Lectures obligatoires de la mécanique quantique

Lectures obligatoires de la mécanique quantique
Lectures # 1 :
Titre : Eléments de Physique moderne.
Référence : RASOANAIVO, R-Y. (2007). Eléments de Physique Moderne. Ecole Normale
Supérieure. Université d’Antananarivo. Madagascar
Résumé :
Ce cours traite les découvertes expérimentales qui ont mené à des nouveaux concepts de
physique. En particulier, le déplacement de Wien, l’effet photoélectrique, l’effet Compton, la
diffraction des électrons y sont décrits en détail. Le postulat de Planck sur la quantification de la
radiation et l’idée d’Einstein qui a permis de comprendre l’effet photoélectrique sont
particulièrement discutés.
Justification :
La lecture de ce cours devrait permettre aux apprenants et apprenantes de découvrir la limite
de la mécanique classique et de comprendre le nouveau concept introduit par la mécanique
quantique à savoir la quantification de l’énergie de radiation, E = hν, et le comportement
ondulatoire des particules telles que les électrons.

1. Modèle de Bohr
Le modèle de Bohr vise un double objectif :
• expliquer le spectre de l’atome d’hydrogène.
• justifier le modèle nucléaire de l’atome proposé par Rutherford.
La théorie de Bohr de l’atome est fondée sur les postulats suivants :
 Dans un atome, chaque électron suit une orbite circulaire de rayon rn bien
défini, avec une énergie bien définie En, n étant un nombre entier positif
indiquant l’état physique de l’atome. (n = 1, 2, 3,….)
 Lors d’une transition d’un état à un autre, un atome absorbe ou émet une
radiation de fréquence ν telle que :
, [1]
 La valeur du moment angulaire d’un électron sur une orbite de rn, défini par L =
mv r, est donnée par :
, [2]
n est le même nombre entier défini auparavant
2. Atome d’hydrogène
Le plus simple des atomes est l’atome d’hydrogène. C’est aussi l’atome le plus
étudié donc le plus connu. Notre objectif est de déterminer les grandeurs physiques
associées aux états physiques de l’atome d’hydrogène, à savoir l’énergie, le moment
angulaire, le rayon de l’orbite et la vitesse de l’électron.
L’électron est en mouvement circulaire uniforme, donc sa vitesse se déduit de la
relation :
La théorie de Bohr
Une approche semi classique sera adoptée :
L’électron qui gravite autour du proton est soumis à
une force de Coulomb attractive d’intensité :
, r est le rayon de l’orbite
Figure 1 : Modèle de Bohr

Ce qui donne : [3]
De plus, l’énergie de l’électron E est la somme de l’énergie cinétique Ec et l’énergie
potentielle Ep : E = Ec + Ep, telle que :
et
D’où : [4]
Maintenant, selon l’hypothèse de Louis de Broglie, la longueur d’onde associée à
l’électron est égale à λ = h / mv. L’onde en question est une onde stationnaire telle
que la longueur de l’orbite, c’est-à-dire sa circonférence, doit être égale au multiple entier
de la longueur d’onde λ :
d’où le moment angulaire de l’électron est égal à :
[5]
En outre, les équations [3] et [5] nous permettent d’écrire : [6]
De plus, selon [5], [7]
Finalement, à partir de [4] et [7] on peut déduire : [8]
Ces résultats signifient que :
• Toutes les grandeurs physiques associées à l’état physique de l’atome ont des
valeurs discrètes, on dit qu’elles sont quantifiées. Le nombre entier n est appelé
nombre quantique principal : n = 1, 2, 3…
• L’atome d’hydrogène admet une infinité d’états possibles spécifiés par la valeur
de n. n = 1 correspond à l’état fondamental et les valeurs n > 1 correspondent aux
états excités de l’atome d’hydrogène.
• Au fur et à mesure que n augmente, le rayon de l’orbite augmente, mais la vitesse
et l’énergie diminuent
Pour avoir les valeurs numériques de ces grandeurs, il faut remplacer toutes les constantes
par leurs valeurs respectives. On doit trouver :

; ;
Cependant les unités habituellement utilisées en physique atomique sont résumées dans le
tableau suivant:
Unités de longueur:
Unité d’énergie
• L’Angström : 1 = 10-10 m
• Le nanomètre : 1nm = 10-9 m
• Le micromètre : 1µm = 10-6 m
1 eV = 1.6022 x 10-19 J
Les nouveaux résultats s’écrivent :
; [9]
Quelques chiffres :
Etat fondamental
(n = 1)
Premier état excité
(n = 2)
Deuxième état excité
(n = 3)
Vitesse (m / s )
2.186 x 106
1.093x106
0.7286x106
Rayon de l’orbite (A)
0.529
2.116
4.761
Energie (eV)
-13.58
-3.39
-1.51
Figure 2 : Orbites et énergies de l’atome de Bohr

3. Emission de transition
Selon la théorie de Bohr, lorsque l’électron passe d’un état d’énergie En à un état d’énergie
En’, n’ < n, l’atome émet une radiation. L’énergie du photon émis est égale à la différence
d’énergies entre les deux états impliqués:
[10]
b) La fréquence de la radiation émise est :
La longueur d’onde de la radiation :
Notons que :
1. Il existe des formules standard pour déterminer la longueur d’onde de la radiation émise
par un atome :
Si on remplace les constantes par leurs valeurs respectives, obtient le résultat suivant :
R∞ est la constante de Rydberg qui a pour valeur : R∞ = 1.09737x107 m-1
2. Les états stationnaires d’un atome sont souvent illustrés par un diagramme de niveaux
d’énergie. Des flèches indiquent les différentes transitions possibles, de l’état initial vers
l’état final :
Exemple :
Un atome d’hydrogène effectue une transition de son premier état excité vers son état
fondamental. Calculer : a) l’énergie du photon émis; b) la fréquence et la longueur
d’onde de la radiation émise.
Réponse :
a) L’énergie de l’état initial de l’atome est
E2 = -3.39 eV
L’énergie de l’état fondamental est
E1 = -13.58 eV
Donc, l’énergie du photon émis est :
Eν = E2 – E1 = -3.39 – ( - 13.58 ) = 10.19 eV
Figure 3 : Emission d’un photon