueur d’onde, la direction de propagation, l’amplitude, la
phase à l’origine et la direction de polarisation de cette onde ?
4.2- Donner l’expression de l’induction magnétique associée.
4.3- Calculer l’intensité de cette onde en utilisant la formule 2
0
TT
IS c EB
5- Une onde plane harmonique polarisée linéairement ayant une amplitude de 10 V/m se
propage le long d’une ligne dans le plan (xy) à 45° de l’axe x avec sa direction de polarisation
située dans le plan (xy). Donner une expression du champ électrique en supposant que les
composantes kx et ky du vecteur d’onde sont toutes deux positives. Calculer l’intensité de
l’onde dans le vide en utilisant l’expression de l’intensité donnée dans le cours pour des ondes
planes monochromatiques.
6- Quelle est la vitesse de la lumière dans le diamant si l’indice de réfraction vaut 2,42 ?
7- Soit une onde de longueur d’onde dans le vide 540 nm, quelle sera-t-elle dans l’eau dont
l’indice de réfraction vaut n = 1,33 ?
8- Déterminer l’indice de réfraction d’un milieu qui réduit la vitesse de la lumière de 10 % par
rapport au vide.
9- Quelle distance une lumière jaune parcourra-t-elle dans l’eau (n = 1,33) en 1.00 s ?
10- Considérons une interface séparant deux milieux homogènes d’indice respectif ni et nt
comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Soit
ii0 ii
EEcoskr t
le champ d’une onde
plane incidente sur cette interface,
rr
r
coskr t
rr0
EE
le champ réfléchi et
le champ transmis. En utilisant la conservation de la composante
tangentielle du champ à l’interface (relation de passage pour le champ électrique), démontrer
les lois de Snell Descartes.
tt0 tt
EEcoskr t
t
11- En partant de la définition générale de l’intensité : 2
0
TT
IS c EB
, déterminer
l’expression simplifiée que l’on obtient pour une onde plane monochromatique.
Exercices chap3 ondes optiques
1- Considérons une impulsion de lumière UV de durée 2,00 ns émise par un laser dont le
diamètre du faisceau mesure 2,5 mm. Sachant que chaque impulsion transporte une énergie
de 6,0 J, déterminer la longueur spatiale de chaque train d’onde et donner l’énergie
moyenne par unité de volume pour chaque impulsion.
2- Déterminer la fonction d’onde (amplitude, fréquence et phase) résultant de la superposition
des deux fonctions d’ondes suivantes : S1 = 6 cos(120t) et S2 = 8 cos(120 t)
3- Considérons l’expression générale de l’intensité résultant de la superposition de deux ondes
cohérentes de même fréquence. Montrer que lorsque les deux ondes sont en phase l’intensité
est égale à . Quelle est l’expression de l’intensité lorsque les deux ondes sont
en opposition de phase.
2
01 02
IS S
4- Soit une onde A de longueur d’onde 500 nm se propageant dans le vide sur une distance de
1 m. Soit une onde B, de même longueur d’onde, se propageant sur la même distance le
long d’un trajet sur lequel on a introduit un récipient en verre (d’indice 1,52), large de 10
cm, dont les parois font 5 mm d’épaisseur et qui est rempli d’eau (d’indice 1,33). Les ondes
sont émises en opposition de phase au point de départ, déterminer leur différence de phase à
l’arrivée.
5- Utiliser la représentation complexe pour déterminer la fonction d’onde résultant de la
superposition des deux ondes suivantes :
10
20
SScoskx t
SScoskxt
Tracer l’amplitude de cette fonction. Décrire cette onde
6- En utilisant la représentation des phaseurs (vecteurs de Fresnel), tracer l’amplitude de
l’onde qui résulte de la superposition des deux ondes suivantes :
101
202
SScoskx t
SScoskx t
avec S01S02. Quelle conclusion tirez-vous ?
7- Des micro-ondes de fréquence 1010 Hz se réfléchissent sur un réflecteur métallique en
incidence normale. En négligeant l’indice de réfraction de l’air, déterminer la distance entre
deux nœuds successifs de l’onde stationnaire résultant de la superposition des ondes
incidentes et réfléchies
8- Une onde stationnaire est donnée par :
2
S 100cos x cos 5 t
3
y
c
. Déterminer deux ondes
qui pourraient donner naissance à cette onde particulière.
9- Le champ électrique d’une onde plane électromagnétique stationnaire est donné par :
. Déterminer une expression pour l’induction magnétique
B(x,t). Faire un schéma de l’onde stationnaire
0
Ex,t 2Ecoskxcos tu
10- Montrer que la superposition de trois ondes de fréquences respectives c, c + m, c -
m conduit à une fonction d’onde de la forme :
0m
SS1acos tcos t
11- Etant donné la relation de dispersion suivante : = ak², déterminer les vitesses de phase
et de groupe
12- Considérons un photon émis dans la région du spectre visible pendant une transition
atomique de durée de vie 10-8 s. Quelle est la longueur du paquet d’onde ?
Quelle est la largeur spectrale (en longueur d’onde) de ce paquet d’onde si la longueur d’onde
moyenne est 500 nm ?
Que pouvez-vous dire au sujet de sa monochromaticité ?
13- Imaginons que nous modulions un faisceau laser continu (supposé être monochromatique
à 0 = 632,8 nm) à l’aide d’un obturateur pour former des impulsions de durée 0,1 ns.
Déterminer la largeur spectrale , et la longueur de cohérence Lc du faisceau résultant.
Exercices chap4 polarisation
1- Page 11 du chapitre 4 démontrer que 0x 0y
22
0x 0y
EE
tan 2 2cos EE
2- En utilisant les relations de passage à l’interface déterminer l’expression des coefficients
de réflexion et de transmission en amplitude lorsque le champ incident est polarisé
perpendiculairement au plan d’incidence (formules données p26 du cours, démonstration
réalisée en cours pour une polarisation parallèle au plan d’incidence)
3- En utilisant les lois de Snell-Descartes déterminer les coefficients de réflexion et de
transmission en amplitude en fonction des seuls angles d’incidence et de réfraction
(formules données p.25 et 26 du cours) à partir des expressions faisant intervenir les indices
de réfraction des deux milieux et ces mêmes angles
4- Montrer que [ ts + (-rs) = 1 ] quel que soit i et que [ tp + rp = 1 ] uniquement en incidence
normale
5- Décrire complètement l’état de polarisation de chacune de ces ondes :
E cos kz t
0
0
EEcos kz t
,
0
0
z
Esin2 t
Ez
Esin2 t
,
0
0
Esin t kz
EEsin t kz 4
,
0
0
Ecos t kz
EEcos t kz
2
6- Quel est le type d’onde décrit par cette expression :
0
cos t
Ez,t Esinkz cos t 2
?
Définir ces principales caractéristiques sur un schéma.
7- Un polariseur placé entre deux autres polariseurs croisés est en rotation à la vitesse
angulaire . Montrer que l’intensité en sortie du troisième polariseur peut s’écrire
cos4t où I1 est l’intensité après le premier polariseur.
1
I
I1
8
8- Considérons le montage suivant :
6
7
8
1
/
8
100%
